Este documento demuestra las reglas de divisibilidad numérica por 2, 3, 5, 7, 10 y 11 utilizando congruencias numéricas. Primero introduce conceptos como congruencia módulo y lemas relacionados. Luego demuestra cada regla de divisibilidad de forma deductiva basada en las propiedades de las congruencias numéricas. Por ejemplo, demuestra que un número es divisible por 2 si termina en un dígito par, divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3, y así sucesivamente para los otros divisores.

1. LAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD DEMOSTRADAS POR CONGRUENCIA
NUMÉRICAS
Hagamos un freno en el camino y pensemos “qué aporta una demostración
a la formación intelectual de un estudiante”, y si de alguna manera logramos
visualizar los beneficios implícitos en su forma de pensar y actuar, entonces
estamos valorando su necesidad no solo como parte integral del currículo de la
Matemática si no como la formación de seres humanos racionales y pensantes en
un mundo que está siendo digerido por una serie de distractores, llámese
televisión, redes sociales, juegos electrónicos entre otros.
En la mayoría de las ocasiones en esta Costa Rica, ajena a una mejora
significativa en los programas de la enseñanza de la matemática, nosotros los
formadores de secundaria generalizamos las demostraciones simplemente como
pruebas o verificaciones de las proposiciones que se les ocurrieron hace mucho
tiempo a algunos matemáticos y perdemos la perspectiva de lo que somos y
enseñamos. Las demostraciones se convierten casi siempre en procesos de
memoria para lograr ganar un curso y en nuestra práctica, la labor por una u otra
circunstancia se desvía de lo esencial.
Y si bien es cierto las demostraciones verifican lo enunciado dando muestra
de seguridad en lo que se está definiendo, también cabe señalar otras
características que pueden definirlas de una manera más elegante como cita
(Ibañes, 2001), quien le otorga otras como la de iluminación (se espera que
una buena demostración proporcione ideas del porqué es cierta) y la de
sistematización (organización de un sistema deductivo de la teoría: axiomas,
definiciones y teoremas ya demostrados con anterioridad).
Otros como De Villiers (1993), quien critica a los que sólo le adjudican a la
demostración la función tradicional de prueba o verificación, destaca además la
función de explicación de las demostraciones pues no es sólo cuestión de
asegurarse, sino de explicar por qué la proposición es cierta, de hacer la actividad
significativa, si no que a la vez constituye una motivación. Incluye en su lista de
funciones la de descubrimiento, pues a menudo es un método de exploración,
análisis, inventiva que en ocasiones lleva a nuevos resultados; y la de
comunicación, como una manera de expresar los resultados ante otros
profesionales, al profesorado y ante los propios estudiantes, es un foro para el
análisis crítico de aciertos y desaciertos. En fin, es un reto intelectual entre lo
desconocido y conocido.
Pues tomando en cuenta la caracterización que estos autores le dan a las
demostraciones es para nosotros un reto intelectual en el que vamos a descubrir
la verificación de los criterios de divisibilidad comunicándolos a todos aquellos
interesados que visiten este blog, claro está que existen otras maneras de
demostrarlos.

2.  Definición
Se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo d, donde d es
entero mayor que 1, si a y b dan el mismo residuo al dividirlos por d. Si a es
congruente con b módulo d, se anota (mód. d)
 Lema 1
Las siguientes condiciones son equivalentes:
1) (mód. d)
2) , para algún entero
3) divide
 Corolario (mód. d) si y sólo si es divisible por
 Lema 2
Si (mód. m) y (mód. n), donde m y n son primos relativos,
entonces (mód )
 Lema 3 Si (mód. d) y (mód. d), entonces:
1) (mód. d)
2) (mód. d)
3) (mód. d)
4) (mód. d) para cualquier número real

3. Las reglas de divisibilidad
Sea cualquier entero expresado en el sistema decimal en la forma
, donde , y
La expresión anterior nos indica que si por ejemplo entonces
podemos expresar a . Y que al ser la
base 10 el sistema en que trabajamos las demostraciones a continuación se
fundamentaran en dicho sistema.
 Divisibilidad por 2
Si un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2
Demostración
Tenemos que 0 (mód. 2) para k = 1,2,…..n Corolario del Lema 1
Por lo que, (mód. 2) La propiedad 4) del Lema 3
Si (mód. 2) (es decir, si es número par), entonces
(mód. 2)
(mód. 2)
(mód. 2)
(mód. 2)
Sumando de manera vertical estas congruencias se tiene que
(mód. 2)
De ahí que es divisible por 2.

4.  Divisibilidad por 3
Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el
número es divisible por 3.
Tenemos que (mód. 3) para k = 1,2,3,…….,n
Además (mód. 3)
(mód. 3) La propiedad 4) del lema 3
( mód. 3)
Sumando estas congruencias, resulta
( mód. 3 )
De aquí se obtiene la regla que al sumar los dígitos de un número entonces es
divisible por 3.
 Divisibilidad por 5
Si un número termina en 0 ó en 5, entonces es divisible por 5
Se tiene que (mód. 5) para k = 1,2,3,…...,n
Entonces si (mód. 5), resulta que y como se obtiene
ó . En consecuencia, ó
Por lo tanto: 0 (mód. 5)
(mód. 5)
(mód. 5)
Sumando: (mód. 5)

5.  Divisibilidad por 7
Si la expresión: es
divisible por 7, entonces el número
también lo es.
Tenemos que (mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7) y así sucesivamente
Por lo tanto , (mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
(mód. 7)
Sumando se obtiene:
Ejemplo. El número 3927 es divisible por 7 porque
es divisible por 7

6. Divisibilidad por 10
Si un entero termina en 0, entonces es divisible por 10
Tenemos que (mód. 10) para . Si (mód.10)
entonces , ya que .
Divisibilidad por 11
Si la suma de los dígitos de un entero alternados en signos es divisible por
11, entonces el número es divisible por 11.
Se tiene que (mód. 11)
(mód. 11)
(mód. 11)
(mód. 11)
…
( mód. 11) dependiendo si es par o impar
Por lo tanto, (mód. 11)
(mód. 11)
(mód. 11)
…
(mód. 11), dependiendo si es par o impar
Resulta entonces
Ejemplo: el número 3162819 es divisible por 11 ya que 9-1+8-2+6-1+3 = 22 es
divisible por 11