Este documento presenta definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Introduce la circunferencia trigonométrica y explica cómo se representan los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo en ella. Luego, presenta problemas para practicar el cálculo de áreas de regiones en la circunferencia trigonométrica en términos de funciones trigonométricas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
y
M
N
sen 1 sen
CEPUNS (+) (+)
A
x
Ciclo 2012-III sen
(-) -1
sen
(-)
TRIGONOMETRÍA P Q
“Circunferencia Trigonométrica” Semana Nº 5
Definición 1. L.T. seno
y
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del M
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del N
sistema. En el gráfico adjunto tenemos: sen sen
y 1
B
M
(+) (+)
A
(+) x
sen sen
A' A
(-) -1 (-)
x
R=1 P
(-) Q
Variación del seno de un arco:
B' N
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números IC IIC IIIC IVC
reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
0 3 3
2 2 2
y 2 2
y
2
90º sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
0 0º
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0-1<sen <0
180º 2. L.T. coseno
x x
2 360º y
3 270º cos
2 N cos
y M
(-)
1,57 (+)
-1 A
0 x
3,14 1
x
6,28
cos cos
Q
(-) (+)
4,71
P
Líneas
trigonométricas Variación del coseno de un arco:
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula; IC IIC IIIC IVC
que van a representar los valores numéricos de las
0 3 3
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número 2 2 2
2 2
real, siempre que esté definido.
cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1
0<cos <1 -1<cos <0-1<cos <0 0<cos <1
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
En el gráfico:
3. L.T. tangente
Se observa que OR representa a la secante del arco
trigonométrico .
y T Línea Cosecante:
Y B(0;1)
M tan
N
tan
O A
x 0
rad
tan
Q tan tangente
P P
geométrica
C.T.
T1 M
En el gráfico:
Se observa que OM representa a la cosecante del
4. L.T. Cotangente arco trigonométrico .
Tangente
Geométrica PROBLEMA DE CLASE
T
01 . Señale verdadero (V) o falso (F), según
P corresponda en:
rad I. sen140º > sen160º
II. sen200º > sen250º
0
III. sen200º > sen320º
a) VVV b)VFF c)VVF d)FVV e) FFF
02 . Señale la variación de: L = 7 - 3sen IR
C.T.
En el gráfico: a) [4; 7] b) [-6; 8] c) [-4; 10]
d) [-2; 8] e) [4; 10]
Se observa que BT representa a la cotangente del 2n 1
cos
03 . Sabiendo que
arco trigonométrico . 3
IR, además:
¿cuál es la suma de los valores enteros que
Línea Secante:
toma "n"?
a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)0
Y tangente
P geométrica
04 . Sabiendo que IIC; señale la extensión de:
C = 3sen + 1
a) <1; 4> b)[1; 4> c)[-2; 4] d)<-1; 4] e)[2; 5]
rad
0 A
05 . Sabiendo que: IIIC; señale el rango de:
C = 3cos + 2
a) [2; 3] b)<2; 3> c)<-1; 2> d)[-1; 2] e)[-1; 5]
C.T.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
06 . Sabiendo que: 30º < < 120º; señale la
extensión de: C = 4sen - 1
a)<1; 3] b)<1; 3> c)<1; 2 + 1> d)<1; 2 + 1] e)<2; 3>
07 . Sabiendo que: <60º; 210º>; señale la
extensión de: C = 8cos + 1
a)<-7; 5] b)[1; 4> c)[-7; 5> d)<-6; 5] e)[-6; 5>
a) 0,5 1 sen b) 0,5 1 sen
08 . En el círculo trigonométrico, calcular el área cos cos
de la región sombreada. c) 0,5 1 sen cos d) 0,5 1 sen cos
e) 0,8 1 sen cos
12 . En la circunferencia trigonométrica de la
O figura mostrada, si mAp = , determinar la suma
de las áreas de las regiones BOP y PQA.
1 (Sen Cos 1) 1 (Sen Cos 1)
a) 2 b) 2
1 (1 Sen Cos ) 1 (1 2Cos )
c) 2 d) 2
1 (1 2 Sen )
e) 2
3 cos 1
C
09 .Señale la variación de: cos 1 si: IVC
a) cos sen tg b) cos sen tg
1 1 2 2
;2 ;1
2 2 c) cos sen Ctg d) cos sen Ctg
a)<1; 2> b) c) d)<1; 3> e)<2; 3>
2 2
e) sen cos tg
10 . En la C.T. mostrada, hallar la longitud de A'P.
y
B
13 . En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el área
de la región sombreada.
A’ P A
x
M
B’
a)-cos b)1 - cos c)1 + cos d)1-sen e)1 + sen
11 . En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el área de
la región sombreada.
a) 0,5 b) 1 c) 2
tg 1 tg 1 tg 1
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
d) 0,5 e) 2
tg 1 tg 1
14 .En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, la medida del arco
ABM es , determinar el área de la región
sombreada.
a) 2sen . cos 2 cos 2 1 b) 3sen . cos cos2 1
c) 2sen . cos 4 cos 2 1 d) 2sen . cos 2 cos 2 1
e) 2sen . cos 4 cos2 3
17 .En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´P = ,
determinar el área de la región triangular A´TP.
a) ctg cos b) ctg cos c) cos ctg
2 2 2
d) ctg cos e) tg cos
2 2
15 .En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mABM es ,
determinar el área de la región sombreada.
a) 1 sen cos . cos b) 1 sen cos . cos
2 1 sen 2 1 sen
c) 1 sen cos .sen d) 1 sen cos .sen
2 sen 1 2 sen 1
e) 1 sen cos .sen
2 sen 1
18 .En la figura mostrada se tiene la
a) 1 b) 1 circunferencia trigonométrica, mAB´M = ,
.sen . cos .tg . csc
2 2 determinar el área de la región sombreada .
c) 1 d) 1
.tg . sec .Ctg . csc
2 2
e) 1
.Ctg . sec
2
16 .En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mABP es ,
determinar el área de la región sombreada.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
a) 1 b) 1 1 Cos
ctg sen 1 ctg 1 sen
2 2 c) Sen d) Sec Csc
c) 1 d) 1
tg 1 sen tg sen 1 1 Cos
2 2 e) Sen
e) 1
2
tg sen 1 3 . Se define el valor absoluto de un número real
"x", como:
x; x 0
19 . En la C.T. mostrada, hallar el área de la región x
x; x 0
sombreada.
y Según esto, reducir:
B
sen3 sen2 sen3 sen2
C=
cos 3 cos 2 cos 3 cos 2
L=
A’ A
x
a) C = 2sen3 b) C = 2sen2 c) C = 2sen3
L = 2cos3 L = -2cos2 L = -2cos2
M
B’ d) C = 2sen3 e) C = 2sen2
a)-sen b)-2sen c)cos d)2cos e)cos L = -2cos3 L = -2cos3
PROBLEMA DE REPASO 4 . Señale la variación de: C = 7sen + 1; IR
a) [-6; 8] b)[-7; 7] c)[-5; 8] d)[-7; 9] e)[-5; 9]
1 . En la C.T. mostrada, hallar el área de la región
sombreada. 5 . Calcular BQ en el círculo trigonométrico
y adjunto en función de "α"
B
M B
Q
A’ A
x O
B’
a)sen b)-cos c) ½sen d)-½sen e)- ½cos a) 1 Sen b) 1 Sen
2(1 Sen ) 2(1 Sen ) 2(1 Cos )
c) d) e)
2 . En la circunferencia trigonométrica, se pide
indicar el valor de OC DB , en función del 6 . En la C.T. mostrada, determine la superficie de
ángulo "α" la región sombreada.
C y B
D M
B
A A’ A
x
O
T
a) Sec Tan b) Sec Tan B’
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
sen2 sen 2 11 . Calcule el área de la región sombreada en
2(sen tan ) sen tan términos de " ".
a) b) y
sen cos (sen tan )
c) 2(sen tan ) d) 2
2
2sen O
A
x
e) sen tan
7 . Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la
a) sen .cos b) sen .cos
expresión:
P = 7senx - 4cosy - 2 sen .cos
Siendo "x" e "y" variables independientes. c) sen .cos d) 2
a)-13 b)9 c)4 d) -4 e)-9
sen .cos
e) 2
8 . Halle el máximo valor de la expresión:
E = cos2x - 4senx
12 . Calcular el área de la región sombreada en
a) 3 b) 5 c)4 d) 2 e) 6
términos de " ".
y 2 2
9 . Calcule las coordenadas del punto P. x +y =1
y
x
x
P
1 1
cos sen cos sen
a) (cos ;sen ) b) (sen ; cos ) A) 2 B) 2
1 1
c) ( cos ; sen ) d) (cos ; sen )
cos sen cos sen
C) 2 D) 2
e) (sen ;cos ) 1
sen cos
E) 2
10 . Calcule el área de la región sombreada en
términos de " ". 13 . Si “A” es el máximo valor y “B” el mínimo valor
C.T.
y de la expresión: M = (3 + senx) (3 - senx)
Calcular: “A + B”
a)2 b)0 c)17 d)9 e)1
x
14 . Si
sen . tg 0
, halle la extensión de la
2cos 1
E
1 expresión: 2cos 1
cos (1 sen )
b) cos (1 sen )
1 1 1
a) 2 ; 1;
a) b) c)
3 3 1;1 3
1
cos (1 sen )
c) cos (1 sen ) d) 2
1 ;1 1 ;1
e) cos (1 sen ) d) 3 e) 3
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
41. Calcule el área de la región sombreada en 15 . Halle el área de la región sombreada:
términos de " ".
y
A
x
C.T.
1 1
(1 sen cos ) (1 sen cos )
a) 2 b) 2
1 1
1
(1 sen cos )
1
(1 sen cos )
.sen .sen
c) 2 d) 2 a) 2 b) 2
1 c) sen d) sen
(1 sen .cos )
e) 2
e) no se puede determinar
1 2
u
09 . Calcule el área de la región sombreada en 03 . Hallar si el área de la región sombreada es 8
términos de " ".
y 2 2
x +y =1
A
O x
1 1
(1 2sen ) (1 2sen )
a) 2 b) 4 a) 6 b) 8 c) 4
1 1
(1 2sen ) (1 2sen )
c) 2 d) 4 e) (1 2sen ) d) 6 e) 3
14 . Halle el área de la región sombreada: 05 . En la figura, calcule la longitud del
segmento PQ
1 1 3
sen (1 sen ) sen .sec
a) 2 b) 2
1 1 2
sen .cos sen . 1 sen a) sec2 -1 b) csc +1 c) sec -1
c) 2 d) 2 d) 1-tg e) 1-cot
1
.cos3 .csc
e) 2
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo

8. 8
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo