El documento presenta un problema sobre grafos que incluye determinar la matriz de adyacencia y de incidencia de un grafo dado, así como identificar si es conexo, simple, regular, completo, encontrar cadenas, ciclos y un árbol generador. También se pide aplicar algoritmos como el de Dijkstra para encontrar distancias en un digrafo. Finalmente, se analiza un digrafo para identificar si es fuertemente conexo.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
ALUMNO:
Benítez Carlos C.I: 14.585.103
Sección: SAIA-A
Profesora: Edicio Freitez

2. DADO EL SIGUIENTE GRAFO
A) Determinar MATRIZ DE ADYACENCIA
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V1
0
1
1
1
1
0
1
0
V2
1
0
1
0
0
1
1
1
V3
1
1
0
1
1
1
0
1
V4
1
0
1
0
1
1
0
0
V5
1
0
1
1
0
1
1
0
V6
0
1
1
1
1
0
1
1
V7
1
1
0
0
1
1
0
1
V8
0
1
1
0
0
1
1
0

3. B) Matriz de Incidencia
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
a14
a15
a16
a17
a18
a19
a20
V1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V2
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V3
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
V4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
V5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
V6
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
V7
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
V8
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
C) Es Conexo? Justifique su respuesta.
Se dice Conexo si para cualquier par de vértices de a y b en G existe al menos una
trayectoria (una secuencia de vértices adyacentes que no repita vértices) de a á b.
De acuerdo con la definición, si es conexo ya que, para todo par de vértices se encuentran
conectados o tienen un camino que los una.
D) Es Simple? Justifique su respuesta.
Si es un grafo simple, debido a que se cumple que ningún vértice tiene lazo, además cada
vértice esta unido por una sola arista; pero todos los vértices poseen un grado diferente,
siendo no regular.

4. E) Es Regular? Justifique su respuesta.
¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia.
Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice.
No es un grafo regular, ya que hay vértices que tienen grados o valencias diferentes.
F) Es Completo? Justifique su respuesta.
Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por
cada par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. Grafos.
En conclusión podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de
una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos.
G) Una cadena simple no elemental de grado 6.
Una cadena simple es una secuencia finita alternada de vértices y aristas, sin repetir aristas,
no elemental indica que puede repetirse los vértices. El grado nos indica la cantidad de
aristas que debe contener la cadena, en esta oportunidad son seis (6).
Ejemplo:
V3= GRADO 6
V6= GRADO 6
H) Un ciclo no simple de grado 5
Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.
Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple.
No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No
hay cadenas no simples de ningún grado.
I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.
1er paso: Seleccionar un vértice S1, hacer H1= { S1}
2do paso: Seleccionamos una arista a1 que tenga un extremo en H 1 y el otro extremo
en un vértice S2  H1. Hacer H1  { S2}
3er paso: Seleccionamos una arista a 2 que tenga un extremo en H 2, y el otro extremo
en un vértice S3  H2. Hacer H2  { S3}

5. V1
Seleccionamos el vértice v1  H1 ={v1}
V4
Seleccionamos la arista a4  H2 = {v1,v4}
a4
A15  H3= {v1,v4, v5}
V1
V3
A12  H4= {v1,v4, v5, v3}
V4
V6
A13  H5= {v1,v4, v5, v3, v6}
V5
V1
A8  H6= {v1,v4, v5, v3, v6, v2}
V2
V3
V4
V8
A10  H7= {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8}
A20  H8= {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}
V6
V5
V1
V2
V3
V4
V8
V6
V5
V7
Por lo tanto se comprueba que en un árbol dos vértices cualesquiera están unidos por un
único camino, se demuestra con al poseer árbol generador que es un grafo conexo, y que G
es un árbol entonces el número de aristas es igual al número de vértices menos 1.
A = {a4, a15, a12, a3, a8, a10, a20}
V = { v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}

6. Numero de vértices = 8 -1 =7
Numero de aristas = 7
J) Subgrafo Parcial.
Un subgrafo parcial se obtiene al conservar todos los nodos o vértices de G y se
suprimen algunas aristas.
Tenemos
V1
V2
V3
a2
V4
a3
V8
V6
a15
a19
a20
a17
V5
V7
K) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Si el grafo es euleriano a partir de un vértice cualquiera de G se puede construir una cadena
simple de manera que no se repitan las aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no
se encuentre otra alternativa, al haber agotado las aristas decimos que tenemos un tour
euleriano.
Luego de experimentar en repetidas ocasiones el recorrido del grafo sin repetir aristas, no
ha sido posible encontrar un camino euleriano donde no se repitan aristas, por lo tanto no se
cumple que el Grafo sea Euleriano.

7. I) Demostrar si es Hamiltoniano
Un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano, en el cual se debe cumplir que
atraviese cada vértice del grafo exactamente una vez.
el ciclo C=[v1, a3, v2, a10, v8, a20, v7, a19, v6, a17, v5, a15, v4, a11, v3, a2, v1]
Notamos que Vo = Vk
V1
a3
V2
a2
a11
2
V4
a10
V3
V8
V6
a15
a19
a17
V5
DADO EL SIGUIENTE DIGRAFO
V7
a20

8. A) Encontrar matriz de conexión
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
a14
V1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
V2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
V3
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V4
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
V5
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
V6
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
B) Es Simple? Justifique su respuesta.
Se cumple que el Dígrafo es simple, ya que no tiene lazos y no existen arcos paralelos que
partan de un mismo vértice a otro.
C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
En las cadenas no simples se pueden repetir los arcos durante el recorrido y que sea no
elemental, también nos permite repetir vértices. El grado 5 nos indica el número de arcos
que tendrá nuestra cadena.
T = [v4, 9, v1, 5, v3, 8, v4, 9, v1, 6, v5]
D) Encontrar un ciclo simple.
El ciclo simple inicia y termina con el mismo vértice y en ella no se pueden repetir arcos.
C = [v6, 14, v5, 11, v4, 9, v1, 1, v2, 4, v6]
E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.
Para comprobar que un grafo es conexo podemos realizar los siguientes pasos:
0

9. 1) Hallar la matriz de adyacencia y se eleva a la enésima potencia.
2) Se calcula la suma de las potencias de A hasta An.
3) Si todos sus elementos son distintos de cero, el grafo es conexo.
Matriz de Adyacencia
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V1
0
1
1
0
1
0
V2
0
0
1
1
0
1
V3
0
0
0
1
1
0
V4
1
0
0
0
0
1
V5
0
1
0
1
0
1
V6
0
0
0
0
1
0
Ma(D)=
Elevamos la matriz al cuadrado para encontrar los caminos de tamaño dos (02)
V1
V3
V4
V5
V6
V1
0
0
1
1
1
1
V2
M2(D)=
V2
1
0
0
1
1
1
V3
1
1
0
1
0
1
V4
0
1
1
0
1
0
V5
1
0
1
1
1
1
V6
0
1
0
1
0
1

10. Elevamos la matriz al cubo para encontrar los caminos de tamaño tres (03)
V1
V3
V4
V5
V6
V1
1
1
1
1
1
1
V2
1
1
1
1
1
1
V3
1
1
1
0
1
1
V4
0
1
1
1
1
1
V5
0
1
1
1
1
1
V6
M3(D)=
V2
1
0
1
1
0
1
Elevamos la matriz a cuatro para encontrar los caminos de tamaño cuatro (04)
V1
V3
V4
V5
V6
V1
1
1
1
1
1
1
V2
1
0
1
1
1
1
V3
0
1
1
1
1
1
V4
1
1
0
1
1
1
V5
1
1
1
1
1
1
V6
M4(D)=
V2
1
1
1
1
0
1
Elevamos la matriz a la cinco para encontrar los caminos de tamaño cinco (05)
V1
V3
V4
V5
V6
V1
1
1
1
1
1
1
V2
M5(D)=
V2
1
1
1
1
1
1
V3
1
1
1
1
1
1
V4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
V5
V6

11. Ahora calculamos la Matriz de Accesibilidad
Acc(D) = bin [I6 + M + M2 + M3 + M4 + M5]
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V1
3
4
5
4
5
4
V2
4
2
5
5
5
5
V3
3
4
3
4
4
4
V4
4
4
3
5
4
4
V5
3
4
4
5
4
5
V6
3
3
3
4
1
4
Acc(D)= bin
Luego transformamos la matriz de la manera siguiente
a) Componente que sea igual a cero (0), permanece como cero (0)
b) Componente diferente de cero (0), convertirla a 1.
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V1
1
1
1
1
1
1
V2
1
1
1
1
1
1
V3
1
1
1
1
1
1
V4
1
1
1
1
1
1
V5
1
1
1
1
1
1
V6
1
1
1
1
1
1
Acc(D)= bin
Como la matriz Acc(D) no tiene componentes nula se dice entonces según el
colorario 1.2 que el dígrafo es fuertemente conexo.

12. F) Encontrar la distancia V2 a los de más vértices utilizando el algoritmo de
DIJKSTRA
Pasos:
1) Ubicar el vértice de inicio.
2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que esté
directamente a él.
3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:
4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta ante rior
que esta directamente al vértice estudiado.
5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.
6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge
cualquiera de la dos.