Modelos probabilísticos

Resultado de aprendizaje 2.2
Determina el comportamiento,
propiedades y características de
los resultados de la variable
aleatoria conforme su
distribución de propiedades
discreta
Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz

Justificación
El presente trabajo hace énfasis el explicar el
contenido del resultado de aprendizaje 2.2, con
una breve definición, acompañado naturalmente
de la ecuación que los rige y con una aplicación
practica de un problema para que el estudiante
vea la forma en como se aplican dichos modelos y
posteriormente el pueda resolver los ejercicios
que posteriormente se le presentaran.
Se considera una guía de estudio para trabajos
de aplicación posteriores.

Introducción
Partimos del concepto de lo que es variable aleatoria:
función que asocia un numero real a cada punto del espacio
muestral. Se representa como “ X ”
Es decir es una variable cuyos valores se obtienen de
mediciones en algún tipo de experimento aleatorio
EJEMPLO:
nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0,
1, 2…)
nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora
tiempo que esperan los clientes para pagar en un
supermercado…

Se clasifica en :
Variable aleatoria continua:
El conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos
los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.
Variable aleatoria discreta:
El conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar
asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que
sucede algo.
Ejemplo:
a) nº de páginas de un libro →
b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla →
c) nº de preguntas en una clase de una hora →
d) cantidad de agua consumida en un mes →
discreta
continua
discreta
continua

función
Probabilidad Distribución

Ejemplo A:
Se lanzan dos monedas y se cuenta el numero
de “soles”. Determina la función de
probabilidad para este experimento y traza
la gráfica correspondiente.
Solución.
sea: S = sol, y A = águila.
Entonces determinamos el espacio muestral:
S =  = { (A, A), (S, A), (A, S), (S, S)}

Realizamos su representación tabular y gráfica:
Resultados posibles X P(X)
(A, A) 0 ¼ = 0.25
(S, A), (A, S) 1 2/4 = 0.50
(S, S) 2 ¼ = 0.25
P(X)
X

Ejemplo B
Podemos obtener las calificaciones de un curso y
tabularlas
X f P(X) F(X)
1 Excelente 25 0.05 1.0
2 Suficiente 100 0.20 0.95
3 Insuficiente 200 0.40 0.75
4 No aprobado 175 0.35 0.35
n 500

Ambas funciones se representan gráficamente como:
Función
probabilidad
Distribución de
probabilidad

Función de distribución
La función de distribución describe
el comportamiento probabilístico
de una variable aleatoria X
asociada a un experimento
aleatorio y se representa como:
F(x) ó x

Esperanza matemática
La esperanza matemática o valor
esperado de una variable aleatoria discreta es
la suma del producto de la probabilidad de
cada suceso por el valor de dicho suceso
 = xi  pi

Varianza
La varianza es el promedio de las
desviaciones al cuadrado con respecto a la
media
2 = [(i - )2  P(i)]

Ejemplo
Siguiendo con el problema de las monedas
esperando que caiga sol Diapositiva 7
Calculamos la esperanza matemática:
 = 0*0.25 + 1*0.50 + 2*0.25
 = 1
 = xi  pi

Ejemplo
Ahora para la varianza, tenemos que:
2 = (0 – 1)2*0.25 + >(1 - 1)2*0.50 + (2 – 1)2*0.25
= 0.50
Para la desviación estándar,
tenemos:
 = √0.50
= 0.7071

Modelo de Bernoulli
La función de probabilidad de la distribución
binomial, también denominada función de la
distribución de Bernoulli, es
Donde:
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.

Ejemplo
Carlos Honda, director de control de calidad de la
compañía de automóviles NISSAN, se encuentra
realizando su revisión mensual de transmisiones
automáticas. En el procedimiento se retiran 10
transmisiones de la pila de componentes y se
revisan en busca de defectos de fabricación. A lo
largo del tiempo, solo el 2% de las transmisiones
tienen defectos.
¿Cuál es la probabilidad de que la muestra
contenga dos transmisiones con defectos de
fabrica?

Solución
Aplicando el modelo de Bernoulli, se tiene que:
N = 10; x = 2; p = 0.02 y q= 0.98
Luego entonces:
𝑷 𝒙 = 𝟐 =
𝟏𝟎
𝟐
𝟎. 𝟎𝟐 𝟐
𝟎. 𝟗𝟖 𝟖
= 0.015
= 1.5%

Distribución binomial
Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados:
el suceso A (éxito) y su contrario.
2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía
de una prueba a otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente.
Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele
representar por B(n, p), donde n es el número de pruebas de que
consta el experimento y p es la probabilidad del suceso A (éxito).
La probabilidad de Ac es 1− p, y la representamos por q.

Distribución de Poisson
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número
"n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo
es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:
Se tiene que cumplir que:
“ p” < 0,10
“p * n” < 10
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo
𝑷 𝒙 = 𝒌 =
𝒆−∗ 𝒌
𝒌!

Siendo:
P(x = k): es la probabilidad de
ocurrencia cuando la variable discreta x
toma un valor finito k
: lambda es la ocurrencia promedio por
unidad (tiempo, volumen, área, etc.)
K: numero de éxitos por unidad

Ejemplo
La probabilidad de tener un accidente
de trafico es de 0.02 cada vez que se
viaja, si se realizan 300 viajes, ¿Cuál
es la probabilidad de tener 3
accidentes?
Recuerda que:
n*p < 10
Entonces
 = n*p

Solución:
Datos:
n= 300
P = 0.02  n * p = 300*0.02 = 6
 = 6
Por lo tanto
𝑃 𝑥 = 3 =
𝑒−6
∗ 63
3!
= 0.0892
= 8.9%

Distribución hipergeométrica
Modelo aplicable a experimentos al igual que en la distribución
binomial en donde en cada ensayo hay tan sólo dos posibles
resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la
distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes
entre sí.
La distribución hipergeometrica se define como:

Donde:
𝑁1
𝑘
=
𝑁1!
𝑁1 −𝑘 !𝑘!

Recuerda que la combinatoria se escribe
como:
nCr =
𝑛
𝑟
Y significa:
𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛 −𝑟 !𝑟!

Ejemplo
En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan
4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean
blancas?
Solución:
sea entonces:
N = 12, N1 = 7, N2 = 5, k = 3 y n =4
𝑃 𝑥 = 3 =
7
3
∗
5
1
12
4
= 0.3535
= 35.3%

Distribución geométrica
Esta distribución toma en cuenta el número de veces que
debe repetirse el experimento hasta que ocurra éxito
por primera vez, en cuyo caso, termina de realizarse el
experimento. Aquí sólo ocurre éxito una sola vez. No
interesa cuántos veces se deba repetir el ensayo.
Su expresión se da como:

Ejemplo
Si la probabilidad de que cierto dispositivo de
medición muestre una desviación excesiva es de
0.05, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) El sexto de estos dispositivos de medición
sometidos a prueba sea el primero en mostrar una
desviación excesiva?
b) El séptimo de estos dispositivos de medición
sometidos a prueba, sea el primero que no muestre
desviación excesiva?

Solución
a)
Sea:
x = 6
p= 0.05
q = 0.95
Entonces
𝑃 𝑥 = 6 = 0.95 6−1 0.05
= 0.03869
b)
sea:
x= 7
p = 0.95
q= 0.05
Entonces
𝑃 𝑥 = 7 = 0.05 7−1
0.95
= 0.0000000148

Referencias bibliográficas
1. Almaráz Hernández Graciela, 2013, “Estadística:
Tratamiento de Datos y Azar”, Edit. Sefirot
2. Murray Spiegel, 2010, “Probabilidad y
Estadística”, tercera Edición, México, McGraw-
Hill Interamericana.
3. Gutiérrez Banegas Ana Laura, 2012, “Probabilidad
y estadística: Enfoque por competencias”,
Editorial: McGraw-Hill
4. Gamiz Casarrubias, Beatriz, 2008, “Probabilidad y
estadística con practicas en Excel” Segunda
Edición, México, Justin time press, S.A. de C.V.

Páginas WEB
es.scribd.com/doc/61799994/EJERCICIOS-DE-
DISTRIBUCION-DE-POISSON-resueltos
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarill
o.htm
http://www.slideshare.net/sonyelockheart/distribucin-bernoulli-
y-distribucin-binomial
e-stadistica.bio.ucm.es/mod_distribu/distribu2.html
http://www.aulafacil.com/Cursoestadistica/Lecc-30-est.htm

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