El documento define un triángulo como una figura plana limitada por tres segmentos de recta no alineados. Describe los elementos de un triángulo (vértices, lados, ángulos interiores y exteriores) y presenta ejercicios prácticos para identificar y dibujar diferentes tipos de triángulos según sus medidas y para demostrar teoremas fundamentales sobre los triángulos.

2. Definición: Se llama triángulos a la figura plana que se encuentra ilimitada porDefinición: Se llama triángulos a la figura plana que se encuentra ilimitada por
tres segmentos de recta no alineados.tres segmentos de recta no alineados.
Elementos:Elementos:
Vértices: A,B,C ( )Vértices: A,B,C ( )
Lados: AB, BC, ACLados: AB, BC, AC (( __ ))
Angulos interiores: , , ( )Angulos interiores: , , ( )
Angulos externos: , , ( )Angulos externos: , , ( )
A
B
C
α
β ω
ωα β
θ
θ
φ
φ
γ
γ
Continuar

3. PRACTICA DIRIGIDAPRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 1.- Dibuja si es posible los siguientes triángulos con las medidas
indicadas.
a) 6;7;8 b) 4;7;2 c) 5;9;5
Conclusión: a+b>c
a+c>b
b+c>a
l a-b l < c
l a-c l < b
l b-c l < a
Teorema de la desigualdad
triangular
6cm.
7cm.
8cm.
4cm.
7cm.
2cm.
5cm.
5cm.
9cm.

4. ContinuarContinuar
Por sus
ángulos:
Acutángulo
Por sus lados:
Escaleno
PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 2.- De los triángulos propuestos designalos según sus ángulos y lados
a) 6;7;8 b) 5;9;5
Ejercicio 3.- Del primer triángulo anterior halla el perímetro y el semi-perímetro
Por sus ángulos:
Obtusángulo
Por sus lados:
Isósceles
a) 6;7;8
Perímetro= 2p = a+b+c
2p = 6+7+8 = 21cm.
Semi-perímetro = perímetro = 21 = 10,5cm.
2 2

5. PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz,
bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.
Triángulo de 5;9;5 Altura: perpendicular que se traza de uno de los vértices
hacia el lado opuesto.
Altura “h” con respecto a AB
h
A B
C
Continuar

6. PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz,
bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.
Triángulo de 5;9;5
A B
C
Mediana: segmento que une el punto
medio de uno de los lados con el vértyice
opuesto.
Mediana AM con respecto a BC
M
Continuar

7. PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz,
bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.
Triángulo de 5;9;5
A B
C
Mediatriz: perpendicular al punto medio de uno de los lados.
Mediatriz MN con respecto a AB
M
N
Continuar

8. PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz,
bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.
Triángulo de 5;9;5
A B
C
Bisectriz interior: segmento que divide
un ángulo interior en dos ángulos
congruentes.
Bisectriz BD
β
β
D
Continuar

9. PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz,
bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.
Triángulo de 5;9;5
A B
C
Ceviana: cualquier segmento que
trazada por uno de los vértices corta el
lado opuesto.
Ceviana CE y CF
E F
Continuar

10. PRACTICA DIRIGIDA
Ejercicio 5.- Demuestra los teoremas fundamentales de losEjercicio 5.- Demuestra los teoremas fundamentales de los
triángulos, teniendo en cuenta tus saberes previos.triángulos, teniendo en cuenta tus saberes previos.
5.1.-
Teorema de la suma de las medidas de los ángulos interiores
.
5.2.-Teorema del ángulo exterior.
5.3.-Teorema de la suma de las
medidas de los ángulos
exteriores.
5.4.-Teorema de la suma de dos ángulos
exteriores a un mismo lado.
5.5.-Teorema del mayor lado
Continuar Aplicación

11. TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORESTEOREMA DE LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES
α
A
B
C
β
ω
1. Por B se traza L // AC; se prolongan
AB y BC
β
2. Se observan e identifican ángulos
correspondientes
3. Se observa e identifica ángulo
opuesto por el vértice
4. Conclusión: + + = 180ºα β ω
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a 180º
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12. TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIORTEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR
1. Observamos y son ángulos
adyacentes suplementarios
+ = 180º
P
Q
R
θ
φ
γ
γ
β
β
2. + + =180º por ser
ángulos interiores de un triángulo
βγ
γ
β
θ φ
3. + = + +
por la propiedad transitiva.
γ θ φ γ
4. Observamos en la anterior ecuación
y cancelamos
= +β θ φ
El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
Regresar
γ γ+ +

13. TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORESTEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES
1. Sabemos que + + = 180º
por ser ángulos internos de un
triángulo.
X
Y
Z
β
α
θ
β α θ
2. X= +
Y= +
Z= +
3. Sumamos las tres igualdades
X+Y+Z= + + + + +
4. Aplicando conmutativa y asociativa. Reemplazando 1 en 3
X+Y+Z=180º + 180º X+Y+Z=360º
β θ
θ
α
α
β
β βα αθθ
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo ( uno por lado) es igual a
360º
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14. TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES ATEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES A
UN LADOUN LADO
1. = X + Z
= X + Y
Por ser ángulos exteriores a un triángulo.
X
Y
Z
α
β
2. Sumamos ambas igualdades:
+ = X + X + Y + Z
3. Sabemos que los ángulos interiores suman
180º. Reemplazando
+ = X + 180º
α
β
βα
α β
La suma de los ángulos exteriores ( de un lado ) es igual a 180º más el
tercer ángulo no adyacente
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15. TEOREMA DEL LADO MAYORTEOREMA DEL LADO MAYOR
1. Observa los ángulos dados, ¿cuál es el
mayor por estimación?
El ángulo de mayor medida es
A
B
C
α
β
θ
3cm
6cm
8cm
α
2. Ahora observa la medida de los lados
compara y dí cuál tiene mayor dimensión?
El lado de mayor medida es BC=8cm.
3. Encuentra la relación entre el lado y el
ángulo mayor.
Al lado mayor le corresponde el ángulo mayor.
Al lado menor le corresponde el ángulo menor
4. Observa el lado menor y el ángulo menor
de todos
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16. Corolarios
1. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios
B
A
C
θ
Φ
Φ = 90º - θ
θ = 90º - Φ
θ + Φ = 90º
2. La medida de los ángulos de un triangulo rectángulo isósceles mide 45º
cada uno.
B A
C
45º
45º
3. Ningún triangulo puede tener mas de un ángulo recto.

17. 4. Ningún triangulo puede tener mas de un ángulo obtuso.
5. La medida de un ángulo exterior es mayor que cualquiera de las medidas
de los ángulos interiores que no le son adyacentes.
B
A
C
y
zΦ
Φ > y
Φ > z
6. A la longitud del menor lado se le opone la medida del menor ángulo interior.
7. Al mayor lado le corresponde la menor altura, mediana, bisectriz.

18.  1. En la figura calcular1. En la figura calcular αα -- ββ..
α
108º
β
Resolución :Resolución :
-Restamos 180º-108º=72º (ángulo exterior).-Restamos 180º-108º=72º (ángulo exterior).
-Utilizamos el teorema de la suma de los ángulos interiores .-Utilizamos el teorema de la suma de los ángulos interiores .
ββ +72º + 180º -+72º + 180º - αα = 180º= 180º
ββ -- αα = 180º - 180º - 72º= 180º - 180º - 72º
αα -- ββ =72º=72º
PRÁCTICA DIRIGIDAPRÁCTICA DIRIGIDA

19. 2. Calcular “x”.2. Calcular “x”.
54º
x
132º
Resolución:
- Restamos el ángulo exterior con el interior.
180º - 132º = 48º ; 360º-x
-Teorema de la suma de los ángulos interiores.
54º + 180º - 132º + 360º - x = 180º
360º - 78º = x
x = 282º
180º-132º
360º-x

20. 3. Hallar el ángulo que existe entre el lado de un cuadrado y el as
próximo de un triangulo equilátero inscrito en dicho cuadrado ambas
figuras tienen un vértice en común.
A
B C
D
P
Q
60º
60º
60º
x
x
x + 60º + x = 90º
2x = 30º
x = 30º / 2
x = 15º
Resolución:

21. D
A
B
C
E β
β
β
X
54º α
α
4. Calcular “x” si la medida del ángulo B es igual a la mediad del ángulo
ACD, segmento CE es igual a CD.
Resolución:
ΔABE:
54º + β + α =180º …(1)
ΔADC:
x + β + α =180º …(2)
Igualando (1) y (2)
54º + β + α = x + β + α …( eliminamos β + α)
x = 54º

22. 5. Los ángulos exteriores de un triangulo miden (x+20º),
(3x+10º), (2x+30º). Calcular “x”.
Resolución:
C
A
B
2x+30º
x+20º
3x+10º
Usamos teorema de los ángulos exteriores
x + 20º + 3x + 10º + 2x + 30º = 360º
6x + 60º = 360º
6x = 300º
x = 50º

23. DIAPOSITIVAS DELTEMA:
TRIANGULOS:
TEOREMAS
TEORIA PRACTICA

24. A. Teoremas de los ángulos formados por rectas de un triangulo
1.TEOREMAS DE LAS BISECTRICES INTERIORES
α
α
F
α
β
β
A
B
C
x
θ
Hipótesis: segmento AF,CF
bisectriz interior
Tesis: x=90º + θ/2
Demostraciones :
1.2α+θ+2β =180º → teorema de ángulos internos
2. α+β+θ/2=90º → sacando la mitad a cada uno.
3. α+β+x=180º → teorema de los ángulos internos
4. α+β=180º-x → transponiendo términos.
5.180º-x+θ/2 =90º → reemplazo 4 en 2.
6. x= 90º+θ/2 → ordenando términos
 x= 90º+θ/2

25. 2. Teorema de las bisectrices exteriores:2. Teorema de las bisectrices exteriores:
-la medida de dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la-la medida de dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la
mitad del tercer ángulomitad del tercer ángulo
Φ
x
E
C
F
β
B
A
HIPOTESIS : SEGMENTO BE Y CE
BISECTRICES EXTERIORES.
TESIS: X=90º-Φ/2
DEMOSTRACIONES :
1. β=90º-Φ/2 → Por el teorema anterior
2. FBE=FCE=90º → Ángulos formados por
bisectrices internos y externos.
3. β+X =180º → Ángulos de lados perpendiculares.
4. 90º+Φ/2+x =180º → Reemplazando 1 en 3.
5. x=90º-Φ/2 → Transponiendo términos .
 x=90º-Φ/2

26. 3. TEOREMA DE UNA BISECTRIZ INTERIOR Y UNA BISECTRIZ
EXTERIOR :
-La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior,
que parten de dos vértices diferentes es igual a la mitad de la medida del
tercer ángulo .
A
B
C
F
E
α
δ
x
Hipótesis :
Segmento AE bisectriz interno
Segmento CE bisectriz externo
Tesis :x= α/2
Demostraciones
1. δ = 90º+α/2 → teorema de las bisectriz interna
2. FCE=90º → por bisectriz externa e interna
3. δ=90º +x → Teorema del ángulo externo Δ FCE
4. 90º+x=90º+α/2 → igualando1 y 3
5. X=α/2 → eliminando 90º
 X=α/2

27. 4. Teoremas de dos alturas ::
-La medida del ángulo que forman dos alturas es igual al suplemento del tercer-La medida del ángulo que forman dos alturas es igual al suplemento del tercer
ángulo.ángulo.
CA
B
L
Φ
X
DEMOSTRACIONES:
Segmento AE ;CD :altura
Tesis: x= 180º-Φ
DEMOSTRACIONES:
1. X+Φ =180º → Ángulos perpendiculares
2. x=180º-Φ → transponiendo el termino Φ
 x=180º-Φ
fin

28. 5.Teorema del cuadrilátero no convexo5.Teorema del cuadrilátero no convexo
-En un cuadrilátero no convexo la medida del ángulo no convexo es igual a la-En un cuadrilátero no convexo la medida del ángulo no convexo es igual a la
suma de la s medidas de los otros tres internos del cuadriláterosuma de la s medidas de los otros tres internos del cuadrilátero
B A
E
D
X
C
ψ
β Φ α
HIPOTESIS :
ABCD : CUADRILATERO NO
CIONVEXO
TESIS : X= α+β+ψ

29. 6. Teorema de la altura y la bisectriz interna:6. Teorema de la altura y la bisectriz interna:
-- La medida formada por la altura y una bisectriz interna que parte de un mismoLa medida formada por la altura y una bisectriz interna que parte de un mismo
vértice es igual a la diferencia de la medida de los otros dos ángulo.vértice es igual a la diferencia de la medida de los otros dos ángulo.
A
BC
Φ
θ
x
α
α +x
HD
HIPÓTESIS :
-Segmento BH : ALTURA
-Segmento BD : Bisectriz interna
TESIS :
X =X = ΦΦ –– θθ
2

30. 1. El ángulo que forma bisectriz de la altura relativa a la base1. El ángulo que forma bisectriz de la altura relativa a la base
de un triangulo , y la bisectriz interna de uno de losde un triangulo , y la bisectriz interna de uno de los
ángulos es iguales es 56º . Hallar la medida del ánguloángulos es iguales es 56º . Hallar la medida del ángulo
que forma bisectriz interna de BACque forma bisectriz interna de BAC
PRÁCTICA
RESOLUCION :
56º+90º+α =180º → Suma de ángulos internos
146+ α =180º
α = 180º- 146
α =34º 2 α = 68º Rpta
x=68ºα
α 56º
X
A
B
C

31. 2. Las bisectrices internas de los ángulos de un triangulo forman un2. Las bisectrices internas de los ángulos de un triangulo forman un
ángulo de 100º . Hallar la medida de los ángulos iguales.ángulo de 100º . Hallar la medida de los ángulos iguales.
θ
100º
Resolución :
100º=90º + θ / 2 teorema bisectrices internas
200º = 180º + θ
20º = θ
180º - θ
180º-20º
160º
160º/2 para hallar la medida de X
80º
80º
x

32. 3.En la figura hallar el valor de “x”3.En la figura hallar el valor de “x”
α
α
θ
θ
50º
Resolución :
2 θ +2α +50º =180º
2 θ +2α =130º
θ +α=65º
θ +α+X=180º para hallar “x”
65º+x =180º
X=115º
X
115º

33. 4. En un triángulo ABC :el segmento CD es bisectriz del ángulo C ; el segmento BD4. En un triángulo ABC :el segmento CD es bisectriz del ángulo C ; el segmento BD
es perpendicular Al segmento CD . Si la medida del ángulo B =40º y el ánguloes perpendicular Al segmento CD . Si la medida del ángulo B =40º y el ángulo
exterior en A es 110º . Hallar el ángulo ABDexterior en A es 110º . Hallar el ángulo ABD
A
C
B
110º
α α
40º
X
RESOLUCION :
Δ ABC:
Angulo A=180º-110º=70º
70º+2α+40º=180º
2α = 70º
α = 35º
Δ Rectángulo CDB :
α +40º + x =90º
x=90º-75º
x=15º
D