Trabajo presentación referente a todo lo que engloban el plano numérico. En el encontrarás, anexado con ejercicios explicados : 1) Definición de Plano Numérico. 2) Distancia en el Plano Numérico. 3) Punto medio en un Plano Numérico. 4) Ecuaciones del Plano Numérico. 6) Trazado de Circunferencias en un Plano Numérico. 7) Parábolas. 8) Elipses. 9) Hipérbolas. 10) Representación gráfica de las Ecuaciones de las Cónicas. 11) Referencias Bibliográficas sobre el contenido abordado, con sus enlaces web. Presentación realizada por Ariadna Guidotti estudiante del PNF de Turismo, sección 0102. Evaluación propuesta en la materia de Matemáticas, Trayecto Inicial.

1. PLANO NUMÉRICO
PLANO NUMÉRICO
ARIADNA GUIDOTTI
C. I : 29.997. 206
PNF DE TURISMO

2. PLANO NUMÉRICO
El plano cartesiano o plano numérico se usa para asignar una ubicación a cualquier punto del plano,
este se forma por dos rectas numéricas: una vertical (eje y) y una horizontal (eje x), además de contar
con un punto de origen donde se cortan ambos ejes (O).
Eje Y
(Eje de las ordenadas)
Eje X
(Eje de las abscisas)
Origen
Para ubicar un punto en el plano, seguimos estos pasos:
• Para ubicar la abscisa o valor en el eje x, tomamos el primer número del par ordenado (x; y) y lo buscamos
en el eje X.
• Para ubicar la ordenada o valor en el eje y, tomamos el segundo número del par ordenado (x; y) y lo
buscamos en el eje Y.

3. DISTANCIA DEL PLANO NUMÉRICO
Es la distancia mínima que hay entre ambas posiciones, las cuales vienen determinadas por
las sus coordenadas en el eje de las X y en el eje de las Y.
FÓRMULA:
Sean dos puntos sobre el plano cartesiano, P ( x , y ) y P ( x , y ) . La distancia que hay
entre ellos viene dada por la siguiente expresión:
1 1
1 2
2 2
d ( P , P ) = √ (x - x )² + (y - y )²
1 1 1
2 2 2
EJERCICIO:
Hallar la distancia en el plano entre dos puntos cuyas coordenadas cartesianas son :
P ( 3, 2 )
1
P ( 5, 1)
2
Simplemente tenemos que introducir de forma adecuada
los datos del enunciado, operar y listo.
P ( x , y ) viene dado por P ( 3, 2 )
P ( x , y ) viene dado por P ( 5, 1)
1
1
1 1
2 2 2 2
1 2
d ( P , P ) = √(5−3) ² + (6−1)² =
= √(2) ² + (5)² =
= √4 + 25 =
= √29 = 5,38
d
P ( 3, 2)
1
P ( 5, 1)
2
3 - 1
5 - 2

4. PUNTO MEDIO EN UN
PLANO NUMÉRICO
La coordenada en x del punto medio es el promedio de las coordenadas en x de los dos
puntos, y de la misma forma con la coordenada en y .
FÓRMULA:
Supongamos que nos dan dos puntos en el plano ( x , y ) y ( x , y ), y nos piden encontrar el
punto a la mitad entre ellos. Las coordenadas de este punto medio serán:
1
1 2
2
x + x , y + y
( )
2 2
1 1
2 2
EJERCICIO:
Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7) :
Sustituimos nuestros datos utilizando
la fórmula dada y simplificamos.
- 2 + 7 , 5 + 7
( )
2
2
( 5 , 12
)
2 2
=
= = ( 2.5, 6 )
( - 2, 5 )
( 7, 7 )
( 2.5, 6 )

5. ECUACIONES DEL
PLANO NUMÉRICO
VECTORIAL:
PARAMÉTRICA:
IMPLÍCITA:
OP = OP + t. u + s. v
→ → → →
0
(x, y, z) = (x , y , z ) + t . (u , u , u ) + s . (v , v , v )
0 0
0 1 1 2
2 3 3
Para obtener la ecuación vectorial del plano necesitamos un
punto por donde pase y dos vectores de dirección.
{
x = x + t. u + s. v
y = y + t. u + s. v
z = z + t. u + s. v
0
0
0
1 1
2 2
3
3
(x, y, z) = (x + t. u + s. v , y + t. u + s. v , z + t. u + s. v )
0 0 0
1
1 2
2 3 3
La ecuación paramétrica puede obtenerse directamente si se conoce el punto
por donde pasa el plano y ambos vectores de dirección, sustituyendo las
coordenadas de cada uno por su valores correspondientes. Se obtiene a partir
de la ecuación vectorial.
Ax + By + Cz + D = 0
n = (A, B, C)
→ Vector normal (perpendicular), donde A, B y C son los
coeficientes de la ecuación implícita del plano.
La ecuación implícita se obtiene resolviendo el sistema considerando t y s
como incógnitas, y x, y y z por tanto como términos independientes
| A * | =
|u v x -x
u v y - y
u v z - z
|
1 1
2 2
3
3 0
0
0
= 0
Determinante de la matriz
ampliada.
A =
(
u v
u v
u v
1 1
2
2
3
3
)
Sistema compatible determinado → Rag A = Rag A * = 2
Matriz de
coeficientes.

6. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
FÓRMULA:
( x - h )² + ( y - k )² = r²
x - h = coordine del centro de un circunferencia.
y - k = coordine del centro de un circunferencia.
r = radio.
EJERCICIO:
Trazar una circunferencia cuya ecuación es : (x + 1)² + (y - 2)² = (1.5)²
1•
Sustituimos siguiendo la fórmula general,
para encontrar el centro de la
circunferencia:
(x - h)² = (x + 1)² = h = -1
(y - k)² = (y - 2)² = k = 2
Punto
(-1, 2)
( - 1, 2 )
2•
Ahora dibujamos dos puntos a la izquierda y
a la derecho del centro de la circunferencia,
siguiendo la ecuación:
Izquierda:
Derecha:
( - 1, 2 )
x - r = (- 1 - 1.5) = (- 2.5, 2)
y - r = (5 - 1.5) = (0.5, 2)
(- 2.5, 2 ) ( 0.5, 2 )
3•
Ahora dibujamos dos puntos arriba y
abajo del centro de la circunferencia,
siguiendo la ecuación:
Arriba:
Abajo:
x + r = (- 1, 2 + 1.5) = (- 1, 3.5)
y - r = (- 1, 2 - 1.5) = (- 1, 0.5)
( - 1, 2 )
(- 2.5, 2 ) ( 0.5, 2 )
( - 1, 3.5 )
( - 1, 0.5 )
4• Por último dibujamos la circunferencia, a
través de los cuatros puntos:
( - 1, 2 )
( - 1, 0.5 )
( 0.5, 2 )
( - 1, 3.5 )
(- 2.5, 2 )

7. PARÁBOLAS
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano en los que la distancia a un recta llamada
directriz es igual a la distancia a un punto fijo (que no pertenece a la directriz) llamado foco.
ECUACIÓN: Cuando una parábola es vertical corresponde a un polinomio de segundo grado:
y = a . x² + b . x + c
a, b y c son constantes
RAMAS:
• Si a > 0 las ramas de la parábola están hacia arriba.
• Si a < 0 las ramas de la parábola están hacia abajo.
Cuando b = 0 la parábola es simétrica respecto al eje y: y = ax² + y a = Amplitud de la parábola
y = Donde la parábola corta al eje y
0
0
VÉRTICE:
VÉRTICE x v
x = - b
2a
v
|
VÉRTICE yv
y = ax ² + bx + c
v v
v
CORTE:
EJE y EJE x
y = a . 0² + b . 0 + c = c
cy
x = 0
cy
y = ax² + bx + c ⇒ 0 = ax² + bx + c
(x , 0)
cy

8. ELIPSES
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a otros dos puntos
fijos (focos F y F’) es constante.
ELEMENTOS:
Focos: puntos fijos F y F’. La suma de las distancias desde un punto cualquiera hasta
cada foco es constante.
Eje principal o focal: eje de simetría en el que se encuentran los focos.
Eje secundario: eje de simetría perpendicular al eje principal;corresponde a la
mediatriz del segmento que une los focos.
Centro: punto donde se cortan los ejes de la elipse.
Vértices: puntos de intersección con sus ejes de simetría.
Distancia focal: distancia entre los dos focos.
Semidistancia focal: distancia que hay entre el centro y cada uno de los focos.
Radio vectores: segmentos que unen un punto cualquiera con cada foco.
ECUACIONES:
FÓRMULA GENERAL CENTRADA EN EL
ORIGEN
EXCENTRICIDAD
(x - x )² (y - y )²
a² b²
0 0
+ = 1
x y y = coordenadas
del centro.
0
0
a = radio horizontal.
b = radio vertical.
= 1
x² y²
a² b²
+
c
a
e =
c = distancia del centro a uno
de sus focos.
a = longitud del semieje
principal.

9. HIPÉRBOLAS
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d y d ) a dos
puntos fijos llamados focos (F y F ) es constante. El valor de la constante es la distancia entre
los vértices V y V .
1
1
2
2
1 2
ELEMENTOS:
Focos: puntos fijos F y F .
1 2
Radio vector: distancia R de un punto P a cualquiera de los focos.
Eje focal: eje de simetría E que une a los dos focos.
Eje transverso: mediatriz T del eje focal.
Centro: punto medio O de los dos focos.
Vértices: puntos de intersección del eje focal con la hipérbola V y V .
1 2
ECUACIONES:
FÓRMULA GENERAL
HORIZONTAL
VERTICAL
EXCENTRICIDAD
ASÍNTOTAS
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey = cte
x² y²
a² b²
= 1
-
y² x²
a² b²
= 1
-
e =
√ a² + b²
a
Horizontal:
y - o = ± (x - o )
1
2
b
a
Vertical:
y - o = ± (x - o )
2 1
a
b

10. ECUACIONES DE LAS CÓNICAS
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g (generatriz), alrededor de otra
recta e (eje) con el cuál se corta en un punto V (vértice).
ELIPSE CIRCUNFERENCIA PARÁBOLA HIPÉRBOLA
( x - h )² + ( y - k )² = r²
( x - h )² ( y - k )²
a² b²
= 1
+ ( x - h )² = 4 p (y - k), p ≠ 0
( y - k )² ( x - h )²
a² b²
= 1
-

11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bernat, R. (2021). Hipérbola. Universo Formulas.
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/ .
Ecuaciones.online. (s.f). Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Ecuaciones.online.
htps://ecuaciones.online/distancia-entre-dos-puntos-en-el-plano-cartesiano-ejercicios/ .
Ekuatio. (s.f). Ecuaciones del plano, ejercicios resueltos paso a paso. Ekuatio.
https://ekuatio.com/ecuaciones-del-plano-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/ .
Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. (3 de Abril del 2009). Circunferencia. Enciclopedia de
Todas las Palabras de la Matemáticas. http://www.allmathwords.org/es/c/circle.html .
Fernández y Coronado. (s.f). Ecuación de una parábola vertical. Fisicalab.
https://www.fisicalab.com/apartado/ecuacion-parabola-vertical .
Mate movil. (s.f). Plano cartesiano. Mate movil. https://matemovil.com/plano-cartesiano/ .
Superprof. (30 de Marzo del 2020). ¿Qué es una cónica?. Superprof.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/conicas.html .
Varsity Tutors. (s.f). La fórmula del punto medio . Varsity Tutors.
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/midpoint-formula .
GeometríaAnalítica.info. (2021). Ecuación de la elipse. GeometríaAnalítica.info.
https://www.geometriaanalitica.info/ecuacion-de-la-elipse-formula/ .

12. ¡ GRACIAS POR SU TIEMPO
Y SU ATENCIÓN !