Curva catenaria

1. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 1/7
La curva catenaria
Sólido rígido
Estática. Elasticidad
Momento de una fuerza
Medida del módulo
de elasticidad
Flexión de una viga
Pandeo de una barra
Medida del módulo
de cizallamiento
Catenaria
Formulación discreta
Catenaria simétrica
Referencias
Procedimiento del punto medio
Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como
los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre
las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son
dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.
La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido
a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se
confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los
hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.
Formulación discreta
Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones
de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo
de longitud L y de masa despreciable.
Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que
ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.
La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

2. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 2/7
Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la
denominaremos Tx.
Tx=Tcosq0= Tcosqi= Tcosqi+1 =TcosqN+1
Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo q
i y el ángulo q i+1
A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente
horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro g . La relación de
recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.
tanq1=tanq0-g
tanq2=tanq1-g
tanq3=tanq2-g
...............
tanqi=tanqi-1-g
.............
tanqN-1=tanqN-2-g
tanqN=tanqN-1-g
Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo qN en función del ángulo inicial
q0.
tanqN=tanq0-Ng
Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que
tanq0=- tanqN
Por tanto,
tanq0=Ng /2
Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i,
obtenemos el ángulo qi en función del ángulo inicial q0.
tanqi=tanq0-g i=(N-2i)·g /2
El ángulo qi que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las
bolitas, el ángulo inicial q0 y el final qN se calculan mediante la siguiente fórmula

3. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 3/7
Las coordenadas (xi, yi) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cosq j
y d·senq j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la
distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)
Actividades
Para representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa
despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet
El número de bolitas, un número comprendido entre 3 y 20.
El valor del parámetro g , un número comprendido entre 0.5 y 2.0 que
representa el cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente
horizontal Tx de la tensión del hilo.
Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja.
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

4. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 4/7
Catenaria simétrica
Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma
altura y que distan a uno del otro. Sea r la densidad del cable (masa por unidad de longitud).
En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como
extremo el punto más bajo A:
el peso,
la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho
segmento,
la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s.
La condición de equilibrio se escribe
Tcosq =T0
Tsenq =r gs
O bien,
Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial
ds2=dx2+dy2
(1)
Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la
curva) dy/dx=0.
Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

5. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 5/7
Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.
La ecuación de la catenaria es, finalmente
(2)
La longitud de la catenaria es
(3)
Las figuras, son una superposición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página
que muestran como la aproximación discreta y continua coinciden cuando el parámetro g es
grande y difieren cuando g es pequeño. El parámetro g=mg/Tx es el cociente entre el peso de
cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las
bolitas.
Ejemplo

6. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 6/7
En la figura, se muestra una catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h.
Para dibujar la catenaria
1. Se resuelve la ecuación trascendente (3)
2. Se representa la catenaria
3. Se calcula el mínimo o la "flecha" h
Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento
numérico la ecuación trascendente, cuya solución es g =4.354, y a continuación calculamos
h=0.4
Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos g =1.478, y h=0.27
Actividades
Se introduce
La "luz" a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición
Se pulsa el botón titulado Dibuja
Se calcula el parámetro γ, resolviendo la ecuación trascendente por el procedimiento del
punto medio.
Se representa la catenaria simétrica
Se calcula la "flecha" h, y se proporciona su valor
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

7. 23/5/2019 La curva catenaria
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm 7/7
Referencias
Beléndez, A., Beléndez, T. Neipp C. Estudio estático de un cable homogéneo bajo la acción de su propio peso:
Catenaria. Revista Española de Física 15(4) 2001, págs. 38-42
Adler, C. Catenaries on the Computer: A Freshman Physics Assignment. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999,
pp. 254-255.
Procedimiento del punto medio
public class Ecuacion {
static final double CERO=1e-10;
static final double ERROR=0.001;
static final int MAXITER=200;
static double pos=0.5; //la "luz" a, cambiar este valor
public static void main(String[] args) {
double gamma=puntoMedio(0.1, 100.0);
System.out.println(pos+" "+gamma);
}
static double puntoMedio(double a, double b) {
double m, ym;
int iter=0;
do{
m=(a+b)/2;
ym=f(m);
if(Math.abs(ym)<CERO) break;
if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
if((f(a)*ym)<0) b=m;
else a=m;
iter++;
}while(iter<MAXITER);
if(iter==MAXITER){
System.out.println("No se ha encontrado la raíz");
}
return m;
}
static double f(double x){
return(senh(pos*x)-x); //la longitud de la cadena es 1.0
}
static double senh(double x){ //seno hiperbólico
return((Math.exp(x)-Math.exp(-x))/2);
}
}