Interpretación geométrica de una suma al cuadrado, diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.

1. Productos notables-
Interpretación
geométrica.

2.  Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y
cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin
verificar la multiplicación.
 Pero, ¿Cómo se representan estas reglas de manera grafica?, a
continuación se tratará, algunos de los productos notables más sencillos.

3. 𝑥 + 𝑎 2
= 𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2
 Este es el producto notable más sencillo de representar; para ello
supóngase que se tienen un cuadrado de lado (𝑥 + 𝑎), entonces (siendo
un cuadrado) el área de este será: 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = (𝑥 + 𝑎)2
; de donde:

4. 𝑥 + 𝑎 2
= 𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2
 Encontrando el área de cada rectángulo, se tiene (recuerde que el área
es base por altura):

5. 𝑥 + 𝑎 2
= 𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2
 De donde se deduce que:
(𝑥 + 𝑎)2
= 𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑎2
= 𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑎2
 Por tanto:
(𝑥 + 𝑎)2= 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

6. 𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
 Para este caso, suponga un cuadro de lado x, y a este le quitamos un
cuadro de lado a, por lo que el área de la figura resultante seria: x2
− a2
.
 Esto puede apreciarse de mejor manera en el siguiente esquema

7. 𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
 En este caso uno de los lados de la
figura tiene un lado de medida (𝑥 − 𝑎)
esto es porque a todo (x) se le ha
quitado la parte que vale a.

8. 𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
 “Cortando” una parte y trasladándola
hasta “unirla” con la otra, se tiene la
ultima figura, de donde se deduce
que el área es: 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 .
 Por tanto:
𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

9. 𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
 En este caso se trabajaría con una figura de tres dimensiones, es decir,
con un cubo de volumen 𝑎3 al que se le “quitaría” un cubo de volumen
𝑏3
; el volumen de lo que quede seria 𝑎3
− 𝑏3
; muchas veces es difícil verlo
pero tal vez la siguiente figura ayude un poco:

10. 𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)

11. 𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
 De donde:
𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎2 𝑎 − 𝑏 + 𝑏2 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑎 − 𝑏
 Sacando factor común 𝑎 − 𝑏 , y reordenando los términos, se concluye:
𝑎3
− 𝑏3
= 𝑎 − 𝑏 (𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)

12. Nota
 Las deducciones de las formulas se deben a que las áreas son iguales; la
diferencia son los términos en que se representa esta medida.