Este vídeo tutorial aborda la resolución de integrales de funciones racionales con raíces complejas simples. Se muestra cómo descomponer la integral en términos de polinomios y se ejemplifica el procedimiento a través de un caso práctico utilizando la función 2x/(x³-1). Finalmente, se detalla el cálculo de las integrales resultantes, incluyendo la aplicación de la función arcotangente.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: integrales
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Integración de funciones racionales con raíces complejas
simples:
2𝑥
𝑥3 − 1
𝑑𝑥

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Problemas resueltos: integrales
Repaso:
Si tenemos que hallar la integral indefinida de una función racional, es decir tenemos
que hallar
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑑𝑥
Donde p(x), q(x) son polinomios.
Si el grado de p(x) es mayor o igual que el grado de q(x) entonces podemos dividir esos
polinomios, de forma que tenemos:
𝑝 𝑥 𝑞 𝑥
𝑟 𝑥 𝑐(𝑥)
De esta forma si usamos que p(x)=q(x)c(x)+r(x), dividiendo por q(x) se tendría
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝑞 𝑥 𝑐(𝑥)
𝑞(𝑥)
+
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)

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𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝑞 𝑥 𝑐(𝑥)
𝑞(𝑥)
+
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
Por lo tanto,
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= 𝑐 𝑥 +
𝑟 𝑥
𝑞 𝑥
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= 𝑐 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑑𝑥
Por lo tanto hemos transformado la integral de la función racional que teníamos
al principio en la suma de una integral de una función polinómica (inmediata de
calcular) y de otra integral racional, pero en la que el grado del numerador es
menor que el grado del denominador.
Por lo tanto nuestro mayor problema ahora es centrarnos en cómo calcular la
integral
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑑𝑥

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Para hallar la integral
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑑𝑥, en primer lugar consideramos el polinomio q(x), y
hallamos sus raíces.
Pueden ocurrir:
1. Las raíces de q(x) son todas reales simples.
2. q(x) tiene raíces reales múltiples.
3. q(x) tiene raíces complejas simples
4. q(x) tiene raíces complejas múltiples.
En este vídeo vamos a abordar el tercer caso, es decir el caso en que aparecen raíces
complejas simples.
Supongamos que en la factorización de q(x) aparecen raíces reales simples o
compuestas y raíces complejas, es decir aparece algún factor de la forma
𝑥2
+ 𝑝1 𝑥 + 𝑞1
Entonces en la expresión
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
en factores simples, el término correspondiente al
denominador 𝑥2
+ 𝑝1 𝑥 + 𝑞1 , vendrá dado por

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𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥2 + 𝑝1 𝑥 + 𝑞1
Y al tomar integrales, aparecerá la integral de la expresión anterior.
Para realizarla tendremos que expresarla en la forma:
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥2 + 𝑝1 𝑥 + 𝑞1
= 𝐴
2𝑥 + 𝑝1
𝑥2 + 𝑝1 𝑥 + 𝑞1
+
𝑅
𝑥2 + 𝑝1 𝑥 + 𝑞1
Aquí aparece 2𝑥 + 𝑝1, ya que es la
derivada del denominador
Al agrupar nos quedará
una constante R.

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Nos quedará por tanto la integral de las dos expresiones anteriores:
• A
2𝑥+𝑝1
𝑥2+𝑝1 𝑥+𝑞1
𝑑𝑥 esta integral es A L|𝑥2
+ 𝑝1 𝑥 + 𝑞1|
•
𝑅
𝑥2+𝑝1 𝑥+𝑞1
𝑑𝑥 En esta integral debemos expresar el denominador de la forma
1 + 𝑥 + 𝐵 2, para poder realizar un cambio de variable y obtener así como
primitiva el arcotangente.
Veamos a continuación un caso práctico de cómo se realiza este tipo de integrales:
Calculamos
2𝑥
𝑥3 − 1
𝑑𝑥

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En primer lugar factorizamos el denominador, para ello podemos utilizar la regla de
Ruffini.
Así obtenemos que:
𝑥3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
Observamos por lo tanto que el denominador posee una raíz real simple (x=1) y
también posee dos raíces complejas simples (las que se obtienen de la ecuación
𝑥2 + 𝑥 + 1 )
Ahora realizamos la descomposición en factores simples de la función racional del
integrando, es decir, hallamos los valores de A, M y N tales que:
2𝑥
𝑥3 − 1
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥2 + 𝑥 + 1

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Para calcular los valores de A, M y N, realizamos el mínimo común múltiplo de la
parte de la derecha.
2𝑥
𝑥3 − 1
=
𝐴 𝑥2
+ 𝑥 + 1 + (𝑀𝑥 + 𝑁)(𝑥 − 1)
𝑥 − 1 (𝑥2+𝑥 + 1)
Como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores
2𝑥 = 𝐴 𝑥2
+ 𝑥 + 1 + 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥 − 1
Ahora damos valores a x, y obtenemos los valores de A, M y N. Para ello en primer
lugar damos a x el valor de las raíces reales obtenidas (x=1) y el valor x=0, ya que
en la expresión anula a M.
Para x=1 obtenemos 2 = 3𝐴, de donde obtenemos que 𝐴 =
2
3

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Para x=0, obtenemos 0 = 𝐴 − 𝑁, de donde sustituyendo el valor obtenido
anteriormente de A, y despejando N se tiene que
𝑁 =
2
3
.
Damos otro valor cualquiera a x, para obtener el valor de M
Para x=0, obtenemos −2 = 𝐴 + 2𝑀 − 2𝑁, de donde sustituyendo el valor de A y
de N obtenido anteriormente y resolviendo obtenemos que
𝑀 =
−2
3
Entonces
2𝑥
𝑥3 − 1
=
2/3
𝑥 − 1
+
−2
3
𝑥 +
2
3
𝑥2 + 𝑥 + 1

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De esta forma la integral inicial quedaría:
2𝑥
𝑥3 − 1
𝑑𝑥 =
2/3
𝑥 − 1
𝑑𝑥 +
−2
3
𝑥 +
2
3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥
Ahora vamos a realizar cada una de las integrales que hemos obtenido:
1.
2
3
𝑥−1
𝑑𝑥 =
2
3
1
𝑥−1
𝑑𝑥 =
2
3
𝐿|𝑥 − 1|
2.
−2
3
𝑥+
2
3
𝑥2+𝑥+1
𝑑𝑥 =
−1
3
2𝑥−2
𝑥2+𝑥+1
𝑑𝑥
Observamos a continuación que la derivada del denominador viene
determinada por 𝑥2
+ 1, por tanto:

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−1
3
2𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
−1
3
2𝑥 + 1 − 1 − 2
𝑥2 + 𝑥 + 1
=
−1
3
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 +
−3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥
La primera de las dos integrales que se obtienen es fácil de calcular ya que en el
numerador tenemos la derivada del denominador, por lo tanto se tiene que:
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 = 𝐿|𝑥2 + 𝑥 + 1|
Nos centramos ahora en la segunda integral obtenida:
Sumamos y restamos 1, para obtener en
el numerador x+1

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−3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥
Para hacer esta integral en primer lugar debemos expresar el denominador de la
forma (𝑥 + 𝑎)2+𝑏
Para ello observamos:
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 𝑥 + 𝑎 2 + 𝑏
Si desarrollamos 𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎 𝑥 + 𝑏2
𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 𝑥2
+ 2𝑎 𝑥 + 𝑎2
+ 𝑏
Por lo tanto el valor de a, debe ser tal que 2𝑎 = 1, es decir 𝑎 =
1
2

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Ahora nos quedaría:
𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 𝑥2
+ 𝑥 +
1
4
+ 𝑏
Y por lo tanto 1 =
1
4
+ 𝑏, de donde obtenemos que 𝑏 =
3
4
.
Así llegamos a:
𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 𝑥 +
1
2
2
+
3
4
Por lo tanto la integral a calcular nos quedaría
−3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
−3
𝑥 +
1
2
2
+
3
4
𝑑𝑥

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No olvidemos que tenemos que expresar el denominador de la forma
1 + 𝑥 + 𝐵 2
Por lo tanto sacamos factor común en el denominador
3
4
.
−3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
−3
𝑥 +
1
2
2
+
3
4
𝑑𝑥 =
−3
3
4
1 +
𝑥 +
1
2
2
3
4
𝑑𝑥 =
=
4
3
−3
1 +
𝑥 +
1
2
3
2
2 𝑑𝑥
En este último paso, hemos extraído de la integral el factor
1
3/4
y hemos introducido
en el cuadrado el
3
4
que aparece en su denominador

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4
3
−3
1 +
𝑥 +
1
2
3
2
2 𝑑𝑥 =
−12
3
1
1 +
2
3
𝑥 +
2
2 3
2 𝑑𝑥 = −4
1
1 +
2
3
𝑥 +
1
3
2 𝑑𝑥
Observemos que la derivada de
2
3
𝑥 +
2
2 3
, viene dada por
2
3
, por lo que para que nos
quede una arcotangente, debemos tener en el numerador esa cantidad, por lo que
multiplicamos y dividimos la expresión anterior por esa cantidad.
−4
1
1 +
2
3
𝑥 +
1
3
2 𝑑𝑥 =
−4
2/ 3
2
3
1 +
2
3
𝑥 +
1
3
𝑑𝑥 = −
4 3
2
arctan
2
3
𝑥 +
1
3

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Por lo tanto
−2
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 = −2 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
3
𝑥 +
1
3
Y en consecuencia, la segunda integral que nos aparecía,
−2
3
𝑥 +
2
3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
−1
3
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 +
−3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
=
−1
3
𝐿 𝑥2
+ 𝑥 + 1 − 2 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
3
𝑥 +
1
3

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Y en consecuencia la integral del ejercicio sería:
2𝑥
𝑥3 − 1
𝑑𝑥 =
2/3
𝑥 − 1
𝑑𝑥 +
−2
3
𝑥 +
2
3
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
=
2
3
𝐿 𝑥 − 1 −
1
3
𝐿 𝑥2 + 𝑥 + 1 +
2 3
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
3
𝑥 +
1
3
+ 𝐾