Este documento describe los conceptos de centro de masa y teorema de Pappus. Explica cómo calcular el centro de masa para sistemas de masas puntuales y distribuciones continuas de masa en una y dos dimensiones. También presenta ejemplos de cómo aplicar el teorema de Pappus para calcular volúmenes de sólidos de revolución.

1. Universidad de La Frontera
TEMUCO 02 Junio 2010
Margareth Sep´lveda C. - Miguel Pichipill´n S.
u a
1 Volumen - Pappus
1.1 Centro de masa
Sup´ngase que dos masas de tama˜o m1 y m2 se colocan
o n
en un sube y baja a distancias respectivas de d1 y d2
del punto de apoyo (centro) y en lados opuestos a ´l e
(v´ase la figura 1). El sube y baja se equilibra solo si
e
d 1 · m1 = d 2 · m2 .
Un buen modelo matem´tico para esta situaci´n se obtienen al reem-
a o
plazar el sube y abnaja por une coordenado horizontal ue tenga su origen en
el centro (v´ase la figura 2). Entonces la coordenada x (abscisa) de m1 es
e
x1 = −d1 , la de m2 es x2 = d2 y la condici´n de equilibrio es.
o
x1 m 1 + x2 m 2
El producto de la masa m de una part´ ıcula por su distancia dirigida
desde un punto (su brazo palanca) se denomina momento de la part´ ıcula
por respecto a ese punto (v´ase figura 3). Asimismo, mide la tendencia de
e
la masa a producir una rotaci´n alrededor de ese punto. La condici´n para
o o
que dos masas a lo largo de esta recta est´n en equilibrio es que la suma de
e
sus momentos con respecto al punto sea cero.
1

2. La situaci´n que se acaba de describir puede generalizarse. El momento
o
total M (con respecto al origen) de un sistema de n masas m1 , m2 ...mn
ubicados en los puntos x1 , x2 , · · · , xn a lo largo del eje x es la suma de los
momentos individuales; es es.
n
M = x1 m 1 + x2 m 2 + · · · + xn m n = xi m i
i=1
La condici´n para el equilibrio en el origen es que M=0. Por supuesto, no
o
debemos esperar equilibrio en el origen, excepto en circuntancias especiales.
Pero seguramente un sistema de masas se equilibrar´ en alguna parte. La
a
pregunta es d´nde. ¿Cu´l es la abscisa del pounto en donde el centro debe
o a
colocarse para que el sistema en la figura 4 est´ en equilibrio?
e
Ll´mese x a la coordenada deseada. El momento total con respecto a
a ¯
´sta debe ser cero: esto es,
e
(x1 − x)m1 + (x2 − x)m2 + · · · + (xn − x)mn
¯ ¯ ¯
o
x1 m 1 + x2 m 2 + · · · + xn m n = xm 1 + xm 2 + · · · + xm n
¯ ¯ ¯
Cuando despejamos a x, obtenemos
¯
n
xi m i
M i=1
x=
¯ = n
m
mi
i=1
El punto x es denominado centro de masa, es el punto de equilibrio.
¯
Observe que s´lo es el momento total con respecto al origen divido entre la
o
2

3. masa total.
1.1.1 Distribuci´n continua de masa a lo largo de una recta
o
Un segmento recto de un alambre delgado de densidad
variable (masa por unidad de longitud) para el que quer-
emos encontrar el punto de equilibrio. Colocamos un
eje coordenado a lo largo del alambre y seguimos nue-
stro procedimiento usual de rebanar, aproximar e inte-
grar. Suponiendo que la densidad en x es δ(x). Primero
obtenemos la masa total m y despu`s el momento total
e
M con respoecto al origen (v´ase figura 6). Esto lleva a
e
la formula
∆m ≈ δ(x)∆x ∆M ≈ xδ(x)∆x
b b
m= δ(x)dx M = xδ(x)dx
a a
b
M xδ(x)dx
a
x=
¯ = b
m
δ(x)dx
a
1.1.2 Distribuci´n de masa en el plano
o
Considere n masas puntuales de magnitudes m1 , m2 , ..., mn situadas en los
puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xn , yn ) en el plano coordenado. Entonces, los mo-
mentos totales Mx y My respecto al eje y y al eje x, respectivamente, est´n a
dados por
n n
My = xi m i Mx = yi m i
i=1 i=1
Las coordenadas (¯,¯) del centro de masa (punto de equilibrio) son:
xy
3

4. n n
xi m i yi m i
My i=1 Mx i=1
x=
¯ = n y=
¯ = n
m m
mi mi
i=1 i=1
Considere la l´mina homog´nea acotada por x = a, x = b, y = f (x), y
a e
y = g(x), con g(x) ≤ f (x). Rebane esta l´mina en delgadas tiras paralelas
a
al eje y, las cuales por lo tanto tienen forma casi rectangular, e imagine la
masa de cada tira concentrada en su centro geom´trico. Despu´s aproxime e
e e
integre (v´ase figura 6). Con base en esto podemos calcular las coordenadas
e
(¯, y ) del centro de masa utilizando las f´rmulas
x ¯ o
My Mx
x=
¯ y=
¯
m m
δ
∆m ≈ [f (x) − g(x)]∆x ∆My ≈ xδ[f (x) − g(x)]∆x ∆Mx ≈ 2
[(f (x))2 − (g(x))2 ]∆x
b b δ b 2
m=δ [f (x) − g(x)]dx My = δ x[f (x) − g(x)]dx Mx = 2
[f (x) − g 2 (x)]dx
a a a
Cuando lo hacemos, se cancela el factor δ del numerador y del denominador,
y obtenemos
b
x[f (x) − g(x)]dx
a
x=
¯ b
[f (x) − g(x)]dx
a
4

5. b f (x) + g(x) 1 b
[f (x) − g(x)]dx [(f (x))2 − (g(x))2 ]dx
y=
¯ a 2 = 2 a
b b
[f (x) − g(x)]dx [f (x) − g(x)]dx
a a
Algunas veces, rebanar en direcci´n paralela al eje x funciona mejor que re-
o
banar en direcci´n paralela al eje y. Esto conduce a f´rmulas para x y y en
o o ¯ ¯
la que y es la variable de integraci´n.
o
El centro de masa de una l´mina homog´nea no depende de su masa o densidad, sino s´lo de la forma
a e o
de la regi´n correspondiente en el plano. As´ que nuestro problema se convierte en un problema geom´trico
o ı e
en lugar de uno f´
ısico. En consecuencia. frecuentemente hablamos de centroide de una regi´n plana en
o
lugar del centro de masa de una l´mina homog´nea.
a e
2 Teorema de Pappus
Si una regi´n R, que est´ de un lado de la recta en su plano, se hace girar
o a
alredor de esta recta, el volumen del s´lido resultante es igual al ´rea de R
o a
(A) multiplicada por la distancia recorrida por su centroide.
V = 2πAd
|Aa + Bb + C|
Sea la recta Ax + By + C y el punto (a, b) la distancia d =
A2 + B 2
5

6. 2.1 Ejemplos
La regi´n limitada por (x − 5)2 + y 2 = 16 alrededor de:
o
1. Hallar el volumen del s´lido de revoluci´n generado al rotar:
o o
(a) Eje y
(b) la recta x = −2
Alrededor del eje y :
Primero calculemos el ´rea a rotar, sabemos que es una circunferencia
a
de radio 4 por lo tanto su ´rea s´ra de 16π ahora obtenemos las coor-
a e
denadas del centroide
x=5
¯ y=0
¯
como la distancia de la recta de giro al centroide es de 5 aplicando
Pappus obtenemos el volumen
Vy = 2π · 5 · 16π = 160π 2 u2
Alrededor de la recta x = −2
como la distancia de la recta de giro al centroide es 7, aplicando Pappus
obtenemos el volumen
Vy = 2π · 7 · 16π = 224π 2 u2
2. La regi´n limitada por x2 +(y−3)2 = 4 al rededor de la recta 2x−3y = 6
o
6