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- 1. l MATEMÁTICAS INTEGRALES República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria U.P.T “Alonzo Gamero” Coro-Estado Falcón PNF Informática Profesora: Jennifer Medina Estudiantes: Willmer Condori Oscar
- 2. � 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = u = 1 + x2 𝑑𝑢 = 2𝑥 => 𝑑𝑢 2 = 𝑥 l ∫ 𝑑𝑢 2 𝑢 1 = � 𝑑𝑢 2𝑢 = 1 2 � 𝑑𝑢 𝑢 = 1 2 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 => 1 1 𝑙𝑛|1 + 𝑥2| + 𝑐 � � 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 � 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = = � 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 � 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 = 𝑢2 2 + 𝑐 => 𝑡𝑔𝑥2 2 + 𝑐 2 2 1 Por Sustitución
- 3. Por Tabla � 𝑙𝑜𝑔1 𝑑𝑥 = = 𝑙𝑜𝑔1 � 𝑑𝑥 => 𝑙𝑜𝑔1 + 𝑐 = 0𝑥 + 𝑐 � 3 𝑥 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = l = � 3 𝑥 𝑑𝑎 𝑥 𝑥 => � 𝑤 𝑥 + 𝑐 � 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 2𝑥3 + 𝑑𝑥 𝑥 = = � 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 + � 2𝑥3 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 𝑥 = � 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 + 2 � 𝑥3 𝑑𝑥 + � 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡𝑎𝑔𝑥 + 2 𝑥4 4 + 𝑙𝑛| 𝑥|+c 1 2 3
- 4. � 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = = � −1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = � 1 2 𝑑𝑥 − � 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 2 � 𝑑𝑥 − 1 2 � cos(2𝑥)𝑑𝑥 = 1 2 𝑥 − 1 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑐 � 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥𝑑𝑥 = = � 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 => � 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 + √1 − 𝑥2 + 𝑐 4 5
- 5. Por Parte � ln( 𝑥) 𝑥𝑑𝑥 = = � 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 ∗ 𝑣 � 𝑑𝑢 𝑢 = ln( 𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥2 2 � ln( 𝑥) 𝑥𝑑𝑥 = ln( 𝑥) 𝑥2 2 − � 𝑥2 2 𝑑𝑥 𝑥 � ln( 𝑥) 𝑥𝑑𝑥 = ln( 𝑥) 𝑥2 2 − 1 2 � 𝑥2 𝑥−1 𝑑𝑥 � ln( 𝑥) 𝑥𝑑𝑥 = ln( 𝑥) 𝑥2 2 − 1 2 𝑥2 2 + 𝑐 �(𝑥 + 𝑎𝑏 + 𝑐2 )2 ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = � 𝑥2 + 𝑎𝑏2 + 𝑐4 + 2 ( 𝑥 ∗ 𝑎𝑏 + 𝑥 ∗ 𝑐2 + 𝑎𝑏 ∗ 𝑐2)( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 1 2
- 6. I L A T E 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = � 𝑥2 − 𝑎𝑏2 + 𝑐4 + 2(𝑥 ∗ 𝑎𝑏 + 𝑥 ∗ 𝑐2 + 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐2 ) = ( 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − � −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = � 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑥 + 2𝑎𝑏 + 2𝑐2) 𝑑𝑥 𝑢 = 2𝑥 + 2𝑎𝑏 + 2𝑐2 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑥 + 2𝑎𝑏 + 2𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − � 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑑𝑥 = (2𝑥 + 2𝑎𝑏 + 2𝑐2) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 � 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 [(2𝑥 + 2𝑎𝑏 + 2𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥] + 𝑐 u dv
- 7. Integral Impropia En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, “a ∞”, o “a −∞”. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones. El intervalo es semi abierto o semi cerrado (a,b] o [a.b) Ejemplo: � 𝑑𝑥 √ 𝑥 = lim 𝑎→0 � 𝑑𝑥 √ 𝑥 = lim 𝑎→0 �2√ 𝑥� 𝑎 1 1 𝑎 1 0 = lim 𝑎→0 2�1 − √ 𝑎� = 2 � 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 = 0 −∞ lim 𝑎→−∞ � 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 0 𝑎 = lim 𝑎→−∞ �−2√1 − 𝑥� 𝑎 0 = lim 𝑛→∞ −2 + 2√1 − 𝑎 = ∞ El intervalo de esta integral es (0,1), por esta razón se considera una integral impropia. Se establece un límite con el valor abierto del intervalo. Se aplica teoremas fundamental del cálculo, es decir se resuelve la integral y luego se evalúa. Converge Se resuelve el límite. Se establece un límite con el valor abierto del intervalo. Se aplica teorema fundamental del cálculo, es decir se resuelve la integral y luego se evalúa. Diverge
- 8. En este trabajo se utilizaron los siguientes Asistentes Matemáticos