1. N umerabilidad
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Para cada f : N −→ N considere el conjunto Af = {n ∈ N : f (n) = 1}
pruebe que X = {f : Af es f inito } es numerable.
Soluci´n
o
1. Sea f ∈ X ⇒ Af ⊂ N es finito luego posee m´ximo sea nf = max Af es
a
decir f toma el valor 1 para n > nf en nf su valor es diferente a 1 y para
el resto de valores toma cualquier natural.
Agruparemos a todas las funciones g ∈ X tal que tengan mismo valor de
ng es decir:
Bf = {g ∈ X : ng = nf }
Observaci´n: Bf es numerable (verifique!!)
o
Consideremos ahora la funci´n ψ : X −→ N tal que ψ(f ) = nf .
o
Afirmaci´n: ψ es sobreyectiva
o
En efecto; dado k ∈ N podemos considerar la funci´n r : N −→ N tal que
o
r(n) = 2, n ∈ Ik y r(n) = 1, n ∈ N − Ik de esto se tiene Ar = Ik luego
max Ar = nr = k entonces r ∈ X y aplicando ψ a r se tiene ψ(r) = nr = k.
La prueba conluye viendo la imagen inversa de ψ.
X = ψ −1 (N ) = ψ −1 (∪n∈N {n}) = ∪n∈N ψ −1 {n} = ∪n∈N {f ∈ X : nf = n}
⇒ X = ∪n∈N Bf con nf = n
Luego X es la uni´n numerable de conjuntos numerables que es numerable.
o
1