Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con los triángulos. Define los conceptos básicos de triángulo, ángulos interiores y exteriores, perímetro, clasificación según lados y ángulos. Explica teoremas como la suma de los ángulos interiores, relación entre ángulos y lados, y líneas notables como alturas, medianas y bisectrices. Proporciona ejercicios para comprobar la comprensión de los conceptos.

1. TEORÍA
1b
TRIÁNGULOS, TEOREMAS Y LÍNEAS
NOTABLES
2022-2

2. TRIÁNGULO
Definición.- Si A, B y C son tres puntos no colineales, entonces la
unión de los segmentos AB, BC y AC, se denomina triángulo.
Vértices: A, B y C
Lados: AB, BC y AC
Notación:
 ABC: Se lee, triángulo ABC
A C
B

3. ÁNGULO INTERIOR EN EL TRIÁNGULO
Un triángulo determina tres ángulos, los cuales se denominan, ángulos
interiores o internos, del triángulo.
Los ángulos internos del triángulo ABC son: BAC,
ABC y BCA
Cuando no hay confusión, se pueden indicar como
A, B y C
A C
B

4. ÁNGULO EXTERNO EN ELTRIÁNGULO
Definición.- Es el ángulo adyacente y suplementario de un ángulo del
triángulo, es decir, es cada uno de los ángulos que determina un par
lineal con un ángulo interno del triángulo.
Un ángulo externo del triángulo ABC es: BCQ
Q
A C
B

5. INTERIOR DE UN TRIÁNGULO
Definición.- Es la intersección de los interiores de los ángulos del
triángulo.
A C
B
Interior

6. EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO
Definición.- Es el conjunto de puntos, que no pertenecen al
triángulo ni al interior.
A C
B
Exterior

7. REGIÓN TRIANGULAR
Definición.- La unión de un triángulo y el interior, se denomina región
triangular.
A C
B
Interior
Región Triangular = △ABC ∪ Interior

8. PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO
Es la suma de longitudes de los tres lados del triángulo y se denota
como 2p.
2p = a + b + c
p =
a + b + c
2
a
b
c
A C
B En el △ABC
Perímetro 2p
Semiperímetro p

9. EJERCICIO 01
Indique los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El triángulo, es un conjunto convexo.
II. En un triangulo, la intersección del interior y el exterior es él
triángulo.
III. El perímetro del triángulo, es la suma de los lados.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FFF E) FVF

10. RESOLUCIÓN 01
Indique los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
I. El triángulo, es un conjunto convexo.
II. En un triangulo, la intersección del interior y el exterior es él triángulo.
III. El perímetro del triángulo, es la suma de los lados.
I. FALSA.
Por definición de conjunto convexo, el triángulo es conjunto no
convexo
II. FALSA.
El interior y el exterior del triángulo son disjuntos, la intersección
es el vacío.
III. FALSA.
El perímetro del triángulo, es la suma de las longitudes de los lados.
Clave: D

11. CLASIFICACIÓN DE LOS
TRIÁNGULOS
2022-2
1b

12. SEGÚN LOS LADOS
1. Triángulo equilátero
Los tres lados son congruentes.
En el triángulo equilátero, cada ángulo mide 60
a a
a
A
B
C

13. 2. Triángulo isósceles
Tiene dos lados congruentes, el tercer lado se denomina base.
Los ángulos en la base son congruentes: A  C
El ABC, es isósceles AB = BC
AC es la base
A
B
C
a a

14. 3. Triángulo escaleno
No tiene lados congruentes.
a  b
a  c
b  c
A
B
C
a
b
c
El △ABC, es escaleno

15. SEGÚN LOS ÁNGULOS
1. Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Teorema de Pitágoras:
A
B C
AB y BC: Catetos
AC: Hipotenusa
AC 2 = AB 2 + BC 2

16. 2. Triángulos oblicuángulos. No tienen ángulo recto, pueden ser:
Triángulo acutángulo
Los tres ángulos son agudos.
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso.
A C
B
a
b
f
A C
B
q
El △ABC es acutángulo:
𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃 < 90
El △ABC, es obtusángulo,
obtuso en A: 𝜃 > 90

17. EJERCICIO 02
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. Un triángulo es equilátero, si los tres lados son congruentes.
II. Un triángulo isósceles, tiene solo dos lados congruentes.
III. Un triángulo escaleno, tiene tres lados no congruentes.
A) FFF B) FFV C) FVV
D) VVV E) VVF

18. RESOLUCIÓN 02
Indique el valor de verdad de cada proposición:
I. Un triángulo es equilátero, si los tres lados son congruentes.
II. Un triángulo isósceles, tiene solo dos lados congruentes.
III. Un triángulo escaleno, tiene tres lados no congruentes.
I. VERDADERA
por definición
II. VERDADERA
por definición
III. VERDADERA
por definición
Clave: D

19. TEORÍA
TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO
1b
2022-2

20. TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO
1. La suma de medidas de los tres ángulos interiores de un
triángulo es 180.
a  b  q = 180
q
a
A
q
C
B
b
a
En el △ABC

21. 2. En un triángulo, la medida de un ángulo exterior, es igual a la suma de
medidas de los ángulos interiores no adyacentes con él.
f = a  b
a
f
D
A
f
C
B
b
a
En el △ABC

22. 3. En un triángulo, la suma de las medidas de los ángulos
exteriores, uno por vértice, es 360.
    f = 360
f

A f
C
B 

D
E
F
En el △ABC

23. 4. En un triángulo, al mayor lado, se opone mayor ángulo y
recíprocamente.
Si a  c  a  q
A
q
C
B
a
a
c
En el △ABC

24. 5. En un triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de
las longitudes de los otros dos.
A C
B
c a
b
a  b + c b  a + c c  a + b
NOTA: la longitud de un lado es mayor que la
diferencia de las longitudes de los otros dos.
Sean a > b > c
entonces: c > a – b a > b – c b > a – c
En el △ABC

25. 6. En un triángulo isósceles, a lados congruentes se oponen ángulos
congruentes y recíprocamente.
B
A C
a q
a
c
Si a = c  a = q
En el △ABC

26. EJERCICIO 03
Diga el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Un triángulo, solo tiene un ángulo recto o un ángulo obtuso.
II. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo, son
complementarios.
III. Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos respectivamente
congruentes, entonces el tercer par de ángulos son
respectivamente congruentes.
A) VVV B) VFV C) FVF
D) FFV E) VVF

27. RESOLUCIÓN 03
Diga el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Un triángulo, solo tiene un ángulo recto o un ángulo obtuso.
II. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo, son complementarios.
III. Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes,
entonces el tercer par de ángulos son respectivamente congruentes.
Clave: A
I. VERDADERA
II. VERDADERA
III. VERDADERA
a
a
q
b
q
a
q a + q = 90
a
a
q
x
q
y
a + q + y = 180 a + q + x = 180
→ x = y
En los triángulos a, q son agudos
a, q < 90 Si a, q < 90 ⇒ b > 90

28. TEORÍA
LÍNEAS NOTABLES EN EL
TRIÁNGULO
2022-2
1b

29. ALTURA
Definición.- Es el segmento perpendicular, trazado desde un
vértice del triángulo, a la recta que contiene al lado opuesto.
BH es altura del △ABC
B
A (H) C
En un triángulo se pueden trazar tres alturas.
A C
H
B
A C
B
H

30. MEDIANA
Definición.- Es el segmento que tiene por extremos, un vértice del
triángulo y el punto medio del lado opuesto.
BM es mediana
m m
En un triángulo se pueden trazar tres medianas.
A
B
C
M
En el △ABC

31. MEDIATRIZ
Definición.- Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en
el punto medio.
L es mediatriz del lado AC
En un triángulo se pueden trazar tres mediatrices.
A
M C
B
m m
L
En el △ABC

32. BISECTRIZ INTERIOR
Definición.- Es el segmento de bisectriz de un ángulo interior del
triángulo, cuyos extremos son el vértice del ángulo y un punto del
lado opuesto.
En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores.
BD es bisectriz interior
A D C
B
a a En el △ABC

33. BISECTRIZ EXTERIOR
Definición.- Es el segmento de bisectriz de un ángulo exterior del
triángulo, cuyos extremos son el vértice de dicho ángulo y el punto de
intersección con la recta que contiene al lado opuesto.
BE bisectriz exterior
AB > BC
En un triángulo se pueden trazar hasta tres bisectrices exteriores.
A C E
B
q
q
En el △ABC

34. NOTA
En un triángulo, se denomina ceviana al segmento cuyos extremos son,
un vértice y un punto cualquiera de lado opuesto.
BD es ceviana
A D C
B
En el △ABC

35. En un triángulo, el punto de intersección de las
líneas notables son:
LÍNEAS NOTABLES PUNTOS NOBLES
Medianas Baricentro
Alturas y sus prolongaciones Ortocentro
Mediatrices Circuncentro
Bisectrices interiores Incentro
Bisectrices de un ángulo interior
y dos ángulos exteriores Excentro

36. TEOREMAS
𝜃
𝜃
x
x
𝛼
𝛼
𝛽
𝛽
𝛿
𝛿
𝛼
𝛼
x= 90 +
θ
2 x =
θ
2
1. 2.
𝜃
x
x = 90 −
θ
2
𝛼
𝛼 𝛽
𝛽
3.

37. EJERCICIO 04
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. El baricentro de un triángulo, es el punto de intersección de las
bisectrices interiores.
II. El ortocentro de un triángulo, es el punto de intersección de las
alturas.
III. La mediatriz de un segmento, es otro segmento.
A) FFF B) FVF C) FVV
D) VVV E) VFV

38. RESOLUCIÓN 04
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. El baricentro de un triángulo, es el punto de intersección de las bisectrices
interiores.
II. El ortocentro de un triángulo, es el punto de intersección de las alturas.
III. La mediatriz de un segmento, es otro segmento.
A B
m m
𝑐
2
𝑐
2
𝑎
2
𝑎
2
𝑏
2
𝑏
2
I. II. III.
Clave : B
FALSA FALSA FALSA

39. 1. MOISE E. Elementary geometry from an advanced standpoint.
1ra edición. Addison- Wesley, Deleware.
USA. 1963.
2. VEGA VILLANUEVA Flavio. Matemática.16ava edición.
Colegio militar Leoncio Prado. 1961.
3. MÁXIMO DE LA CRUZ SOLORZANO. Matemática moderna 4, 1961
BIBLIOGRAFÍA