Este documento proporciona un ejemplo de convolución discreta de señales. Calcula la convolución de dos señales x[n] y h[n] mediante la suma de sus productos multiplicados y desplazados. Los resultados de la convolución para diferentes valores de n se muestran gráficamente.

1. SISTEMAS LINEALES
Tema 2. Ejemplo Convolución
Discreta
14 de octubre de 2010
F. JAVIER ACEVEDO
javier.acevedo@uah.es

2. SUMA DE CONVOLUCIÓN
Ejemplo: Obtener la convolución de las señales:
0 n < −3
n+3 −3 ≤ n < 0 h[n] = x[n]
x[n] =
−n + 3 0≤n≤3
0 n>4
3
x [n] 2 2
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
h [n]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
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SISTEMAS LINEALES.

3. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
Obtenemos x[k] y h[-k] 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
h [−k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
Ahora podemos realizar la convolución. En este caso lo vamos a hacer gráficamente,
aunque también deberíamos hacerlo de forma analítica. Para cada valor de n hay
que hacer:
1) Desplazamiento de h[n-k]
2) Obtener la señal multiplicación x[k]h[n-k]
3) Obtener el sumatorio de las muestras de la señal multiplicación obtenida en el paso
anterior.
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SISTEMAS LINEALES.

4. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-8 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−8 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [−8 − k]
-8 -4 -2 8
y[−8] = 0
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

5. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-7 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−7 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [−7 − k]
-8 -4 -2 8
y[−7] = 0
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

6. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-6 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−6 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [−6 − k]
-8 -4 -2 8
y[−6] = 0
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

7. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-5 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−5 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [−5 − k]
-8 -4 -2 8
y[−5] = 0
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

8. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-4 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−4 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [−4 − k] 1
-8 -4 -2 8
y[−4] = 1
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

9. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-3 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−3 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
2 2
x[k]h [−3 − k]
-8 -4 -2 8
y[−3] = 2 + 2 = 4
4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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10. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-2 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−2 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 4 2 4 6 8
3 3
x[k]h [−2 − k]
-8 -4 -2 8
y[−2] = 3 + 4 + 3 = 10 10
4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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11. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=-1 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [−1 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
6 6
2
x[k]h [−1 − k]
-8 -4 -2 8
16
y[−1] = 2 + 6 + 6 + 2 = 16 10
4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

12. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=0 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
1 1
h [−k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
9
4 4
x[k]h [−k] 1 1
-8 -4 -2 8
16 19
y[0] = 1 + 4 + 9 + 4 + 1 = 19 10
4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

13. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=1 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
1 1
h [1 − k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
6 6
x[k]h [1 − k] 2 2
-8 -4 -2 8
19
16 16
y[1] = 2 + 6 + 6 + 2 = 16 10
4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

14. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=2 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
1 1
h [2 − k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
4
x[k]h [2 − k] 3 3
-8 -4 -2 8
19
16 16
y[2] = 3 + 4 + 3 = 10 10 10
4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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15. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=3 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
1 1
h [3 − k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [3 − k] 2 2
-8 -4 -2 8
19
16 16
y[3] = 2 + 2 = 4 10 10
4 4
1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

16. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=4 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
1 1
h [4 − k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [4 − k] 1
-8 -4 -2 8
19
16 16
y[4] = 1 10 10
4 4
1 1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

17. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=5 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2
1 1
h [5 − k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [5 − k]
-8 -4 -2 8
19
16 16
y[5] = 0 10 10
4 4
1 1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.

18. SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
n=6 2 2
1 1
x [k]
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
3
2 2 h [6 − k]
1 1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x[k]h [6 − k]
-8 -4 -2 8
19
16 16
y[6] = 0 10 10
4 4
1 1
-8
0 2 4 6 8
-4 -2
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SISTEMAS LINEALES.