Este documento presenta información sobre triángulos. Explica que un triángulo puede clasificarse según la medida de sus lados en equilátero, isósceles y escaleno, y según sus ángulos internos en agudos, rectos y obtusos. También describe elementos secundarios de triángulos como alturas, bisectrices, medianas y simetrales. Finalmente, incluye teoremas sobre ángulos y lados de triángulos.

1. EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN
IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE
LEÍA:
“NADIE ENTRA SIN SABER
GEOMETRÍA”
Docente:
Carlos Villavicencio

2. CONOCIENDO MÁS
DE LOS
TRIÁNGULOS

3. Triángulo....
Más que un polígono de tres
lados...

4. Postulado de existencia de un triángulo, llamado también
desigualdad triangular
Un triángulo queda determinado cuando
ocurre que la suma de las medidas de dos de sus
lados es siempre mayor que el tercer lado o la
diferencia de las medidas de dos de sus lados es
siempre menor que el tercer lado.

5. Clasificación de triángulos
Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser:
1) Equilátero.
2) Isósceles.
3) Escalenos.
Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser:
1) Acutángulos (ángulos internos agudos).
2) Rectángulos (un ángulo recto).
3) Obtusángulos (un ángulo obtuso).

6. Triángulo isósceles
C
b
A
a
a
B
 Isósceles: se
denomina al triángulo
que posee dos lados
iguales (AC y BC) y
uno desigual, este se
llama base (AB) y son
los ángulos que se
encuentran en sus
extremos los
idénticos. (ángulos a)

7. Triángulo equilátero .
 Equilátero: es el
único triángulo
regular; o sea tiene
sus tres lados
iguales y por ende
sus tres ángulos
miden lo mismo
(60° cada uno).
C
60°
60°
A
60°
B

8. Triángulo escaleno.
 Escaleno: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres lados
diferentes y por
ende, sus ángulos
también lo son.
C
c
a
A
b
B

9. Otra clasificación es...
 Según sus ángulos.
 Pero para eso
debes saber que la
suma de los tres
ángulos interiores
de cualquier
triángulo es 180°.
57°
35°
88°

10. Triángulo obtusángulo .
46°
105°
29°
 Obtusángulo: se le
llama al triángulo
que tiene uno de sus
ángulos interiores
obtuso; o sea uno de
ellos mide más de
90°.

11. Triángulo acutángulo .
 Acutángulo: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres ángulos
interiores agudos o
sea, cada uno de
sus ángulos miden
menos de 90°.
47°
59°
74°

12. Triángulo rectángulo
 Rectángulo: se
denomina al triángulo
que posee uno de sus
ángulos interiores
recto o sea, mide
90°.
 Los lados que forman
el triángulo recto
reciben el nombre de
catetos y, el tercer
lado, o sea, el
opuesto al ángulo
recto se le llama
hipotenusa.
A
c
b
C
a
B

13. Rectas y puntos notables en el triángulo
(elementos secundarios)
Las rectas secundarias en el triángulo son:
1. Altura
2. Bisectriz
3. Mediana
4. Simetral
5.Transversal de gravedad

14. ALTURA DE TRIANGULOS
Se llama altura de un triangulo al segmento
perpendicular a cada lado que se une con el vértice
opuesto
La altura se designa con una h

15. BISECTRIZ DE UN TRIANGULO
Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un
ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada
ángulo, que se nombran generalmente con una letra griega
El punto donde se cortan se llama incentro
C
bb
ba
I
A
ba ∩ bb ∩ bc = { I }
I = incentro
bc
B

16. MEDIANA DE TRIANGULOS
La propiedad de la mediana consiste
en que cada mediana trazada en el
triángulo, es paralela al tercer lado. Y
además la medida de su longitud
corresponde a la mitad de la longitud del
lado paralelo.
Como corolario (consecuencia de lo
anterior) al trazar las tres medianas en un
triángulo, éste se subdivide en 4 triángulos
congruentes y semejantes al triángulo
inicial.

17. MEDIANA DE TRIANGULOS
Se llaman medianas de un triangulo a los
segmentos determinados por cada vértice y el
punto medio del lado opuesto
Las medianas se cortan siempre en un punto
interior del triangulo.
El punto donde se cortan las medianas se llama
baricentro

18. S i m e t r
a l
Es el segmento perpendicular levantado en el punto
medio de cada lado del triangulo. Se denota por la
letras S y según el lado al cual dimidian (dividen a la
mitad el lado).
Sa ∩ Sb ∩ Cc = { C }
F
Sd
C = circuncentro
Se
C
∩ = Intersección
D
Sf
E

19. Transversal
Gravedad
de
Corresponde a un trazo que está determinado por el
vértice y el punto medio del tercer lado.
C
S
2
T
• GT
G
1
A
R
B
La propiedad está dada por el punto G o baricentro que
determina en cada transversal dos segmentos menores que están
en razón 2 : 1

20. Teoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo
Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si α,
β y γ son ángulos interiores de un triángulo, la
suma de sus medidas es siempre 180º.
R
C
S
γ
α
A
L1
β
B

21. Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de
360º.
γ’
C
γ
α
A
α’
β
β’
B

22. Teorema de
Pitágoras
Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los
cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido
sobre la hipotenusa.
a2 + b2 = c2

23. Ejercicios
•Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida
de la hipotenusa.
6 cm
(a)
x
8 cm (b)
Cateto a
Cateto b
3
4
6
8
9
12
12
16
15
20
18
24
Hipotenusa

24. Observaci
ones:
Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por
cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que
satisfacen la relación pitagórica
32
+
42
= 52
9
+ 16
= 25
25
= 25

25. A través del teorema de Pitágoras es posible reconocer
el tipo de triángulo.
En el triángulo rectángulo
c 2 = a 2 + b 2.
En el triángulo obtusángulo c2 > a2 + b2.
En el triángulo acutángulo
c2 < a2 + b2.

26. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS
SEMEJANTES
 “Toda paralela a un
lado de un triangulo
forma con los otros
dos lados un
triangulo semejante
al primero, porque
sus ángulos son
iguales.
 1Posición

27.  TEOREMA1: En todo triángulo, el ángulo
mayor se opone al lado mayor
 ∆ABC cualquiera
__ ___
CD> CB
En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que
un ángulo menor se opone al lado menor, o bien a un
ángulo mayor se opone un lado mayor

28.  2°TEOREMA: TODO




LADO DE UN TRIANGULO
CUALESQUIERA ES MENOR
QUE LA SUMA DE LOS
OTYROS LADOS
HIPOTESIS:
∆ABC cualquiera
TESIS:
___ ___ ____
 AB < AC + BC

29.  3° TEOREMA: Todo
lado de un triangulo
cualquiera es mayor
que la diferencia de
los otros lados.
 HIPOTESIS:
 ∆ABC cualquiera
 TESIS:
 ___ ___ ___
 AB> AC + BC

30.  REFLEXION:
 PODEMOS DARNOS CUENTA QUE
A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA
TODO LO QUE ESTA EN NUESTRO
 ENTORNO TIENE SENTIDO .


Good look, Good Work