El documento resume un problema sobre el estudio de continuidad, derivabilidad y aplicación del Teorema de Rolle a una función definida a trozos. La función es continua pero no derivable en todo su dominio, por lo que no se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo dado.

1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudiar la continuidad de una función definida a trozos.
- Estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos.
- Estudiar si una función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle.
Vídeo tutorial Problema resuelto
FUNCIONES 02

2. Enunciado:
Se considera la función:
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1) 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
𝑥 > 1
a) Estudia la continuidad de la función.
b) Estudia la derivabilidad de la función.
c) ¿Cumple la función f(x) en [0,2] las condiciones del Teorema de Rolle?
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3. a) Estudia la continuidad de la función.
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1) 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
𝑥 > 1
• Si 𝑥 < 1, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + cos 𝑥 − 1 , es continua por ser suma de una función polinómica y una trigonométrica.
• Si 𝑥 > 1, 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
es continua por ser cociente de una función trigonométrica y un polinomio, y el denominador
no anularse en el intervalo.
Estudiamos la continuidad en 𝑥 = 1.
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4. • 𝑥 = 1
1. f 1 = 0 + cos0 = 1
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5. • 𝑥 = 1
1. f 1 = 0 + cos0 = 1
2. lim
x→1−
f x = lim
x→1
x − 1 + cos(x − 1) = 0 + cos0 = 1
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6. • 𝑥 = 1
1. f 1 = 0 + cos0 = 1
2. lim
x→1−
f x = lim
x→1
x − 1 + cos(x − 1) = 0 + cos0 = 1
3. lim
x→1+
f x = lim
x→1
sen(x−1)
x−1
=
0
0
(Indeterminación)
Este límite puede resolverse fácilmente utilizando infinitésimos. Si consideramos las funciones 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1), ℎ 𝑥 =
𝑥 − 1, éstas son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que podemos aplicar la regla de L´Höpital.
lim
x→1
sen(x − 1)
x − 1
= lim
𝑥→1
cos(𝑥 − 1)
1
=
𝑐𝑜𝑠0
1
= 1
Por lo tanto tenemos que
lim
x→1+
𝑓 𝑥 = 1
La función es continua en 𝑥 = 1.
En consecuencia la función es continua en ℝ
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7. b) Estudia la derivabilidad de la función.
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1) 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
𝑥 > 1
• Si 𝑥 < 1, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + cos 𝑥 − 1 , es derivable por ser suma de una función polinómica y una trigonométrica.
• Si 𝑥 > 1, 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
es derivable por ser cociente de una función trigonométrica y un polinomio, y el denominador
no anularse en el intervalo.
Estudiamos la derivabilidad en 𝑥 = 1.
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8. • x = 1
Tenemos que estudiar el límite
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
Por la derecha y por la izquierda.
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9. • x = 1
Tenemos que estudiar el límite
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
Por la derecha y por la izquierda.
1. lim
x→1−
f x −f(1)
x−1
= lim
x→1
x−1 +cos x−1 −1
x−1
= lim
x→1
x−2+cos(x−1)
x−1
=
0
0
(Indeterminación.)
Si observamos las funciones que definen el numerador y el denominador son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que
podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
x→1
x − 2 + cos(x − 1)
x − 1
= lim
x→1
1 − sen(x − 1)
1
=
1 − 0
1
= 1
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𝑓 1 = 1

10. 2. lim
x→1+
f x −f(1)
x−1
= lim
x→1
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
−1
x−1
= lim
x→1
sen x−1 −(x−1)
(𝑥−1)2 =
0
0
(Indeterminación.)
Si observamos las funciones que definen el numerador y el denominador son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que
podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
x→1
sen x − 1 − (x − 1)
(𝑥 − 1)2 = lim
x→1
cos x − 1 − 1
2(x − 1)
=
0
0
(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡. )
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𝑓 1 = 1

11. 2. lim
x→1+
f x −f(1)
x−1
= lim
x→1
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
−1
x−1
= lim
x→1
sen x−1 −(x−1)
(𝑥−1)2 =
0
0
(Indeterminación.)
Si observamos las funciones que definen el numerador y el denominador son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que
podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
x→1
sen x − 1 − (x − 1)
(𝑥 − 1)2 = lim
x→1
cos x − 1 − 1
2(x − 1)
=
0
0
(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡. )
Podemos aplicar la regla de L´Hôpital de nuevo y obtenemos:
lim
x→1
sen x − 1 − (x − 1)
(𝑥 − 1)2 = lim
x→1
cos x − 1 − 1
2(x − 1)
= lim
𝑥→1
−𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
2
=
0
2
= 0
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𝑓 1 = 1

12. En consecuencia tenemos:
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = 1
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = 0
Por lo que concluimos que la función no es derivable en 𝑥 = 1.
Por lo tanto tenemos que la función es derivable en ℝ − {1}
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13. c) ¿Cumple la función f(x) en [0,2] las condiciones del Teorema de Rolle?
Recordemos que el Teorema de Rolle dice:
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función que cumple:
• Es continua en [a,b]
• Es derivable en (a,b)
• 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
Entones existe 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓´ 𝑐 = 0
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14. c) ¿Cumple la función f(x) en [0,2] las condiciones del Teorema de Rolle?
Recordemos que el Teorema de Rolle dice:
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función que cumple:
• Es continua en [a,b]
• Es derivable en (a,b)
• 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
Entones existe 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓´ 𝑐 = 0
Esta función no cumple el Teorema de Rolle ya que no es derivable en (0,2) al no ser derivable en 𝑥 = 1.
FIN
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