El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos y árboles. En el primer ejercicio se pide analizar un grafo dado y encontrar su matriz de adyacencia, determinar si es conexo, simple, regular, completo, cadenas y ciclos. En el segundo ejercicio se pide analizar un digrafo, encontrar su matriz de conexión, determinar si es simple, cadenas y ciclos, y usar el algoritmo de Dijkstra.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
CABUDARE EDO. LARA
SISTEMA DE APRENDIZAJE A DISTANCIA
EJERCICIOS PROPUESTOS
ESTRUCTURAS DISCRETAS II
DIANWILL CARDENAS
C.I.: 18.392.956
SAIA “A”
CABUDARE, 3 DE SEPTIEMBRE DE 2016

2. a) Matriz de adyacencia
b) Matriz de incidencia
c) Es conexo?. Justifique su respuesta
d) Es simple?. Justifique su respuesta
e) Es regular?. Justifique su respuesta
f) Es completo? Justifique su respuesta
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
h) Un ciclo no simple de grado 5
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Subgrafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
l) Demostrar si es hamiltoniano
Ejercicios Propuestos
1- Dado el siguiente grafo, encontrar:

4. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 0 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 0 1
V3 1 1 1 1 1 1 1 0
V4 1 0 0 0 1 0 1 0
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 0 1
V7 1 0 1 1 1 0 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
Solución:
a) La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada A, en la que sus entradas AIJ
pertenecen al número de aristas que van desde VI hasta su vértice VJ.

5. b) La matriz de incidencia es una matriz M, en la que sus entradas MIJ son el
número de veces que la arista J coincide en el vértice I.
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
A1 1 1 0 0 0 0 0 0
A2 1 0 1 0 0 0 0 0
A3 0 1 1 0 0 0 0 0
A4 1 0 0 1 0 0 0 0
A5 1 0 0 0 1 0 0 0
A6 1 0 0 0 0 0 1 0
A7 0 0 1 0 0 0 0 1
A8 0 1 0 0 0 1 0 0
A9 0 1 0 0 0 0 1 0
A10 0 1 0 0 0 0 0 1
A11 0 0 1 1 0 0 0 0
A12 0 0 1 0 1 0 0 0
A13 0 0 1 0 0 1 0 0
A14 0 0 0 1 0 1 0 0
A15 0 0 0 1 1 0 0 0
A16 0 0 0 0 0 1 0 1
A17 0 0 0 0 1 1 0 0
A18 0 0 0 0 1 0 1 0
A19 0 0 0 0 0 1 1 0

6.  c) El grafo dado es conexo debido a que existe una cadena entre cualquier par de vértices.
 d) El grafo es simple ya que no tiene ciclos y no posee más de una arista uniendo un par de
vértices, se puede observar que para cada par de vértices que están unidos dicha unión es a
través de una sola arista.
 e) El grafo estudiado no es regular debido a que el grado de incidencia del vértice V1=5 y el
del vértice V3, por lo tanto para que un grafo sea regular todos los vértices deberían de tener
el mismo grado de incidencia.
 f) Se puede observar que el grafo es completo porque el vértice V1 no esta conectado al
vértice V5 y para que sea completo cada vértice debe estar conectado a cualquier otro vértice
distinto.
 g) Una simple no elemental de grado 6 (se repite el vértice V4) es: V6 a20 V8 a19 V4 a17 V7 a15 V5
A11 V3 a13 V4.
 h) Un ciclo no simple de grado 5 (se repite la arista a11) es: V3 a11 V5 a15 V7 a17 V4 a13 V3 a11 V5.

7. i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor:
- Elegimos S1=V1 Haciendo H1= [V1]
- Elegimos la arista A4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2= [v1,v4]
A4
V1
V4

8.  Elegimos la arista a15 que conecta a V4 con V7 haciendo H3= [v1 v4 v7]
A4
V1
V4
A15
V7

9.  Elegimos la arista a17 que conecta a V7 con V5 haciendo H4= [v1 v4 v5]
A4
V1
V4
A15
V7
A17
V5

10.  Elegiremos la arista A19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[v1 v4 v8]
A4
V1
V4
A15
V7
A17
V5
A19
V8

11.  Elegiremos la arista A20 que conecta V8 con V6 haciendo H6= [V1 v4 v7 v5 v8 v6]
A4
V1
V4
A15
V7
A17
V5
A19
V8
A20
V6

12.  Elegiremos la arista A10 que conecta a V6 con V2 haciendo H7= [v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2]
A4
V1
V4
A15
V7
A17
V5
A19
V8
A20
V6
A10
V2

13.  Elegiremos la arista A3 que conecta a v2 con v3 haciendo H8=[v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2
v3] . Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador
A4
V1
V4
A15
V7
A17
V5
A19
V8
A20
V6
A10
V2A3
V3

14.  j) Subgrafo parcial
V1
A2
V3
V2
A3
V4
V6 V8
A15
V5
A17
V7
A20

15.  Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
 Primero Seleccionamos a1
 Seleccionamos a3

16.  Seleccionamos a2
 Seleccionamos a4

17.  Seleccionamos a11
 Seleccionamos a12

18.  Seleccionamos a5
 Seleccionamos a6

19.  Seleccionamos a9
 Seleccionamos a10

20.  Seleccionamos a7
 Seleccionamos a13

21.  Seleccionamos a 14
Seleccionamos a 15

22.  Seleccionamos a18
 Seleccionamos a 20

23.  Seleccionamos a 20
El grafo no es euleriano, ya que los vértices no tienen grado par, lo cual
no es posible construir un ciclo euleriano.
 Demostrar si es hamiltoniano
V1 v2
A2 A3
A14
V4
A15
V7 v8
a20
v6
a10
v3
v5
a17 a19
Es Hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr (v1) ≥ 8/2=4 (i=1,2,8)

24. 2- Dado el siguiente dígrafo
 a)Encontrar matriz de conexión
 b)Es simple?. Justifique su respuesta
 c)Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
 d)Encontrar un ciclo simple
 e)Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
 f)Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de
Dijkstra

25. a. Encontrar matriz de conexión
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
B- Es simple? Justifique su respuesta
El dígrafo si es simple, porque no tiene ningún lazo y tampoco existen arcos paralelos que puedan
partir de un mismo vértice a otro.

26. C- Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
v1
a6
v5
a11
a13
v4
a12
v6
a14
C= [v1 a6 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 a13 v6]
D- Encontrar un ciclo simple
A11 A12
V4
V5
A14
C=[ v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 ]

27. E- Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
MC=
M2=
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1

28. MC3=
MC4=
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
MC5=

29. F- Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra.
v1
A6
a1 v2 [0],(0)
A5 [3,2](1) a2 a3 a4
A9
V3 v4
A7 a12A10
a1
1
V6
[3,2](1) V5 a13 a14
[3,2](1)
[2,2](1)

30. Dv2 a v1: 2
Dv2 a v3: 3
Dv2 a v5: 3
Dv2 a v4: 4
Dv2 a v6: 3
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3