El documento presenta una discusión sobre ángulos trigonométricos. Define ángulo trigonométrico y lo distingue de un ángulo geométrico. Explica que los ángulos trigonométricos tienen sentido de giro y magnitud ilimitada, mientras que los ángulos geométricos son estáticos y están limitados entre 0° y 360°. También compara los sistemas sexagesimal, centesimal y radial para medir ángulos.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
Lado Inicial
Lado Terminal
0
A
B

A
B
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“Ángulo Trigonométrico”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con ángulo trigonométrico.
 Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados:
horario y antihorario.
 Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Definición Abertura determinada por dos rayos a
partir de un mismo punto.
Abertura que se genera por el movimiento
de rotación de un rayo alrededor de su
origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
Características  Son estáticos
 No tienen sentido de giro, por lo
tanto no hay ángulos negativos.
 Están limitados
( º360ricoTrigonométº0  águlo )
 Son móviles
 Su sentido de giro está definido:
 Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
 Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
 Su magnitud no tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
Semana Nº 1

-  - 10º
Por ejemplo:
 10º -

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
-  - 10º
Por ejemplo:
 10º -
Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
)``(3600º1
)``(60`1
)`(60º1
)(
360
1
º1
gesimalSegunoSexa
agesimalSegundoSex
gesimalMinutoSexa
esimalGradoSexag
v




Debemos tener en cuenta:
0
360060
´´´º´´´º 






cb
acbacba
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
)(100001
)(1001
)(min1001
)(
400
1
1
tesimalsegundoCen
tesimalSegundoCen
malutoCentesi
simalGradoCente
v
sg
sm
mg
g




Debemos tener en cuenta:
g
cb
ascmb
g
ascmb
g
a 






10000100
Ejemplo: 28g
30m
27s
= 28g
+ 30m
+ 27s

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Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
a
rad
RradCS
g
g

2400º360
º
c
rad
RradCS
g
g

200º180
º
k
rad
RradCS
g
g


20
10º9
º
También una equivalencia de esta última relación es:

20
;10;9
k
RkCkS



109
CS
 ;

R
S 180
;

R
C 200

109
CS
 ;

R
S 180
;

R
C 200
PROBLEMA S RESUELTOS 1. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal
que la diferencia de su número de segundos
OBSERVACIÓN
RELACIÓN DE MINUTOS:
.
5027
mM
 . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS CENTESIMALES
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
.
25081
ba
 .
a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
Sexagesimales Centesimales
# de grados S C
# de minutos 60 S 100 C
# de segundo 360 S 10000 C
La medida de un ángulo en
radianes viene expresado por:
r


Aproximaciones de 
23
7
22
1416,3







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sexagesimales y de su número de minutos
centesimales sea 15700.
A)
2
 B) 2 C)
40
 D) 40 E)
10

RESOLUCIÓN
Piden:  radR
Condición:
Número Número
Segundos  Minutos = 15700
Sexg. Cent.
3600 S  100 C = 15700
39(9n)  (10n) = 157
314n = 157

  
1
n R
2 40

  rad
40
RPTA.: C
2. Halle “C” a partir de la ecuación:
     

6 7
8 5 6 7S C 20
R 4 S C R
9 10
,
Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un
mismo ángulo.
A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10
RESOLUCIÓN
Condición:
     

5 6 7 5 6 7
20K 20K 20K
S C 20
S C R R 4 S C R
9 10
20k (S5
+C6
R7
) = 4 (S5
+ C6
R7
)
k = 1
5
 C 40 RPTA.: C
3. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “” toma su
mínimo valor.
A)52g
B) 30º C)45g
D)45º E) 135º
RESOLUCIÓN
 = ?
          
g
g 10
10 ² 10 40 45 9 º
9º
²  10 + 40 =   5
( + 5)² + 15 =   5
( + 5)² =   20
  20  0   = 20 (mínimo)
(45 9)º = (9  45)º
= (180  45)º
= 135º
  = 45º RPTA.:
D
4. Se inventan 2 sistemas de medición
angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g
, además 80y < > 90º.
Determinar la relación de conversión entre
estos 2 sistemas x/y.
A) 3
8
B) 5
8
C) 7
8
D) 9
8
E) 11
8
RESOLUCIÓN
1x
= 2g
8y
= 9º
ºx g
y º g
x
y
x y
1 2 9
8 9 10
1 1
8 5
5 8 Relación de Sistemas
 
   
 

 
x y x 5
5 8 y 8
  
RPTA.: B
PROBLEMA DE CLASE
1. Si se cumple :
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

S = 9n
Sabemos C = 10n
R = 
n
20
o
AB
C D
    
g
10 ² 10 40  45 9 º
S = 180 K
Sabemos C = 200 K =?
R =  K

   45 9 º

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donde S, C y R son las medidas usuales del mismo
ángulo; entonces R es igual a:
a) rad
120
 b) rad
60
 c) rad
40
 d) rad
30
 e) rad
120
5
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
2. Si los ángulos congruentes de un triángulo
isósceles miden (6x)g
,entonces el
complemento de la medida del tercer ángulo en
el sistema radial es :
a) rad
10

b) rad
5

c) rad
12

d) rad
20

e) rad
8

3. Si la medida de dos ángulos es 100g
y su suma
es 3  rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos,
respectivamente , son:
a) 315° y 225° b) 325° y 215°
c) 300° y 240° d) 290° y 250°
e) 315° y 235°
(Examen ordinario– UNS 2014 II)
4. Si las raíces de una ecuación cuadrática :
02
 cbxax , son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo .
Entonces el número de radianes de dicho
ángulo solamente en términos de b y c es:
a)
1
19
1800 






b
c

b) bc19 c)
1
19800
19 






b
c
d)
1
1800
19








c
b
e) 





b
c
19
5. La suma de dos ángulos está dada por la
siguiente igualdad:
     111 baba g
Hallar dichos ángulos en el sistema
sexagesimal si su diferencia es ba
A) 25° y 40° B) 45° y 27° C) 40° y 38°
D) 20° y 45° E) 10° y 25°
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II)
6. Sabiendo que: x + y + z = 61
Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’
A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’
D) 62º1’ E) 60º2’
7. Si a y b son dos números reales positivos
hallar el máximo número de radianes de un
ángulo que satisface la siguiente igualdad:
22
22
)()(
)()(
baba
baba
SC



Si: S y C son lo conocido.
a)

380
b)

190
c)

19
d)
190

e)
380

8. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la
igualdad: ´´´. ZYXrad 
32
 ;
Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6
9. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo
ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de la
ecuación:
3x2 - 19x + 30 = 0
A) B)  C) D)  E) 
10. Si S y C son la medida de un ángulo en los
sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
... 32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A)  B)  C) 
D)  E) 

11. De la figura mostrada:
Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800
12. Determine la medida circular de un ángulo que
verifica:
S
C
ostérn
RRR




















 min""...........
2
1
1
1
1
1
1
1
a) rad
n
10
1)( 
b)
10
n
c)
9
n
d)
9
1n
e) 9n

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13. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema
de medición angular cuya unidad es “un grado
C” (1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la
suma de los ángulos internos de un pentágono.
A) 80c B) 160c C) 200c
D) 240c E) 320c
14. Determinar la medida en el sistema centesimal
para un ángulo cuyas medidas en los sistemas
convencionales cumplen la relación:
 
4 3 2S C 20R 12 3 2S C R
9 10 5
    

A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36
15. Si:

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S






Hallar el número de radianes de dicho
ángulo.
Si: (S y C son lo conocido)
a) 
3600
441
b) 
3600
551
c) 
3600
361
d) 
3600
641
e) 
3600
241
16. Siendo  el número de radianes de un ángulo
positivo, verifica la igualdad:
11.8.3 




Hallar: . Si:   
a)
9
32
b)
64
9
c)
32
9
d)
16
9
e)
9
64
17. Si el ángulo AOC es obtuso, hallar los valores
que puede tomar “”.
A)  18151215 ;; 
B)  15121518 ;; 
C)  15651518 ;; 
D)  15;12 E)  18;12
18. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(
S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x 





Siendo S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales de un mismo
ángulo en sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ángulo en el
sistema radial.
A) rad
200
1048 
B) rad
200
9048 ,
C) rad
100
1048 
D) rad
2
9,048 
E) rad
300
1048 
19. Si C y R son los números que representan las
medidas de un ángulo trigonométrico en los
sistemas centesimales y radial
respectivamente, tal que:
C = R + 2R2
+ 3R3
+ 4R4
+ ……….
Calcular la medida del ángulo en el sistema
radial.
A) { rad
2
1,0  ; rad
2
1,01 




  }
B)





  rad
2
1,0;rad
2
1,0
C)











 




  rad
2
1,01;rad
2
1,01
D)





  rad
2
;rad
2
20. Siendo S, C, y R los convencionales para un
ángulo trigonométrico donde S y C son las
soluciones de la ecuación:
x2
-nx+m=0 ; {m;n}  ℝ+
Calcule:
m
n
136,
A)
3
1
B)
6
1
C)
9
1
D)
3
2
E)
2
1
21. Calcular la medida de un ángulo en radianes
desde “S” y “C” son los números de grados
sexagesimales y centesimales
respectivamente y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)

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C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A) B)  C) D)  E) 

22. Si:
2x 10
S ; C
27 x
 
Calcular “x” donde S y C son lo convencional
para un ángulo
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
PROBLEMA DE REPASO
1. Si:
rad aºb'
16

 
Calcular: K = b - a + 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
2. De la condición:
5º rad
x


Calcule:
xº
g10
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
3. Para un cierto ángulo se cumple que la suma
del número de grados sexagesimales con el
doble del número de grados centesimales y
con el triple del número de radianes es igual a
1740 + 9. Calcule el número de radianes de
dicho ángulo.
A) B) 2 C) 3D) 4 E)5
4. Calcular:
g m2º2' 2 2
M 18
m2' 2
  
A) 10 B) 11C) 12 D) 13 E) 14
5. Siendo S y C el número de grados
sexagesimales y centesimales de un mismo
ángulo que cumple:
S = x - 1 .............. (i)
C = x + 2 ............ (ii)
Calcular la medida del ángulo en radianes
A) 10

B)
3
10

C)
5
18

D)
3
20

E)
2
25

6. La suma del número de grados sexagesimales y
centesimales de un mismo ángulo es 95.
Calcule la medida de dicho ángulo en el
sistema internacional.
A)
rad
12

B)
rad
10

C)
rad
8

D)
rad
6

E)
rad
4

7. Determine la medida radial de un ángulo que
cumple que la diferencia de los números de
minutos centesimales y sexagesimales de
dicho ángulo es igual a 460.
A)
rad
5

B)
rad
10

C)
rad
15

D)
rad
20

E)
rad
40

8. Sea f la función definida por la regla








 

1
1
2
1
x
x
C
S
R
xf )( , donde S, C y R
son los números de las medidas de un ángulo
en los sistemas sexagesimal, centesimal y
radial respectivamente.
Hallar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. 










137

coscos ff
II. 










119

senfsenf
III. 










105

cscsec ff
A) VVV B) VFV C) VFF
D) VVF E) FFV
9. La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y
la diferencia de los mismos 18
g
. Determinar la
medida circular del menor de los ángulos.
A)
rad
2

B)
rad
3

C)
rad
D)
rad
200

E)
rad
300

10. La medida de un ángulo en un sistema “M” es
igual a la cuarta parte de la suma de su número
de grados centesimales y 3 veces su número
de grados sexagesimales. ¿Cuántas unidades
en el sistema “M” le corresponden a un ángulo
llano?

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A) 75 B)165 C) 180 D) 185 E) 215
11. Si se cumple que:
2
4 5
2
 
 
 
Siendo “ ” el número de radianes. Halle la
medida de dicho ángulo.
A) 40g B) 90° C) 30° D) rad E) 200g
12. Siendo S y C los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo que
cumple con:
S 13 C 2
x .
2 3
2x 
 
Hallar el valor de: 4x 1x 
A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1
13. Señale la medida circular de un ángulo que
verifique:
  
osmintér"n"
......
2S
1
1
1S
1
1
S
1
1
C
n2





















Siendo S y C lo convencional para un
mismo ángulo.
a)
180
n
b)
200
n
c)
225
n
d)
135
n
e)
315
n
14. Señale la medida circular del ángulo cuyos
números de grados sexagesimales y
centesimales se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + … ; C = 2 + 4 + 6 + 8 + …
Teniendo ambos igual cantidad de
sumandos:
a) rad
20
3
b) rad
20
7
c) rad
10
9
d) rad
20
9
e) rad
23
5
15. Determine un ángulo en radianes si se cumple:
1
b
a
C1
b
a
S 
a) rad
5

b) rad
10

c) rad
20

d) rad
25

e) rad
50

16. El doble del número de grados sexagesimales
de un ángulo disminuido en su número de
grados centesimales es a 8 como es 3 a 4.
Calcular la medida radial del ángulo que cumple
dicha condición.
a) rad
20
3
b)
40
3
c)
50
3
d)
80
3
e)
100
3
17. Se crea un nuevo sistema de medición angular
“R” tal que su unidad (1R
) es la 240 ava parte
del ángulo de una vuelta.
Exprese en el sistema “R” un ángulo que
mide rad
4

.
a) 27R
b) 30R
c) 32R
d) 36R
e) 40R
18. Calcular la medida radial de un ángulo para el
cual se cumple:
27S + 13 = 81C
siendo S y C lo convencional para el mismo
ángulo.
A) 5

B)
3
20

C)
5
12

D)
2
9

E)
3
10

19. Sí mg
CBA 9013 ´´´ , calcular:
B
CA 
A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9
20. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo
trigonométrico que cumplen:
2S C 3R 2
2S C 3R 2
  

  
Calcular: “R”
A)
6
5

B)
3
4

C)
3
5

D)
5
6

E)
4
3

21. Si:   
g o
x 2 x 1 x abc  
Calcular: a + b + c
A) 9 B)15 C) 18 D) 21 E) 24