El documento presenta instrucciones para representar varios poliedros regulares (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) utilizando diferentes sistemas de proyección axonométrica (dimétrica, isométrica y trimétrica). Explica cómo tomar los puntos de las proyecciones ortogonales de cada poliedro y trasladarlos a la axonométrica correspondiente para trazar las coordenadas y obtener la imagen buscada.

1. 61
dible en toda perspectiva). Tal conio
lo hiciéramos en el 2o. caso del Pá¡ra-
fo ant¿rior con un cuadrado ( base del
cubo), tomamos los puntos resultanteE
de las intersecciones de zus proyectan-
rcs, en ambos sentidos perpendiculares
entre sr con ambos planos verticales
(Fig. No. 303) y fijándolos mediante
una tira de papel en la terna isométri-
ca, directánehte, sin reducción, ob.
tendremos los puntos sobre los ejes
que nos permitirán t¡aza¡ las coorde-
AXONOMETRIA
nadas y obt¿ner el paralelogramo base
de la perspectiva del cubo, sobre cu-
yos cuatro vértices deberemos toma¡,
paralelament€ aj eje OZ, la magnih-.d
de la altura pero, como ya se explica-
ra, mql!!p!!cada-=pol _c!_,ssgqge¡l€
1-23 J con esas cuatro aristas vertica-
les dibujar el paralelogramo de base
superior, idéntico al inferior, confo¡-
mando la imagen buscada (que se pue-
de completar representando ambas
pmyecciones verticales).
123
r00
Fig- N' 304

2. TRATADO DE DIBUJO TECICY)
Para simplificar el procediaÉnto
de la cor¡ección d€ altr¡¡ar ¡€e tá¡á
conveniente dibujar un biángulo rec.
62
tángulo (Fig..No. 304) cuyo cat€to
mayor, dispuesto en sentido vertica.l.
medi¡í 123 milímet¡os y el menor.
Flg. f,lo 3{15

3. bó
horizontal, 100 milímetros; dividido,
si así fuera necesario, en milímetros,
para hacer efectiva la corrección (au-
mento) de alturas, no habrá más que
toma¡ la magnitud de las mismas, en
sentido horizontal, a partir de cero, y
desde ese punto extremo (4, por ejem-
plo, en el Dibujo) tomar la vertical co-
nespondient€ gue en su encuentro
con la hipotenusa del triángulo nos
da¡á la mag¡itud de la altura corregida
buscada.
(Es común ver, en a¡as de la sim-
plificación que, a veces, esta correc'
ción de alturas no se hace efectiva y
las mismas se toma¡ sin aumento lo
que, aunque no constituyc una inco-
rrección, no es lo más ortodoxo.)
Representación de un prisma rec-
to de base hexagonal regular. Com-
l)rcndido el I4étodo y a los efectos de
rgilitar el trámite o desa¡rr¡llo del tex-
ru utilizarr'¡nos para las ¡róximas re-
irlesentaciones (poliedros y volúme-
:rr.s dc' caL¿rs curvas) el slstema isomé-
'¡ico solarnelrte.
Cuantio el plisma está a¡royado
¡ el Plalrc, o¡izonlal por una de sus
,,:rscs hexrgon¿rlcs (Fig. No. 305, arri-
¡r) liroc¡rdercmos indistin tamente ya
.,,a cuando dicha base tiene dos de sus
..'dos en posición isornótrica (y aplica-
:rtos la constnrcciírn dr:l semi encajc) o
'tando ninguno dc sus lados es parale-
, a los ejes; tonrandr.¡ la altura del
rsnra (multiplicada por 1,23) a partir
:¡ cada uno de los seis vérl,ices obten-
:.nlos los dc la cara su¡terior y ¡rodre-
'os confrirm¡r la imagen pe rspecl;iva
:'l 'olum ctt.
Cuanclo cl t)rism¡ está a¡ro¡lado
tl Pla¡ro llorizoltal ¡ror una dt,sus
.:as latcrales rer'largulares (Fig. No.
¡. abajo) put'de su< cder c¡ue sus tta-
, ¡rrltendir.r¡ lan,s a dicho,plano, cs-
: i i)nl(,nidas t:n ¡tlarros isornótricos o
' ,f omo en la !'igura), p(:¡0 en ¿ur-
'- posibilidadcs ¡rodemos recurri_¡ al
- :edimiento de la "c¡¡nstrucción de
'- ,a,e' consistenle en inscribir al pris,
.. pn otro de base rectangular ( o
cuaüada, según el volumen de que se
trate). Esta forma de proceder, dada la
oportunidad, se cita aquí en un ejem.
plo muy simple, pero tiene la fina-lidad
de ahorra¡ líneas de construcción en
imágenes complicadas; en el caso en
que la base, apoyada en el PH, tiene
dos lados pamlelos a un eje, repitiendo
la construcción del semi encaje en la
base superior, habremos completado
la "construcción de encaje".
Representaci<in de una pirámide
recta de base cuad¡ada. Para represen-
tar una püámide recta de base cuad¡a-
da. por ejemplo (Fie. o. 306, a¡riba)
no existiÉ ninguna dificultad cuando
esté apoyada por su base en el PH
pues luego de dibujar su base, como
ya se ha hecho con el cuad¡ado base
del cubo, no hab¡á más que traza¡ sus
diagonales y, en su encuentro, tomar
la altura conespondiente ( es decir, la
natural multiplicada por 1,23). Pero si
la pirámide estuviera apoyada en el PH
por una de sus caras laterales triangu-
Iares (Fig. No.306, abajo) tendremos
que trlrir.ar en la represcnlación isomó-
trica los cinco puntos, 1', 2'. 3', 4' y
5', resl¡lLrntes del abatimiento de la
pirámide hecho en Proyecciones Orto-
gonales y que confornan su [)royec-
ción horizontal; determinados en Ia
perspcctiva dichos cinco puntos me-
diantc sus respcctivas coordenadas,
lt'stará solamente medjr la mag¡itud
(altur¿) existente entre los puntos 3y
y 3" ( la misma que entre 42 y 4"1'.ñ
l'ro5'ct ciones Ortogonales y. ¡retia ,. o.
rrec< ión o aumento de acuerdo al coe
ficiente 1.23, tomarla a partir de 3' ¡'
4' para fijar los puntos 3 y 4 y ¡-rodcr
completar Ia imagen bus<:da.
Representaciones axonométrica¡
ortogonales de los poliedros regulares.
Como complemento y resumen de to-
do lo expuesto en este Tema hemos de
representar al tetraeüo, octaeüo. dc.
decaedro
hexaed¡o
¡ncntr ).
e
ha
icosaedro regulares rei
sido tralado erpiJ.-i:+

4. TRATADO DE DIBUJO TEC'']CO
r23
5'I
1er. ejemplo. Perspectiva dimé-
trica del tet¡aedro regular. Sea el te-
lraedro regular lVer Párrafo 52, l'ig.
)io.68, arriba) que represo n t¿lr(fmos
regrrlo por una t¡'rna dinrétrica ya vis
Lir (Pnrrrrlo 211, 2o. caso, Fig. No.
283); si de la proyccción ortogonal
ho¡ieontal (F-ig. No. 307, ¿uriba, iz-
quielda) t()manros a ¡rartir dc ', hacia
la izquierda, solrre XV, los ¡runtos c',
b', d'y a'y, hacia abajo, solrrc VY,los
puntos b"', d"', a"'y c"'sr¡l¡re s¡ndas
tiras de papel, los fijruros a partir de
O, hacia la izquierda y Ia dcrecha res
pectivament€, sobre X'O y OY'y los
4' l'l¡ 1l
No 306
trasladamos correlativamente, en di-
rección verti< al. sobrc XO y OY, cn c1.
b1. d1 Y al, Y bA. d3. a3 v.c3 tondre
mos los prrnlos l)ara trazcr las coorde.
nadas , segirn las dos dirccci<-¡nes h<¡ri'
z()nt¿ües rcct.)ras dt'l sistema (paralelas
a XO y OY ) y de esa fr¡rma ot¡tencr
krs ¡runtos A, B, C y D': los puntos A,
B y C conformarán el triángulo üna-
gr.n de la cara apoyatlir en el PII y pa-
ra ()l)tcn{'r la ¿lltt¡ra t()nlirmos, de la re
prt'sentacriíln ortogona), la magnitud
D'f ) r. la que ul)icaremos a parlir de O,
sot.¡ri OZ', y trasladamos h<.¡rizontal-
mente hasta OZ' en d2. La magnitud
6.1
Fig.

5. 66
Od9 tomada verticalmenüe. a partir de
D',-nos dará el punto D que, unido
con los puntcs A, B y C, completerá la
imagen diméürica del tetraedro.
2o. ejemplo. Perspectiva isomé-
trica (en posición no isométrica) del
octaedro reguls¡. Tomemos la proyec-
ción ortogonal horizontal (Fig. No.
307, a¡riba, derecha) del octaedro
(Ver Párrafo 53, Fig. No.63, arriba) y
sobre la tema isométrica (Ver Párafo
210, Fig. No. 281) fijaremos sobre
X'O y OY', por su orden, los Puntos
d', c', af', e'y b', y e"', d"', af", b"'
y c"'y desde ellos, verticalment€, a dl,
c1, af1, e1 t b1, Y e3, d3, af3, b3 Y ca,
puntos de donde pa¡tuán lás coorde
nadas (todas a 30o con la regla T o
"lÍnea de base") que se encontra¡án
conformando el paralelogramo B'C'D'
E' que con zus diagonales constituye
la proyección isomét¡ica horizontal
dd pdiedro; si sobrc OZ', a partir de
O. tomamos la altura de A ( igual a la
.:rl:gonal del cuad¡ado proyección or-
rogonal E'C':B'D') y a la altura de los
puntos intermedios B, C, D y E (mitad
de la anterior) y a ámba6 las traslada-
mos horizontalmente hasta el eje ver-
tical OZ tendremos las dos alturas ne-
c€sarias pa¡a ubica¡ al vértice más alto
y a los cuat¡o de altura media que,
conjuntamente con F (sobre el PH)
nos dará la imagen isométrica, con re-
ducción, del octaedro.
3er. ejemplo. Perspectiva isomé.
:rica (en posición isométrica) del do.
:ecaedro regular. Para esta represents-
::ón partamos de la proyección orto-
;:nal horizontal (Fig. No. 307, abajo,
:quierda) del dodecaedro (Ver Párrá.
: - 54, Fig. No. 70, arriba) y tomemos
-:ra terna isométrica compuesta sola-
: -.nt€ por los tres ejes (conformando,
'-:
-supuesto, entre sí, ángulos de
. !?ur pues no ha_remos efectiva la re.
:-:ción; ubicando en dicha ¡epresen-
.::ón ortogonal el purrto V hacia la
j . - rerda (es decü que el eje XO que-
..'j dlspuesto en sentido vertical y el
AXONOMETNA
OY confundido con LT) y tomando
ambos ejee, mediante s¿ndas tüas de
papel, Io8 punto3 que fijaremos eobre
los correspondientes de la terna a¡o-
nométrica pod¡emos traza¡ la¡ coor-
denadas que 8€ encontra¡án aportando
los 20 puntos proyecciones horüonta-
les de otros ta¡rtos vértices del polie-
dro y que p€rmitirán dibujar sr pro-
yección isométrica horizontal. (Como
ya se habÉ notado, dada la "posición
isométrica" del volumen en cuestión
uno de srs planos de simetría. el que
contiene a los vértices 1,6, 11 y 19 es
isométrico y tanto en el entido de
OY, como en el de XO. habÉ va¡ias
coordenadas que contienen pajes de
puntos, simétricos los que están sobre
las orientadas en el sentido del eje Oy
e isométricos los que se halla¡ sobre
las segundas.) Para completá¡ esta ima-
gen sin reducción habrá que toma-¡ en
primer termino la altura h 1 de los
puntoe 6, E, lO, 12 y f4, h h,) de 7 , 9,
11, 13 y 15 y h2 +h1 de lo-s puntos
16, r?, 18, rg í 20'v, mediante el
procedimiento geométrico, aumenta¡-
la de acuerdo al meficiente l-23.
4o- ejemplo. Perspectiva trimétri-
ca del ic<¡saedro regular. Sea el icosae.
dro regular (Ver Prá,rrafo 55, Fig. No.
71, arriba) que represent€¡emos (Fig.
No. 307, ab{o, derecha) regido por la
te¡na t¡imétrica (Ver Párrafo 212, Fig.
No. 284). Repitiendo el proceso ubi.
camos sobre las a¡istas X'O y OY' los
puntos tomados de XV y VY de la
proyección ortogonal y, trasladados
v-erticalmente, los filamos sobre XO y
OY (haciendo efectivas las reduccio-
nes horizont¿les) y las a-lturas h11he
*h1 ubicadas sobre OZ', tr¿sladadai
horizontalmgnte hasta OZ ( haciendo
entonces la reducción vertical o ¡e-
ducción de alturas). En posesión de
los puntos que perrnit€n trazar iaJ
coordenadas para la obtención de ia
proyeceion axonomélrica ho¡¿ont¿
de cada vértice y zu respecliva aitur-o
nr.¡ existirá ningún inconveniente r a:-¿
drbuju l. tnlag;n tJ[nélnca dei icsa¿
dro buseada.

6. TRATADO DE DIBUJO TECNICO 66
-7--'
8.1(
t6.17
I
7.1!
6
4,.
#,^
Fig. No 307

7. bf
219. PROYECCIONES AXONOME.
TRICAS DEL CIRCULO. Rezulta ob-
vio que la circunferencia u otras líneas
curv¿$ no apafecerán en las representa-
ciones axonométúcas ortogonales en
su yerdade¡a magnitud y forma (única-
mente en el caso particular en que esté
contenida en un plano paralelo al Prin-
cipal), y como es sabido, un círculo
proyectado sobre un plano oblicuo a
él aparecerá como una elipse. Por lo
tanto, tal como s€ hiciera en el Capí
tulo ?, Trazado de Curvas. convend¡á
inscribir al cÍrculo en un cuadrado que
puesto en perspectiva resulLará un pa-
ralelogramo que aportará los elemen-
tos (ejes o diámeftos conjugedos) pem
la construcción de la correspondiente
elipse. Así, si al círculo contenido en
el Plano Horizontal (Fig. No. 308) lo
inscribiéramos en un cuadrado 1234,
que por determinada razón estuviera
en posición "no isométrica", al efec-
tua¡ la puesta en perspectiva debere-
mos construú una elipse inscripta en
un paralelogramo no recláhgulo cuyas
nedianas vx e yz constituyen dos diá-
metros conjugados de la cuna, para lo
cual emplearemos el mátodo que con-
sideremos más conveniente o apropia.
do (en la Figura se empleó el Métocl,r
de los dos haces de rectas, Ver Párrrafo
65). Si dese:íramos det€rminar los ejes
de esta elipse por cualquiera de los
procedim ientos estudiados (ver Párra-
fos 59 y 60) comproba-remos que el
eje menor será paralelo al eje OZ (está
en dirección principal) y el mavor.
perpendicular a é1.
Si al mismo circulo, contenido
en el P. H.. lo hubiéramos inscri¡rto.n
un cuadrado en "posición isométrica"
regido por una te¡na de ejes rsométri-
ca (Fig. No. 309) el ¡es¡itado de la
puesta en perspectiva será un rombo.
cuyas diagonales, perpendicula-res en-
tre sí, serán también paralela ¡ per-
pendicular, respectivamente, a la di-
rección de la visual principal. es decü
que dichas diagonales estarán confu¡r-
didas con los ejes de la elipse, y por lo
tanto, si pa¡a construü la e.lipse
empleamos el Método de los ocho
puntos y las ocho tángent€s (Ver Pá-
F¡g. 308

8. TRATADO DE DIBTJJO TEC¡;ICO
rraJo 64) obtendremos directamente,
sobre las diagonales, los puntos extre-
mos de ambos ejes (por donde pasarán
las tangentes a la curva que también
serán horizontales y verticales). (En
toda representación axonométrica que
se aplique el correspondiente coefi-
ciente de reducción el eje mayor de la
elipse deberá tener exactamente la
misma magnitud que el diámetro del
círculo que representa, pero, como
aquÍ henros hecho la perspectiva iso-
métrica sin reducción, el eje mayor de
la elipse ticne una magnitud equivalen,
te a 1,23 del diámetro del cÍrculo del
cual es proyección; la magnitud del eje
menor de la elips€ estará dada siempre
en relación a la oblicuidad que guarde
la visual principal con el plano <¡ue
contendrá al cÍrculo en cuestión.
Cuando el cÍrculo está contenido en el
PH y la terna es isomét¡ica, como en
el presente caso, la relación entre los
ejes está dada por la linea que une zus
extremos y que guarda 600 con el
menor y 30o con el mayor. )
Similares consideraciones merece
el (as() en que el cÍrtulo está conteni-
do en uno de los planos verticales.
Poclemos generalizar diciendo
que todo cÍrculo contenido en uno de
los planos coo¡dt'nados o en un plano
isométrico. se verá re¡rresentado por
una elipse cuyo ejc menor será parale-
lo al e.je axonométrico opuesto al pla-
no que ia contiene y s¡ eje mayor,
perpendicular a é1.
Cuando debamos representa¡ un
círculo contenido en un plano no
isométrico, ya sea éste oblicuo a dos o
a t¡es de los coordenados, no habÉ
más que inscribirlo en el cuadrado que
consideremos más cJnvenient€ y, con
el paralelogramo resultante, en perg
pectiva. construü la elipse correspon-
diente (como vemos ésta también es
una aplicación de la construcción del
semi encaje).
(Es bastante común, en algunos
Textos, ver representado al círculo, en
AxonometrÍa, mediante el llamado
Método de Stevens, consistente en el
t¡azado de un óvalo de cuatro centros,
es decü, con curvas de compás, pero, a
pesal de zu practicidad, por su contra.
dicción con la definición de elipse, por
la diferencia existente entre óvalo y
elipse, no se ha considerado pertinent€
incluirlo aquÍ. ¡
Si la cu¡va a representar no fuera
un círculo y si una curva abierta y si-
nuosa, por ejemplo (Fig. No. 310), de-
beremos elegü de ella cuantos puntos
consideremos necesarios y trazar las
respectivas proyectantes que, en la
Lmagen a-r onométrica. convertidas en
coordenadas nos irán a¡rortando los
mismos en perspectiva tratando ade-
más de aplicar en lo posible la cons-
trucción del semi encaje.
68
2*- -¡--?(lzz.Jts -}/ :

9. 69
220. PROYECCIONES AXONOME.
TRICAS DE VOLUMENES DE CA-
PA,S CURYIS. En este Pá¡ra-fo vere-
mos la represen'r,ación perspectiva de
AXONOMETRIA
lo¡ tres volúmenes "tipo" de revolu-
ción: cilindro, cono y esfera.
Para la representación del cilin-
d¡o ¡ecto consideremos en prirner
término el caso en que el volumen está
apoyado en el PH por una de su6 bases
(Fig. No. 311, izquierda) (es decü que
su eje, y por tanto todas s.¡s generatri-
ces son paralelas al eje vertical OZ).
Construyendo la imagen de la base, de
forma elíptica, por el método que en-
tendamos más adecuado, no habrá
más que tomar la magnitud de la gene'
ratriz o altura del cllindro y. prer ia co.
rrección de acue¡do al coeliciente
1,23 ubica¡la sobre los extremos de
sus ejes (o diámehos conjugados si asi
se diera) y dibujar otra elipse idéntica
a la inferior; las generatrices ubicadas
sobre los extremos de los ejes mayores
de ambas elipses completarán el con-
torno apa¡ente del volumen.
Si el cilindro estuviera apoyado
en el PH por una de sus generatrices
(su eje es horizontal) (Fig. No.311,
derecha) recurrüemos a Ia construc-
I
s
s.
Fig. No 310
Fig. No 311
I

10. TRATADO DE DIBUJO TECNICO
ción del encqie, dibujando el prisma
recto de ba¡e cuadrada que lo inrribe.
Dentro de los paralelog¡amos perspec-
tivas de ambas bases contenidas en pla-
nos verticaleg (no isométricos en este
caso) construiremos sendas elipses ins
criptas que luego uniremos mediant€
do6 tangentes (Ver Párrafo 72, T"ra'
zado de las tangentes a la elipse para-
ielas a una di¡ección dada) sabiendo
que su düección es la misrna de las
a¡istas longitudinales del prisma de
encaje, con las que completaremos
la imagen buscada.
Para la representación del cono
recto ve¡emoE dos ejemplos; 1o.)
cuantlo el cono está apoyado en el PH
por su base (y su eje es verl,ical) (Fig.
No. 312, a¡riba); dibujada la imagen
elíptica de su base en dicho plano bas-
tará con tomar a parti-r de su centlo la
altura del volumen, multiplicada ¡ror
1,23, y desde ese vértice traza¡ las tan-
gentes a la elipse (Ver Párrafo ?3,'lra-
zado de las tangentes a la elipse desde
un punto situado en la prolongación
de uno de sus ejes) que completar-án el
contorno aparente de la figura, y
2o.) cuando el cono est'á apoyado en
el PH por medio de una de sus genera-
trices (F[g. ir-o. 312, abajo) (el eje es
oblicuo a dicho plano) tendremos que
ubica¡ en la representación axonomé-
trica los cinco puntos, 1'.2',3', 4' y
5', resultantes del abatimiento hecho
en Proyecciones C)rtogonales, de la ¡'li-
rámide utilüada como construcción
de en<:aje y que inscribe al cono en
cuestión, que conforman la proyec-
ción ho¡úontal de aquclla, determina-
dos en la perspectiva dichos cincc¡
puntos median¿e sus res¡rectivas coor-
denada,s no habrá más que medir la
magnitud (altura) existente entre los
puntos 32 v 42y 3" y 4" en proyec-
cionts <,rtrrgonales y, prcvia <'orrec-
ción de acuerdo al coeficiente 1,23,
toma¡la a partir de 3'y 4', en la axo-
nometrÍa, para fijar los puntos 3 y 4 y
poder drbujar conjuntarnente con I y
2 el paralelogramo no rectángulo, baú
de esa pirámide, que inscribe'a la elip-
70
¡e base del cono, que traza¡emos de
acuerdo a los diámetros conjugados
que conforman.las. media¡as del para-
r23
Flg. No 312

11. ?1
lelogramo; para completar la imagen
del cono volcado habrá que trazar las
tangent€s a la elipse desde el punto 5,
imagen de su vérbice.
Veremos ahora la representació n
de la esfera. La esfera en cua.lquier
perspectiva axonométrica ortogonal
con su correspondient¿ reducción será
una circunferencia cuyo diámetro tie-
ne la misma magnitud que el de la
propia esfera que represent¿ pero, en
la perspectiva isométrica sin reducción
se representará entonces como una
, ircunferencia cuyo diámetro será
1.23 mayor que el de dicha esfe¡a.
-.unque la representación de Ia
r,slera resulta aparentemente simple
no oonviene hacerlo solamente por su
contorno sino acompaiado además
i)or sus tres planos meridianos
LSométricos posibles (Fig. No. 313)
lplanos meridianos del cubo isomé-
AXONOMETRIA
trico que la inscribe), que apor-
tarán cada uno de ellos una elip-
se que, aparte de la sensación de voht-
men, darán puntos de referencia sobre
la zuperficie esfórica que pueden resrl-
ta¡ de utilidad para algún otro tipo de
expresión o como ejemplo para la de-
terminación de otros planos (isometri-
cos o no) para la obtención de casqu"'
t€s o sectores esfé¡icos.
26. AXONOMETRIA CLA;OGON.,{L
U OBLICUA.
221 . GEf ERALIDADES. 'oha¡¡os a
considerar nue!alnenie al Sistema
Axononiétrico compuest.J por e! Trie-
dro Recto Fundamental de Prc,¡tc-
ción y un único obsen'ado¡ (o cent¡o
de proyección cilíndrica) ubicado
siemprc en el infinito. que entite r rsua.
les o proyectantes paralelas entre si.
f *'2
t-,¡-
Fig. No 313

12. TRATADO DE DIBUJO TECI;rcO
p€ro perpendiculares ahora a Lrno cuai'
quiera de los tres planos component€s
del T¡iedro y cuya dirección est¿rá de'
t¿rminada, como siempre, por la vÉrai
principal que aquÍ, forzosament€. se
confundirá con la inters€cción de los
obos dos plaaos en cuestión (FiS. No.
314).
Fig. No 314
Como ya se dijera anteriormente
(Párrafo 203), el observador único, o
centro de proyección cilíndrica, co'
rrespondiente a cada uno de estos ti-
pos de representación de la Axonome'
trÍa Oblicua se identifica con cada uno
de los tres observadores (o centros de
proyección cil!ndrica) que, superpue$
tos de t¿l manera que sus respectivas
risuales principales, perpendiculares
€ntre sÍ y a sus correlativos planos de
¡rro¡'ección, conformaban el Sistema
de las Pro¡'ecciones Ortogonales: en la
-i)nometría Oblicua o Cligonal se
! tüIza inCepe ndientemente uno sólo
de ellos. por 1o cual dispondremcis del
conesponCiente plano de proyección
{ o plaro de pa¡tida) en verdadera mag-
niurd y forma (un ángulo recto) sobre
el cual se podrán representa¡ solamen.
t€ dG dimensiones, obligándonos en-
t nces a la adopción de una tercera d).
¡ecclón, a¡bitra¡ia, imprescindible p:ua
la representación de la tercera dirnen'
sión que será, en dos de los casos, la
que dará la sensación de escorzo o fu.
ga (perspectivas "cabinet") y, en el
otro, la de a.ltura (perspectiva cavalle-
ra).
Para poder representar al Triedro
Recto Fundamental (Fig. No. 315.
arriba, izquierda) en el Sistema de las
Proyecciones Ortogonales, era necesa-
rio descomponerlo girando (Fig. No.
315, arriba. centro) al Plano de Perfii
hast¿ confundirlo en un mismo plano
con el Plano Vertical (F¡ontal) y aba.
tiendo el Plano Horizontal hasta que
se identificara también con el Vertical.
y de esa manera leniamos representa-
dos en un mismo plan<.r (Fig. No.315.
arriba, derecha) las tres porciones co-
rrespondientes a cada uno de los pla-
nos de proyección en las que estarÍan
representadas las imágenes o proyec-
ciones proporcionadas por los correla.
tivos observadores o centros de pro-
yección; alora bien, si consideramos
independientemente dichas porciones
de los tres planos coordenados que
conforman al Triedro (Fig. No, 315,
abajo, izquierda) poseeremos por cada
uno de ellos dos direcciones perpendi-
culares entre sí, concurrentes al vérti-
ce del Triedro y al cual concurrirá
también la visual principal (perpendi-
cular al plano representado por ese án-
gulo recto) del respectivo obsewador,
pero reducida a un punto, por que se-
ra necesario (ya que tenemos represen-
tadas solament€ dos direcciones) otor-
garle a ésta una oblicuidad arbit¡aria u
optativa (eje transverso) para hacer
posible la representación de la tercera
dimensión (Fig. No. 315, abajo, dere.
cha). Como esa tercera dirección a¡-
bitraria es, precis:rmente, la que coin-
cide son la visual principal. ésta se ve-
rá represontada ahora como una recta

13. 73
AXONOMETNA
F
P
H
F ..:.....:.:.:.
-.1:.i1iii:.1i:.ii
F¡9. No 31S
oblicua (y no como un punto) a.l co-
nelativo plano (y por lo tanto al pla-
no del Dibujo), estando entonces den-
t¡o de los límites de la AXONOME-
TRIA OBLICUA O CLINOGONAL
(la visua.l principal se representa obli
cua a.l Pla¡o Prin cipal).
Cuando utilizarnos independien.
t€mente uno de los dos observadores
o. centros de proyección correepon_
drentc a cualquiera de los dos planoe
verticales de proyección (ya sea el
¡ rontal_o el de Perfi.l), la visual princi-
pal será horizontal y se confündirá
ton Ia intersección del plano Horizon-
ral y el restante plano vertical (Línea
'le Tierra); teidremos entonces un eje
';ertical y otro horizontal (formado
,n¿re ambos un ángulo recto) v al otro
,¡e Horizontal (reducido a un punto)
:ros veremos obligadus a asiqnarle una
ii¡ección arbitraria, una de-terminada
rblicuidad con respecto a los anterio-
:es y disponer así de una terna que re-
pres€nte las aristas del Tliedro. A es.
tcs dos casos de la Axonometría Obli-
cua se les denomina PERSPECTIVAS
"CABINET" ( o "perspectivas de gabi-
nete"), y a la tercera dimensióh, d; di-
rección a¡bitra¡ia y optativa de acuer-
do a las conveniencias de'cada caso se
le aplicará una escala o coeficiente de
reducción apropiado o proporcional a
la inc¡inación que se le otorgara. (En
estos dos c¿tsos, esa dirección optativa
será Ia que brinda¡á sensación-de es"
corzo o fuga, es decir que todas las lí-
neas fuga¡tes del conjunto serán para-
lelas, de ali que. a las perspectivas de
gablnete y por ser además de los pri.
meros ensayos de Perspectiva, se les
conociera con el nombre de,.perspec-
tivas Paralelas" a dilerencia de lo que
sucede con la Perspectiva Real o Cón:-
ca.)

14. TRATADO DE DIBUJO TECNICO
Cuando el observador único uti-
lizado es el correspondiente al Plano
Horizontal, la vislal principa.l trazada
al vértice del Triedro será vertical y se
confundiÉ con la intersección de am-
bos planos verticales de proyección
( Fronta.l y de Perfil): será necesa¡io
entonces asignarle a los ejes horizonta-
les (ambas Líneas de Tierra, intersec-
ciones del Plano Horizontal con cada
uno de los verticales. o a¡istas horizon-
tales del Triedro) dos inclinaciones
cualesquiera (siempre que ellas guar-
den entre sÍ un ángulo recto) y la ter-
cera dimensión no será en este caso ar-
bit¡aria optá¡dose siempre por la ver-
tical. A este caso de la Axonometría
C)blicua se le denomina PERSPECTI-
', CAVAL_LERA {es fracuente ver
en algunso textos antiguos denominar
a este caso "perspectiva militar") y a
la tercera dirección, la vertical,*qo se_
_ &jplca Cgne¿dlS-e{e qscala o coefi-
ciente dF ieducción. piésentando en-
T;orrcE-l-as ven-lajá- dé poder represen-
lar las tres dimensiones de un objeto
en verdadera magnitud además de que
su planta (o proyección horizontal) lo
es*rrá también en verdadera magnitud
y forma.
El tipo de representaciones cita-
do en primer termino no es, por su-
puesto, caprichoso y sí muy útil como
complemento del Sistema de Proyec-
ciones Ortogonales. Es cieto que e¡ he-
cho d€ no existir deformación pers'
¡rectiva como sucede en la visión nor-
mal (y como r obtienen en la Pers-
pectiva Real) da a esas imágenes un as-
pecto pá¡ticular que en un principio el
ojo humano tiende a rechazar ya que
está acostumbrado a ve¡ los objetos de
acuerdr¡ a ias leyes de la perspectiva
real, pues a nuestra visión los objetos
aparocen tanto más pequeños como
alelados r.stén, por lo tanto a veces no
.es.Jlta aprol)iado trata-r de repres€nta¡
conjun'-os en gran escala pues pueden
apa-'ecer de f o¡mados en sentido
cpuestc, !in la ¡ealidad, cuando se
co:iempla un objeto desde un punto
de vis= rcu¡ ale,;ado, sus líneas parale-
74
las se nos presentarán aparentemente
como tales dadas por vizuales práctica-
mente paralelas, es decir que cuando
s€ represent¿n objetos o conjuntos re-
lativamente pequeños en los cuales la
sensación de fuga o escorzo no resulte
forzada, Ias perspectivas "cabinet" re-
sulta-¡án aceptables. El uso de la pers-
pectiva cavallera, en cambio, puede ser
m¡ís liberal.
Hemos recurrido a las denomina.
ciones tradicionales o más comunes
para tratar de identificar de la manera
más rápida o sencilla a las distintas re-
presentaciones de la AxonometrÍa
Oblicua, ya que en realidad los nom-
bres tecnicos apropiados de acuerdo a
sus ca¡acterísticas generales serían: pa-
ra la p€rspectiva de Cavalieri, o cava-
llera, Axonometa-ía Cligonal Horizon-
tal, generalmente isométrica (aunque
en ciertos casos, a los efectos de dar
sensación de vista aérea o un tanto ale-
jada de uir conjunto de volúmenes se
reducen sus alturas, y por ellos sería
monodimétrica), y para la perspectiva
"cabinet" o de gabinete (para evita¡ el
galicismo¡, Axonometría Clisona¡ Ver-
tical, que generalmente es rñonodimé-
trica.
222. EL PLANO DEL CUADRO HO.
RIZONTAL (AXONOMETRIA CLI.
GONAL HORIZONTAL O PERSPEC.
TM CAVALLEEá). Cuando el úni-
co observador ( o centro de proyec-
ción) de la Axonometría se ubica de
tal forma que su vizual principal (tra-
zada al vértice del Triedro Fundamen-
tal) es perpendicula¡ al Plano Horizon-
tal, ésta se confundirá con la intersec-
ción de los dos planos verticales
( Frontal y de Perfil) reduciéndose por
lo tanto en la imagen la arista vertical
a un punto. Representaremos enton-
ces al Plano Horizontal como un ángu-
lo recto (Fig. No. 316) a cuyas rüistas
XV y VY se les podrá asignar cual-
quier inclinación con respecto a la re-
gla T (guardando entre ellas, por su-
puesto, un ángulo de 90o) aunque ge-
nera.lmente se aconseja ubica¡lo a 30o

15. 76
l"
Fig. No 316
y 600 1o 600 y 30o, tal el caso de la
Figura); como resulta forz oso, a la
t€rcera dimensión, la arista YZ (o eje
OZ), le asignaremos la düección verti-
cal y así tend¡emos representado al
Tried¡o ¡ecto- (A efectos acla¡atoúos
se ha representado el Plano Principal o
Cuadro, en el que se verifica la ima-
gen, que será paralelo al Horizontal, y
se verá al eje OZ como oblicuo a
el slendo, en realidad, perpendicular.
También conviene hager notar que se
han utilizado indistintamente lo¡ tér-
ninos a¡ista y eje, pues la¡ aristas XV
v VY tendrán la misma dirección que
:os ejes XO y OY, y la a¡ista VZ se
-'onfunde con el eje OZ, es decir que
i terna de aristas y la terria de eje6
ion idéntic$).
Como el Plano Horizont¿l está
-prerentado en verdadera magnitud,
:oda magnihrd que tomemos sobre él
: zus ejes XO y OY también lo esta¡á
¿n ese condición, por tanto resulta
conveni€nte rcpreÉntar ademá¡ en
verdadera magniü¡d las alürns (pa-
ralela¡ al tercer eje OZ) y así las
p€rsp€ctivaÁ cavalleras tend¡án la
venteja. de eKp¡eoar directamente
las tres dirnengiones del objeto di-
bujado y de no tener que recurrir
a la aplicación de ningún coeficien-
te de reducción o escala para zu cons
trucción, es Ceci¡, que, en la generali
dad de los casos, l¡ per¡pecüva cava-
üera es isométrica, aunque no deb€-
mos descartar aquellos en los que por
determinadas ci¡cunst¿¡cias nos con-
venga reducir las a.ltu¡as.
(En cuanto a Ia grafía del nom-
bre de. esta ¡epresent¿ción, que des
pierta curlosidad, es neces¿¡io acla¡a¡
que se ha optado po¡ la de cavalle¡a
(con uve) pues deriva de Cavalieri"
apellido de un pintor ita.liano, nacido
en Cremona, Pedro Antonio Cavajieri
(1700-1770) que "se dedicó a la pin.
tura de perspectiva obtaniendo reputa-
ción en el ejercicio de esta especiali-
dad, gozó fama de original por rehusar
su trabajo a los ig¡rorantes por crecidas
que fueran zus ofertas", desechándose
la de caballera, aunque sea ésta Ia
aceptada por la ReaJ Academia, surg:-
da seguramente de la traducción de
textos fra¡ceses (cavaliére=cabaJlera)
y que ha dado lugar a explicaciones de
la etimologÍa de esta palabra verdade-
ramente inefables. Por zupuesto que
antes de 1700 ya existÍan repres€nta,
ciones perspectrvas. y de las mismas
ca¡acterísticas de la cavallera, pero da-
da zu especialización, fue Cavalieri
quien le legara su nombre; es dable
leer, en textos antiguos, como título:
"perspe<:tiva de Cavalieri". )
223. EL PI.ANO DEL CUADRO
VERTICAL (AXONOMETRIA CLI-
NOGONAL VERTICAL O PERSPEC.
TIVA "CABINET") Veremos aquí
los dos casos posibles de la perepeiti-
va "cabinet", es decü, cuando ól ob_
servador del caso sea indüerentemente
el correspondientp al Plano Vertical
Frontal o al Vertical de Perfil o Late

16. TRATADO DE DIBUJO'I ECNICO
ral, y el eje tra¡werso f confundido
con la correlativa lÍnea de tbrra). el
XO o el OY, de inclinación optat.iva.
Todo lo que estrá contenüo en el
plano vertical án cues¿ión ( F¡onta.l o
de Perfil), para.lelo aJ cuadro, elará re-
presentado en verdadera magnitud y
forma, pues el eje vertical OZ y uno
de los horizontales. XO u OY, segun el
caso. lo están t¿mbién (s¡8 coeficien-
tes de reducción son nulos y quedan
iglalados con la unidad objetiva) en
cambio el ot¡o, el t¡ansverso (ya sea el
OY o el XO. segun el caso) (Fig. No.
31?) por ser perpendicular al Cuadro
(Plano Principal) se verá reducido a un
pun¿o, su coeficient¿ de reducción es
cero, ! s€ anula o desaparece, lo cual
resulta absurdo para un sistema tridi-
nrensional. Como ya se dijera, se le
asigna entonces al tercer eje una direc-
76
crón un t¿into arbitraria u optativa, y
s€ le aplica luego un coeficient€ de re-
ducción adecuado o proporcional a
esa inclinación asignada.
La libertad para otorga¡le al eje
transverao una oblicuidad o incliná-
ción cualquiera da lugar a infinidad de
posibilidades en la combinación de
los ejes, pero para evitar complicacio-
nes generalmente s€ utilizan combina-
ciones de ejes que result€n cómodas
(sujetas por lo común a los ángulos
que aportan las escuadras de dibujo).
(Como se habrá advertido, aquí tam'
bién hemos utilizado la palabra eje c<.r.
mo sustituta de a¡ista que, en la Axo-
nometría Oblicua, se pueden conside-
rar sinónimas.)
Debemos ahora distinguir dos
grupos de perspectivas "cabinet": 1o.)
cuando el eje transverso (inclinado)
forma ángulos iguales con los otros
dos (vertical y horizontal), es deci¡.
cuando la inclinación del eie tra¡wer.
so es de 45o (con respecto a Ia regla T
cuya línea central llámase generalmen-
te "línea de base") bisectriz del ángu-
Io formado por los anteriores, o 2o.)
cuando forma con ellos ángulos dis
tintos.
ler. gn:po. el eje transverso está
inclinado 45u (con respecto a la regla
T) y forma por lo tanto dos ángulos
iguales de 135o con lo! otros dos (Fig.
No. 318)- A veces, en este caso, no se
le aplica ninguna reducción al eje
tranwerso, t¡l como en la cavallera,
pero como veremos más adelante, si
tomamos una misma magnitud en los
tres ejes (como por ejemplo para la re-
presentación de un cubo) la imagen re-
sulta algo chocante a la vista (lo que
no sucede en la cavallera pues la visión
es más tolerante cuando la deforma-
ción se opera en sentido vertical y no
cuando se debe da¡ sensación de fuga),
por lo tanto, no olvid¿rndo que la ter-
cera dirección es convencional, ¡ecu-
rriremos a la aplicación de una escala
de reduccióin de las magnitudes trans
versales equivalentes a 1/2, confor-
mando lo que ha dado en llamarse unaFig. N'317

17. 77
Fig. No 319
perspectiva "cabinet con escorzo,'
(monodimétrica).
.2o. gnrpo. El eje tranwerso for-
ma angulos disttntos con los otros dos,
Sl aJ eje trarwerso le asimamos una
rnclinación de 30o ó 60d. por ejem-
plo, con la línea de base de la regla T
teniendo en cuenta, con fines ilustra-
:ivos, solamente las di¡ectas aplicacio-
res de las escuadras de dibujo) (Fig.
o. 319). los ángulos que forme con
.os otros dos ejes, según el caso, serán
le 1200 y 150^o: cuando el ángulo
OZ es de 1200 y el XOy, de 1300
Fig. No. 319, izquierda, arriba) a la
-erspectiva "cabinet" se le conoce co-
:ro lateral-f¡rjntal ( o frontal-lateral si
= refiere a Ia terna ubicada abaio de Ia
:,rsma Figura¡ y cl cocficic;h de
:gducción a aplica-r al eje tranwerso se-
AXONOMETRIA
rá de 2/3; cuando el ángulo XOZ es de
1500 y el XOY, de 1200 (Fig. No.
319, derecha, arritra) a la perspectiva
"cabinet" se le conoce como horizon-
tal-front¡t (u horizontal-late*1, p"ra
la terna ubicada debajo) y el coeficien-
te de reducción a aplicar al eje trans-
verso será de 1/3.
Como vemos. en todos estos ca-
sos se utiliza una determi¡rada reduc-
ción a las magnitudes regidas por el eje
tranwerso confirmando que la pers-
pecliva "cabinet" es monodimétrica
( o slmplementp dimétrica ). Es obvic,
que el Dibujante puede opt¿r por no
hacer la reducción de las magnitudes
trans!ersales. y la perspectrva sorá en-
tonces isométrica, pero ta.l procede¡
más cómodo o rápido ¡esulta conve-
nient€ para la confección de trazados
auxiliares y no es aconsejable en la ¡e,
presentación de conjuntos.
(Se ha optado por el galicismo
"cabinet" debido a la profusa utiliza.
ción del t¡rmino en los textos france-
ses, surgido de las representaciones del
cubo, ejemplo elemental e ineludible
de perspectiva e identificado con una
cajit¿ (cabinet), cuya traducctón lire,
raria serÍa "gabinete".)
27. REPRESENTACIONES EN EL
SISTEMA AXONOMETRICO CLI.
GONAL.
224. GENERALIDADES. Como el
principal propósito de la Axonome-
trÍa, aparte de complementarse con
las Proyecciones Ortogonales, es el de
aportar imágenes fácilmente compren-
sibles y de construcción rápida. Ia
Axonometría Clinogonal u Oblicua.
en cualquiera de sus dos formas se
adapr"a perfectamente a tai finalidad
Clarc que, previamente a la realüacjói
de una ¡,rc¡'r.s,,ntación atonomp:i:, ,
oblicua tlebercntos conside¡a¡ ias i-..
lidades ilel cnl.e gt ométrico a iitru x .
en q:ré -,.n,lic:on, s hacerlo. ; ar" .,.r--

18. 78
TRATADO DE DIBUJO TECNTCO
Fig.
por el tipo de perspectiva a utilizar: si
la vertical o la horizontal (o, dicho de
otra manera, cuál será el plano de par'
tida que se habrá de elegir).
Si la representación proPuesta
luera la de un punto, línea, plano, fi
gura plana. o de un solo volrrmen, es
aconsejable utilizar la vertical, pues
para algunas representaciones de volú'
menes. sohre todo en conjuntos, como
luego )o explicaremos, resulta más
agradablc ¡' soncilla la horizontal. Vea-
mos la mencionada opción.
lo. ('uündo dcbcmos ar ompañar
una ex¡rlicaci(rn o complementar una
iep reser r,ac lón de Proyecciones Orto-
gonales dc "ntes gconrétricos, sean és
to6 puntos. s€gmentos de recta, figu-
ras planas, inters€cciones de planos,
por ejemplo, conviene optar por las
representaciones de tipo vertical o
"cabinet". (Es muy comúu el empleo
conjunto de amlras rel)r('sentactunes v
escuchar a los Profesores de Dibujo,
cuando recur¡en a este tipo de pers-
pectiva, decir: "voy a hat:er Ia re¡rrc-
scnta¡ión en el espa,r,r". asl c{,nlo
tambiórr llaman a las Proyect'iotrt's {)r-
togonales "el depurado": cn realidad
la exprt'sión adt,cuaria sr:ría ll¡nt;¡rlas
por sus nottrbrcs tecnicos ( orreclos.
Comrl también v'notará, l¿rl comt¡ se
vuelven a repr<tducir a.hora (l-ig. No.
320) dura-qte el desa¡rollo de todo es-
te T¡atado se han empleado las per+
pectivas a,on ométricas oblicuas verti-
1200 150 0
1200
300

19. ----*
a..'-tI
I
é---I
-----v
19
cales como ilustraciones acla¡atorias
complementarias.) Este tipo de repre-
sentación es un auxilia¡ indispensable
de la Geometría Descriptiva y de uso
casi obligado en toda imagen que se
deba representar al Triedro Funda-
mental de Proyección.
2o. En cambio, si se tratase dc la
pe¡speciiva de un volumeu que prescn-
tc alguna complicación (por su forma
o su posición) o un agrupamiento de
cuerpos ge<lnrétricos (! ('t) la que no
i¡rterese rel)resentar al 'I'riedlo Fun-
d¿imental) será conveniente utilizar la
axononlelría oblicua horizontal, no
sólo porque resulta más agradable a la
rista, sino por la cualidad de que su
plano de partida es la proyección ho,
rizontal, o plant.a, que vemos en ve¡da.
dera magnitud y forma.
Pa¡a r:onslru ir i:rLa l)(.fsper.tlva
dllrr¡remos tener la ¡.rrccaución de quc
ain6'unl línea de su l)la¡rta rlur.de en
rosicitin pcrpentlicular a la lÍnr'¡ rlc
:,as¡ ¡)ues se cr¡nfun<iirán c<¡n las lÍ-
'ri'as verticalcs qut' delrn d¿u la st,¡ls¿¡,
rión de ali,ura. AsÍ, si descarn<.rs bacer
: perspectiva r-avallera dc dos prrsnras
AXONOMETRIA
rectos de base rectargular, dispuestos
de tal manera que sus direcciones prin-
cipales sean oblicuas entre sí (Fig. No.
321, an'iba) no habrá más que incliniu
la proyección horizontal (60o y 30o.
po¡ ejemplo) y tomar desde sus res-
pectivos vértices, sin reduct.ión (es dt'-
cir, isométrica) las correspondientes
alturas (!'ig. No. 321, centro). Pero,
para hacer Ia perspectivá "cabinet" se.
rá necesario en este (:aso recurlir ¡l
método de las coordenadas o cotas
visto ya en Axononletría Or-togonul
para dis¡roner los vórtices de la bas,'
del prisma superior ( ¡'ig. Nt¡. 32I .
abajo) además de tener que aplrtar
una escala de reducción en las lÍner¡5
de esr.orzo o fuga: a t¡¡l ltirb¡J,r r,,lr
vendrá entonces la utilizat.ión de irr
Perspe('tiva isomót.rica crrtogcrD.rl tir.r,
i)rindarii unil imagt,n más agratlrrlrle',
más sr:Dcill¿r en su (!nstru(( r()¡r. :irl
a¡rlicar'iórr dt' coeficientes de r,,du,
( lOll, i¡Unque, ComO Sg era nl¿: rLl.-
lantr,, no delremc¡s restar mérit()s ¿ .:
i)crsl)ccliva "cabinet" que puede re=..
tal rll11¡' co;ri cttient€ para la repre.e:..
tz
I'
Fis. No
.B
?A
r-!----f

20. TRATADO DE DIBUJO TECNICO
-!-:on. ,:a¡to isométrica comr.¡ dimétri-
ca. cie cie¡-',os casos de volúmenes.
Expuesro e! c¡iterio sobre la elec-
80
cíón del sistema a empJear ve¡emos el
procedimiento pa¡a una correcta re-
present¿ción de un ente lpunto, linea.
plano) en ¡ierspectiva "cabinet".
Para representar en perspectiva
"cahinet" un punlo y srs proyeccio-
nes (Fig. No. 322) en perfecta corres
pondencia con las Proyecciones Orto-
gonales debemos. en primer término.
disponer la terna de ejes, concurrentes
en O, de tal forma que ZO sea vertical.
OY, horizontal y XO guarde con la re-
gla T 30o a los que, lüego de asignárse.
les una cierta magnitud, se les trazarán
las correlativas para.lelas que configu-
ran los bordes o límites del diedro rec-
to formado por el plano vertical que
elegimos como frontal y el horizontal:
fijamos luego el punto x, sobre la lÍ-
nea de tierra XO, y a partú de éste en
sentido vertical (paralelo a ZO) fija-
mos A", siendo xA" la altura del pun-
to. -r, en sentido horizontal (paralelo a
OY ) fijamos A't . teniendo en cuenta
que la magnitud xA' ¡ es el alejamien-
to del misrno: la profecr"ante horizon-
attta-
Fig. 321

21. 81
tai que parte de A" y la vertical que
parte de A'1 se cortarán en A, imagen
axonomét¡ica del punto en cuestión.
Pademos completü )a fintn haciendo
centro en x, con radlo xA'1 , y trazar
un alco de ci¡cunferencia d^e 90o que
nos permita ubicar a A', sobre la pro-
longación, hacia abqjo, de la recta
A"x; el segmento A"xA' representa,
en verdadera magnihrd, la línea de co-
rrespondencia de la imagen ortogona.l
de la derecha de la Figura (que, como
ya se habrá advertido, se corresponde
con la No. 6 de la Primera Pafe del
Tratado).
Si la representación a efectuar
fuera la de un segmento de recta CD
(Fig. No. 323) procederemos de la
misma ma¡era para disponer la terna
de ejes (XO horizontal, ZO vertical,
OY a 30o) y ubiearemos sohre Ia línea
de tierra OY la distancia exacta entre
los puntos d y c, intersecciones, con
LT, de sendas líneas de corresponden-
cia de los extremos C y D del segmen-
to en cuestión; repitiendo el procedi-
miento del punlo A del caso anterior,
con los respectivos alejamientos y al-
¿uras de los puntos C y D podremos
representar el segrneni c.r CD. (La Fig-
o. 323 se corrcsponde con ta N6.
1 1 de la Primera Pa¡te.)
Flg. No 329
AXONOMETRIA
Fig. No 324 Y
Conviene intercala¡ aquí, no solo
por el int€rés que representa como ex-
presión axonométrica sino por zu im.
portancia dentro de su propio tema,
la explicación de la perspectiva "ca-
binet" y de las sombras real y virtual
del punto A (Fig. No. 324) que tiene
mayor altura que alejamiento (repre,
sent¿ción que se inserta¡a en la Pri-
mera Pa¡te como la Fig. No. 169). Dis-
puesta la terna de ejes ubicamos sob¡e
la línea de tierra OY al punto a, inter-
se<ción de la línea de correspondencia
del punto A con LT y a partir de él la
altura a-A " (pa¡alela a OZ) y el aleja.
miento aA' (paralelo a XO) para, me.
diante las respectivas proyectantes fi.
jar al punto A en el t's¡racro; c omo las
proyecciones del rayo f cstirn a.l5o
con LT. lcis y'gm,.ntos ¡r r'¡r *.rjn
respectivamernte iguales a a-' ¡ a.{".
I)ol lo t¿irrt(), con csas niagnitudes. po
dremos fijar los puntt,s r ¡ r sobre OY
y tr¿zilr l¿s rectas A" 1 A'r lque ia
prolo¡lga¡crrros a tr¡rvr"s d" OY t qu'-, -rán las proyt'i,cioncs del ra¡c f sccrt
amhcf ;.lirnos de ;,r9¡ e¡ciir¡: i¿ ;:.;¿¡-
sa"riór de la ¡'¡-¡o¡s1, e oZ r+-.: i
Fig. No 324

22. 82
que parte de t hacia arriba y la tecta
A"v será Sp4, sombra real del punto
A o primera traza del rayo luminoso
que lo proyecte oblicuamentc (eobre
el Plano Vertical) y con el cual po
d¡emos trazar l8 recta ASRA, repre-
e€ntación axon<iméhica del propio ra'
yo9que, prolongada hacia la derecha
(a travée del PV) se encontra¡á con Ia
prolongación de la recta A'r en Sy¡,
sombra v¡rtual del punüo A, o eegunda
t¡aza del rayo luminoro ( sobre el Pla-
no Horizontal). Si hacemos la repre-
sentación del abatimiento del Plano
Horizontal de Proyección, hasta con-
fundirse con el Vertical, el punto A'
girado 90o hacia abajo, con centro en
á se ubica¡á en A'1 sobre la vertical
(perspectivamente perpendicular a la
línea de tierra) que también contiene
a A", y a Sy6 (como la parte poste-
rior del PH quedará sobre LT) girado
también 90o, con centro en v, Pero
hacia aniba, se ubica¡á sobre la verti-
cal (perspectivamente perpendicular a
LT) que parte de v, en SVAí: los pun-
tos Al, r V Sy4. quedaráñ, forzosa'
rnente, alineados sbbre una misma réc-
ta.
Si queremos representa¡ ahora un
plano dado por sus trazas en Proyec-
ciones Ortogonales, tal el caso del ple-
no tr(Fig. No. 325) (el mierro de lr
ar:teior Fig. No. 2?), utilizando el
mismo procedimiento ya explicado en
oportunidad de representar urf plano
cualquiera en Axonometn'a Ortogo-
nal, deberemos en prime¡ término fijar
el punto a (encuentro de amba¡ traza¡
con LT) sobre el eje XO de la terna
dispuesta de tal forma que el segrnen-
to aO sea el mismo en ambas represen-
,taciones, luego, a partir de O, hacia
arriba, sobre el eje OZ, tomamos el
segmento O c" y hacia la derecha, so-
bre el OY, el segmento O s': el trián-
gulo c"a q' será la representación
"cabinet" ( axonométrica oblicua ver-
tical) de Ia porción del plano en cue*
tión comprendida en el primer diedro.
Fig. No 325
225. PERSPECTIVA CAVALLERA
DE VOLUMENES DE CARAS PLA-
NAS (POLIEDROSI. Dado que la ca-
racterística más notoria de Ia perspec-
tiva cavallera (o perspectiva axonomé-
trica clinogonal horizontal) es la de re
presenta¡ al Plano Horizontal en ver-

23. 88
Ftg. No 322
dadera magnitud y forma, el procedi-
miento lógico para la conskucción de
estas irnágenes será el de tomar la pro-
yección horizontal del volumen o con-
junto de ellos, sin necesidad de repre-
sentar el Triedro, de tal forma que
ninguna de zus líneas resulte perpendi-
cular a la línea de base (regla T) para
evita¡ la confusión de a¡istas o planos
y luego tomar las altu¡as en escala na-
tural (cavallera isométrica) o reducida
(cavallera monodimétrica). Si la inten-
ción fuera construi¡ la perspectiva ca-
va.llera isoméü¡ica de un cubo (Fig.
No. 326) bastará con representar el
cuadrado base, con una inclinación de
30o y 600, por ejemplo, y desde sus
cuatro vértices toma¡ la magnitud de
la arista o lado de la base en sentido
vertical: teniendo las cuatro aristag
verticales la misma magnitud, la ba8e
superior aerá otro cuadrado idéntico y
de ladoe paralelos al inicial e inferior.
Si el propósito hubiera sido una
representación cavallera monodimétri
ca (o sirnplemente dimétrica) de un
.
prisma o cubo, habrá que reducü las
alhras (Fig. No. 32?) de acuerdo a
una det€rminada proporción; así, a la
figura de la izquierda, en escala natu-
ral, le reducimos las alturas a 112 (cen-
tro) o a 1/3 (derecha) aumentando
progresivamente la sensación de escor-
zo del volumen y, simultáneamente, la
de mayor altura del punto de ubica-
:ión del observado¡
ffiffi
Con el mis¡no crit€rio podremos
hacer la penpectiva cavallera de cual-
quier poliedro recto apoyado po¡ sl
base en el Plano Horüontal: si. por
ejemplo, deseamos hacer la represena,
ción de un pri$na recto de base hexa-
gonal regu.lar o de una pirárnide recra
de base cuaüada (Fig. No. 3281, dibu-
jamos zu mrtespondient€ base en ver-
dadera magnitud y forma, tomando la
precaución de que dos de srs vértices
no queden. a.líneados en una misma
vertical y disponiendo verticalmente la
misma .tiragnitud o oltura en cada uno
de los seis vértice¡ en el caso del pris-
ma, que nos perrnitirán dibujar la base
superior, o la altura de la pirrimide
desde el cent¡o del cuadrado, para po-
der dibujar el vértice zuperior, podre-
mos completar ambas imágenes.
I
3
I
2
I
I
I
I
Fig. No 328

24. ll
h,'.Í.Á
I
rl
1-
i/ tl
llI
I
I
h,,
k'-./
t><
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Fig. No 329
Pe¡o, si la intención fuera repre-
s€nta¡ al prisma de base hexagonal
apoyado por una de sus caras laterales
en el PII debe¡emos dibujar su proyec-
ción horizontal (Fig. No. 329) y adju-
dicarle a cada vértice, en su correspon-
diente proyectante vertical, la respec-
tiva allura tom¿da de la proyección
ortogonal ve¡tical; así, Ios puntos 1 y
6 t€ndrán altura nula, los puntos 3 y
4, la altura he del hexágono regular de
base (ditrujailo atratido, a tal efecto,
en la proyección ortogonal en verda-
dera magnitud y forma), y los puntos
2 y 5, la altura h r (mit¿d de la a¡te-
rior). Conformada )a poligonal cenada
123456, conCorno de la base, veremos
c¡ue ésta sc veÉ representada por un
hexágono irregular (y por tanto defor-
mada) de lados paralelos dos a d<.rs; re
pitiendo la misma operación con la ba-
se posterior y dibujando las a¡istaE
longitudinalcs conrpletaremos la ima-
gen.
En el casc de la púánride recta de
ba¡e cuadrada apoyadzt en el PH por
una de srs ca¡as laterales (Fig. No.
330) deberemos tanrbién tomar la pro-
yección horizontal obtenida en pro'
yecciones ortogonales (Ver Párrafr
51, Fig. No. 6?) y, teniendo en cuent¿
que los puntos V, A y D tienen a]tu¡¿
nula, tomar de la proyección vertica-
ortogonal la altura de los puntos B y C
para conformar la imagen buscada.
(En los casos expuestos de repre-
s€ntaciones de volúmenes, acla¡atorios
y complementarios de problemas tra.
tados en Proyecciones OrtogonaJes
conviene, por razones obvias, la pers-
pectiva cavallera isométrica.)
Repres€ntaciones axonométricas
cligonales horizontales de loe polie-
dros regulares. Con la finalidad de
agotar el Tema, cum¡rliendo con una
de Ias pautas propuestas para estc'fra-
tado, redondear conceptos y abundar
en imágenes prope¡rsas a t'duciu la vis
t¿, además de que srr construcción re-
zult¿ un excelent€ ejercicio de afi¡ma-
ción de conocimientos, se ruelve a
,'l
,,
i

25. $á
Fig. No 330
plahtear la representación de los cua-
tro pliedros regulares resLantes (como
ya se ha estado haciendo con oüros vo,
lúmenes de acuerdo al Método adopta-
do) consi<lerando que de la reiLeraclón
de irnágenes de los distintos tipos de
perspectivas y ¡ror la <:om¡raración de
la lámina que se inserta (Fig. No.3l.tl)
con Ia anterior, de {txouomctrías ()rt()
gonales (Ver Fig. No. 307) ¡- las olrli
ct¡as vcrticales que le sur,etlgrán 1l-rg.
o. 344) sqrrgilin conrlusior¡es dr. ,.ir
lidad fr¡rnratir,¿.
En l:rs I¡r¡ sr.t;1,'s l)cr{1,,'ct tvit , .r-
', all¡'ras no st' plarrt,'atiin r¡ayort:s dili-
:ttltadcs y p¡rra su ( ()tlstnl( r.i¡-¡¡r habrá
que disponer ei suficit'nte t:uirlado <.r
neticulosidad de deternrin¿rr metódi-
AXONOMETRIA
Camente Ia correspondiente altura (en
verdadera magnitud o reducida) desde
la proyección horizontal (en verdadera
mí+Ínitud y forma, re¡rroducción de la
¡nis¡na proyección ortogonal) de cada
unr¡ de sus vértices; así hemos realiza-
do las representacion(.s cavalleras iso.
métric¿rs del tetraedro (Ver Párrafo
52, Fig. No. 68). octaedro (Ve¡ Pána-
fo 53, Fig. No.69) y dodecaedro (Ver
Pá¡rafo 54, Fig. No. 70) regulares y la
dimétrica. con sus altql(i tt(t$t,
del icosaedro regula¡ lVer Pa¡rafo 55.
Frg. No. 7l) obt€niendo imágenes rn-
teresant€s y con valores est¿ttcos cier-
¿o s.
226. PERSPECTIVA CAVALLERA
DEL CIRCLTLO Y DE LOS VOLUilIE.
N¿S D¿ CARAS CURVAS. Conside.
rcmos cn primcr tórmill() llr ¡rr'rs¡reltr-
va c¿rvallera dcl círr:ulo cr¡¡rndo es pa-
r,:lllo ¿r trno de los ¡rlanos dt, ¡'¡,ru",.-
('tór) ( ()mp()rxrni.t's del 'l'rjt'dro Fr¡n<ia
mcnt¡rl o ¡stá contenido en uno rie
ell¡rs. A tal t'fccto dis¡roncnros dc u¡la
I.t'rrta J,' cjcs "r'av¡iler¡r" en l:r que K()
está a tjou t.un la rcgla I. el eje O',
t'erlx.ldlcula¡ al a¡¡terior, a 30o, y el
verli(al ()7,, l,or suf¡ucsto. a 90o ,.on
clicha regla (Fig. No.332). El círculo
horizontal de ¡.t.rrtrrr O, a¡rarer.elá en
verdadera nragnitud ¡. forma y podrá
ser, por tanto, inscripto en rrn cuad¡a-
do; para rcpres('ntar los cí¡<.ulos de
cenlr(J O2 v O,¡. t.orrlcrrrirrrs cn send,,s
l)lanos vl11i, al¡s I (tt¡r. ll(, se r.erán aho.
ra (¡)ntr) t.aL,s slnrr <'ortro rli¡rst,s) v,rá
ne(1,riitri() trirz;¡t los l)ar;rli-i{¡grirm()s no
rocláng(rl()s que rts¡rortrir.¡ a los diá
nretlos l onjugiulos I 2 (vIr-tit al. ¡rarzt
lelo ¡ (lZ) y 3 .l (ini.lin¿r(los i l,riral¡,
l()s ¿ l0s rt,s¡rcr,tivos ejt,s ax,rn,,rnétrt
tos XO ¡, ()') cuyil nta¡ltrtLrd rla de
anrlros rl¡;i¡¡rt'llos cr)nji¡{¡(lr)s I 2 tl
-1 ,1, 1.' l.r¡,., r'surti,nt,.l , . 1;. ,l- l::
nret.ro.d(,1 ¡,rr(,ulo rn (ur.-tt,,l: i..:__
los ¡lt¡i¡r.trus , ¡¡nJ'jgir I^. 't : . :
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Fig No 331

27. 87
F¡9. No 332
(en ambos planos verticales) de las dos
elipses proyecciones del círculo, ade-
más de conjugados son simétricos, y
obviamente de la misma mag¡itud
(Ver Parrafo 59) las bisectrices de am-
bos pares de ángulos opuestos forma-
dos entre sÍ serán los ejes de simetría
de dichas elipses, por tanto, aplicando
el método de construcción de los ocho
pun¿os y las ocho langentes (Ver Pá-
rrafo 64) los puntos hallados sobre
arnbas bisectrices, diagonales del rom-
bo (paralelogramo no rectángulo que
inrribe a ambas elipses proyecciones
axonométricas del cÍrculo) serán los
extremos de los ejes mayores y meno-
res de las curvas.
Podemos extraer en c<¡nclusión
que ia perspectiva cavallera de un cír-
Lulo horizc¡ntal s¿¡rá r¡tro cÍ¡culo de
igual diámetro, y que la de un círculo
.ertical en posiciirn isornétrir:a (¡rnra-
.elo a lt¡s planos de pr<iyecc',órr), i,na
AXONOMETRIA
elipse cuyos diámetros conlugados y
simétricos tendrá¡ la magnitud de sr
diámetro y la dirección de los ejes
axonométricos.
Veremos ahora, p<.rr su orden, las
perspectivas cavallerar del cilindro, el
cono y la esfera. Cuando el cilindro o
el cono están apoyados en el PH por
su bas€, de acuerdo con Io visto
recienten¡ente, bastará con tontar un
cÍrculo (verdadera magnitud y forma )
y, desde el centro O de esa base. per,
pendicu l¿irment€, la a.ltu¡a del volu-
men; en el casr¡ del cllind¡o 1Fig. No.
333, izquierda) con centro en el pun-
to O 1 traziüemos otro circulo idénti-
co al rnfer¡or y luego las generatnces
verticales tangentes a ambos círculos
que los tocarán en los extremos de sus
diá¡netros horüontales -v.., en el caso
del cono (Fig. No. 333, derechar. des
de el citado punto (llamado aqui '1,
que será el vértice, las tangentes al cÍr-
culo base (cuyos puntos de ta:rgencia
definiremos haciendo centro en el
punto p, mitad de la distancia en¿re el
centro O del círculo y el vértice V. v
lrzzando un arco de ci¡cunferencia de
radio Vp:pO que cortará a la base en
Qr
+
¡
-+-
t/lt.
4p
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t9r : tg
Fig. No 333