Es simétrica. Más plana que la normal. Hay una distribución t diferente para cada tamaño posible de muestra. Una distribución t es menor en la media y mayor en las colas que una distribución normal.

1. ESTADÍSTICA II (Segundo Bimestre)
ESCUELA: PSICOLOGÍA
NOMBRES Dr. Gonzalo Morales
FECHA: ABRIL – AGOSTO 2009
1

2. Prueba t de student para una
muestra

3. Distribución t de Student
W.S. Gosset (principios del siglo XX).
N ≤ 30 y σ no se conoce.
Además, al utilizar la distribución t, suponemos
que la población es normal o aproximadamente
normal.

4. Propiedades de la distribución t

5. Propiedades de la distribución t
• Es simétrica.
• Más plana que la normal. Hay una
distribución t diferente para cada tamaño
posible de muestra.
• Una distribución t es menor en la media y
mayor en las colas que una distribución
normal.

6. Distribución t de Student
-Es unimodal, con media en 0
-Es una familia de curvas, en función de los
llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una
distribución t de Student con 1 gl, una
distribución t de Student con 2 gl, etc.
-A medida que aumentan los grados de
libertad, la distribución tiende más y más a una
distribución normal estandarizada.

7. Grados de libertad
Es el número de valores que podemos elegir libre-
mente en una muestra, y que nos permiten encontrar el
valor de un parámetro.
Por ejemplo, supongamos una muestra de dos datos
cuyo promedio es 18. Es decir: (a+b)/2 = 18
Si a toma un valor de 10, entonces b ya no es libre de
tomar cualquier valor, debe ser 26 para que (a+b)/2=18.
Entonces, tenemos n-1 grados de libertad, si n es el
tamaño de la muestra.
Similarmente, una muestra de 23 datos nos daría 22
grados de libertad.

8. Tabla de la distribución t de Student
La tabla t es más compacta y muestra áreas y valores de t
sólo para algunos porcentajes (ver página 538 del texto
básico).
La tabla de la distribución t, no se concentra en la
probabilidad de que el parámetro de la población que se
está estimando se encuentre dentro del intervalo de
confianza. En lugar de ello, mide la probabilidad de
que este parámetro NO esté dentro de nuestro intervalo de
confianza (mide la probabilidad de que esté fuera).
En la tabla t debemos especificar los grados de libertad que
se manejan.

9. Nivel de Significación para la prueba de una cola Nivel de Significación para la prueba de una cola
0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005
df df
Nivel de Significación para la prueba de dos colas Nivel de Significación para la prueba de dos colas
0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373
17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291

10. Si de una población Normal con media µ y
desviación estándar σ se extrae una muestra de
tamaño n, entonces el estadístico:
x− µ
t =
s
n
se distribuye como una t de Student con n-1
grados de libertad.

11. Ejemplo
Los tiempos de sobrevivencia (en años) de 12
personas que se han sometido a un transplante de
corazón son los siguientes:
3.1 .9 2.8 4.3 .6 1.4 5.8 9.9 6.3
10.4 0 11.5
Hallar un intervalo de confianza del 99 por ciento
para el promedio de vida
de todas las personas que se han sometido a un
transplante de corazón.

12. Solución
3.1 + 0.9 + 2.8 + 4.3 + 0.6 + 1.4 + 5.8 + 9.9 + 6.3 +10.4 + 0 + 11.5 65.1
X = = = 5.4
12 12
(3.1 − 5.4) 2 + (0.9 − 5.4) 2 + (2.8 − 5.4)2 + (4.3 − 5.4)2 + (0.6 − 5.4) 2 + (1.4 − 5.4) 2 + (5.8 − 5.4) 2 + (9.9 − 5.4) 2 + (6.3 − 5.4) 2 + (10.4 − 5.4) 2 + (0 − 5.4) 2 + (11.5 − 5.4) 2
s=
12 − 1
(−2.3) 2 + (−4.5) 2 + ( −2.6) 2 + (−1.1) 2 + (−4.8) 2 + ( −4) 2 + (0.4) 2 + (4.5) 2 + (0.9) 2 + (5) 2 + ( −5.4) 2 + (6.1) 2
s=
12 − 1
5.29 + 20.25 + 6.76 + 1.21 + 23.04 + 16 + 0.16 + 20.25 + 0.81 + 25 + 20.16 + 37.21 185.14
s= = = 16.83 = 4.1
12 − 1 11
t0.99,11=3,106; 12 = 3.46
El intervalo de confianza será: (5.4-3.106x4.1/3.46; 5.4+3.106x4.1/3.46)
(5.4-3.7;5.4+3.7)=(1.7;9.1)

13. Prueba de hipotesis (varianza desconocida)
Caso I Caso II Caso
III
≠
Ho : µ=µ0 Ho : µ=µ0 Ho :µ=µ
Ha : µ<µ0 Ha : µ µ0 Ha : µ>µ0
x −µ o
Prueba Estadística t =
s
n
Si tcal < -tα entonces Si |tcal |>tα/2 entonces Si tcal >tα entonces
se rechaza Ho se rechaza Ho se rechaza Ho

14. Usando los datos del Ejemplo anterior, un cardiocirujano afirma
que el tiempo de vida promedio de las personas sometidas a
transplante de corazón es mayor que 4 años. ¿A qué conclusión
se llegará después de hacer la prueba de hipótesis?
Solución:
La hipótesis nula es H0: µ = 4 (el tiempo de vida promedio de
todas las personas que se han sometido a transplante de corazón
es de 4 años) y la hipótesis alterna es Ha: µ > 4 (el tiempo de vida
promedio es mayor que 4 años).
X −µ 5.4 − 4 1. 4
t= = = = 1.19
s / n 4.1 / 12 1.18
Es menor que 3.106 por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula y
se concluye de que no hay evidencia de que el tiempo promedio
de vida después del transplante haya aumentado de 4 años.
Notar que el extremo inferior del intervalo de confianza de un solo
lado al 99% es 1.575 mucho menor que 4.

15. Prueba t de Student para grupos
correlacionados e independientes

16. Comparando medias de dos poblaciones
usando muestras pareadas
En este caso se trata de comparar dos métodos o tratamientos,
pero se quiere que las unidades experimentales donde se
aplican los tratamientos sean las mismas, ó lo más parecidas
posibles, para evitar influencia de otros factores en la
comparación
Sea Xi el valor del tratamiento I y Yi el valor del tratamiento
II en el i-ésimo sujeto. Consideremos di = Xi - Yi la diferencia
de los tratamientos en el i-ésimo sujeto.
Las inferencias que se hacen son acerca del promedio
poblacional µd de las di. Si µd = 0, entonces significa que no hay
diferencia entre los dos tratamientos.

17. Intervalo de Confianza
Un intervalo de confianza del 100(1-α)% para la
diferencia poblacional µd
dada una muestra de tamaño n es de la forma
( d - t(n-1,α/2) sd/ n , d + t(n-1,α/2) sd/ n )
donde d , es la media de las diferencias muestrales di
y ∑ ( di − d ) 2 es la desviación estándar.
sd = i
n −1

18. Pruebas de Hipótesis
Caso I Caso II Caso III
Ho : µd = 0 Ho : µd = 0 Ho : µ d =0
Ha : µd < 0 Ha : µd ≠ 0 Ha : µd >0
Prueba Estadística:
d
t = s se distribuye con una t de Student con n-1 gl.
d
n
Decisión:
Si t<-tα entonces Si | t |>tα/2 entonces Si Tcal >tα entonces
se rechaza Ho se rechaza Ho se rechaza Ho

19. Ejemplo
Un médico desea investigar si una droga tiene el efecto de
bajar la presión sanguínea en los usuarios. El médico eligió al
azar 15 pacientes mujeres y les tomó la presión, luego les
recetó la medicina por un período de 6 meses, y al final del
mismo nuevamente les tomó la presión. Los resultados son
como siguen:
Sujetos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Antes 70 80 72 76 76 76 72 78 82 64 74 92 74 68 84
Desp. 68 72 62 70 58 66 68 52 64 72 74 60 74 72 74

20. Solución
Solución:
Sea µd que representa la media poblacional de
las diferencias. Luego:
Ho: µd = 0 (La droga no tiene ningún efecto)
Ha: µd > 0 (La droga tiene efecto, la presión
antes de usar la droga era mayor
que después de usarla).

21. Ejemplo (Cont.)
Las diferencias son: -2, -8, -10, -6, -18, -10, -4, -26, -18, 8, 0, -32, 0, 4,
-10.
El promedio de las diferencias es -8.8
La desviación estándar de las diferencias es 10,98
La desviación estándar de las medias muestrales es 2.83
− 8.8 − 0
t= = 3.109
2.83
El valor crítico de t con 14 grados de libertad (n-1) y α=0.05 es 2.145,
el valor calculado es superior, por lo tanto se rechaza la hipótesis
nula y se acepta la alterna, el medicamento es efectivo para reducir
la presión arterial

22. Análisis de Varianza

23. EJERCICIO
 En capítulos anteriores usted aprendió a hacer
inferencias acerca de una o dos medias, ahora
aprenderemos a hacer lo mismo respecto de tres o
más medias, supongamos para ello a tres grupos
tomados al azar de 6 bachilleres graduados en
diferentes colegios que se presentan a una prueba de
admisión en la Universidad X, los bachilleres del
colegio A han obtenido las notas: 20, 20, 18, 13, 19 y
18; los bachilleres del colegio B tienen: 18, 15, 12,
09, 14 y 16, por último, los bachilleres del colegio C
tienen como resultado: 13, 15, 20, 18, 20 y 16.
Queremos, en base a esos datos saber cuál es el
colegio cuyos bachilleres obtienen mejores resultados
en los exámenes de ingreso a la universidad.

24. Una primera aproximación para saberlo es obtener la
media de cada colegio, fácilmente podemos ver que
los estudiantes del colegio A tienen una media de 18,
xA = (20+20+18+13+19+18)/6=18
los del colegio B tienen una media de 14
x B = (18+15+12+09+14+16)/6=14
y los del colegio C un promedio de 17
xC = (13+15+20+18+20+16)/6=17.

25.  La varianza entre las medias es:
 =[(18-16,33)2+(17-16,33)2+(14-16,33)2]/(3-1) [1]
 =4.33
 La varianza dentro de los grupos es:
 =[(20-18)2+(20-18)2+(18-18)2+(13-18)2+(19-18)2+(18-18)
2
+(18-14)2+(15-14)2+(12-14)2+(9-14)2+(14-14)2+(16-14)2
+(13-17)2+(15-17)2+(20-17)2+(18-17)2+(20-17)2+(16-17)2
]/[(6-1)+(6-1)+(6-1)] [2]
 =(4+4+0+25+1+0+16+1+4+25+0+4+16+4+9+1+9+1)/15
 =124/15=8.27

26.  [1] Nótese que sumamos los cuadrados de la
diferencia entre la media de cada colegio y la media
global y el total lo dividimos para el numero de
colegios menos 1, ya que sólo tenemos dos grados de
libertad debido a que la tercera media queda
determinada por la media general.
 [2] Sumamos los cuadrados de las diferencias con la
media de cada colegio y dividimos el total de esta
suma para el total de grados de libertad, de cada
grupo.

27.  La suma de las varianzas dentro de los grupos es 8,27
y la varianza de las medias es 4.33, para comparar
estos valores dividimos el producto de 6 por la
varianza entre las medias para la varianza dentro de
los grupos y obtenemos F=3,15
 A esta cantidad la llamaremos coeficiente F en honor
de Sir Ronald Fisher quien elaboró una tabla, que nos
da la probabilidad de que la hipótesis nula sea
verdadera, para utilizarla debemos observar los
grados de libertad del numerador, que serían el
número de colegios menos uno (2), y los grados de
libertad del denominador (3 colegios por 6-1
bachilleres de cada colegio, o sea 15).

28.  En la tabla buscamos en el extremo superior
grados de libertad en el numerador, bajo la
columna 2 y tratamos de encontrar la
intersección con la fila donde dice grados de
libertad del denominador, en este caso la fila con
el numero 15.
 El valor que hemos encontrado en la tabla, 3.68,
es superior al valor que hemos calculado, 3,15 lo
que nos indica que la probabilidad de que Ho sea
verdadera es superior a 0.05 (5%).

29. Pruebas no paramétricas χ2

30. Distribución ji-cuadrado χ 2
-Nunca adopta valores menores de 0
-Es asimétrica positiva
-Es en realidad una familia de curvas, en función de los
llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una
distribución chi-cuadrado con 1 gl, una distribución chi-
cuadrado con 2 gl, etc. (Nota: Los grados de libertad
son siempre números positivos.)
-A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución se
hace más y más simétrica.

32. Usos de la Ji-Cuadrado
a) Para hacer inferencias acerca de la varianza
poblacional. Es decir, para calcular Intervalos de
Confianza y Prueba de hipótesis para la varianza
poblacional.
b) Para hacer pruebas de Bondad de Ajuste. O sea,
para probar si un conjunto de datos sigue una
distribución pre-determinada.
c) Para hacer análisis de tablas de contingencia.

33.  Por ejemplo, se divide un grupo de estudiantes en
buenos y malos alumnos y se constató si tenían
interés en problemas políticos, con nivel de
significación del 1% ¿Se puede decir de los resultados
que se muestran en la tabla a continuación si el
interés por la política es independiente del hecho de
ser o no buen estudiante?
Sin interés político Con interés Político
Buen estudiante 100 20
Mal estudiante 20 60

34. Sin interés Con interés
político Político
Buen 100 20 120
estudiante
Mal 20 60 80
estudiante
120 80 200

35. Sin interés Con interés
político Político
Buen 100 (72) 20 (48) 120
estudiante
Mal 20 (48) 60 (32) 80
estudiante
120 80 200

36.  De acuerdo al cuadro anterior
 (100-72)2/72+(20-48)2/48+(20-48)2/48+(60-32
)2/32=7,84+39,2+39,2+13,07=99,31
 Al consultar el valor crítico correspondiente
de χ2 encontramos
 χ20,95,(2-1)(2-1)=χ20,95,1=3,84
 Como el valor encontrado supera al valor
crítico rechazamos la hipótesis nula
(independencia entre las variables) y
aceptamos la alterna, el interés político y el
rendimiento académico no son
independientes.

37. CONSULTAS,
COMENTARIOS Y
SUGERENCIAS A
gfmorales@utpl.edu.ec

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