Las variables de estado son aquellas que describen completamente el estado de un sistema dinámico en un momento dado. Para transformar ecuaciones diferenciales a ecuaciones de estado, se definen las variables de estado y se describe su dinámica a través de ecuaciones matemáticas. Existen métodos como el procedimiento recursivo y el uso de la transformada Z para resolver ecuaciones de estado y describir la evolución del sistema.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DEVENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN CIUDAD OJEDA
VARIABLES DE ESTADO
Estudiante:
Nestor Gonzalez-#47CI: 26.913.749
Profesor:
DiógenesAlejandro R.

2. Introduccion
Las variables de estado son un conjunto de variables que describen
completamente un sistema en cualquier momento. Una variable de
estado puede representar una derivada de una cantidad que es en
sí misma una variable de estado, permitiendo que la ecuación
diferencial pueda ser expresada como un conjunto de ecuaciones
lineales simultáneas.

3. Variables de Estados
Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto
más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si
se necesitan al menos n variables x1, x2... xn para describir por completo el
comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se
proporciona la entrada para t>=t0 y se especifica el estado inicial t=t0 el
estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son un
conjunto de variables de estado.
Caracteristicas:
-. Las variables de estado pueden tener o no
sentido físico.
-. Las variables de estado pueden o no ser
medibles.
-. Para un mismo sistema dinámico las variables
de estado no son únicas; de hecho, se pueden
definir infinitos conjuntos de variables que sirvan
como variables de estado.

4. Método paraTransformar Ecuaciones
Diferenciales en Ecuaciones de Estados
De acuerdo a Universidad de Antioquia (2010), "A partir de la función de
transferencia, se obtiene la ecuación diferencial, se definen las variables de
estado y se busca su dinámica. como la indica la figura”.
Ejemplo de transformación de ecuaciones diferenciales a estado.
Tomado de https://es.slideshare.net/JesusJimenez144/simulacion-digital-variables-de-estado-por-jesus-jimenez, (2016).

5. Construir las Ecuaciones de Estado
utilizando los Modelos Matemáticos
Sea el número natural n, tal que el término n-ésimo de una sucesión es función
de n, es decir xn = x(n), donde los términos siguientes xn+1, xn+2,…
existen, entonces llamamos Ecuación en Diferencias a toda ecuación que
relaciona al término xn de la sucesión, la sucesión incógnita xn = x(n) y
términos siguientes de la sucesión, representada por la forma:
F(n, xn , xn+1 , xn+2 ,....) = 0
En efecto, las EED son una herramienta fundamental para los Sistemas
Dinámicos, pues siendo una sucesión de datos del experimento a estudiar,
dependiente del tiempo, se trata de establecer ecuaciones que representen la
relación entre distintos estados de la variable a lo largo del tiempo, así surgen
expresiones que representan al fenómeno, es decir: el Modelo Matemático.

6. Representación de los sistemas en
ecuaciones de estados
Una representación de espacios de estados es un
modelo matemático de un sistema físico descrito
mediante un conjunto de entradas, salidas y
variables de estado relacionadas por ecuaciones
diferenciales de cualquier orden en el dominio del
tiempo, que se combinan en una ecuación
diferencial matricial de primer orden. Las variables
de entradas, salidas y estados son
convenientemente expresadas como vectoresː un
vector de entrada, un vector de salida y un vector de
estados; y si el sistema dinámico es lineal e
invariante en el tiempo, las ecuaciones algebraicas
se escriben en forma matricial.

7. Métodos de solución de ecuaciones de
Estados
Iterando las ecuaciones del estado para un sistema LTI a partir de k = 0:
x(1) = Gx(0) + Hu(0)
x(2) = Gx(1) + Hu(1) = G2x(0) + GHu(0) + Hu(1)
x(3) = Gx(2) + Hu(2) = G3x(0) + G2Hu(0) + GHu(1) + Hu(2)
Generalizando para cualquier k > 0:
Procedimiento recursivo:
Obsérvese que x(k) depende del estado inicial y de los valores de la entrada. Por otra parte, la salida se
puede expresar como:

8. Métodos de solución de ecuaciones de
Estados
Considérese la ecuación:
x(k + 1) = Gx(k)
En este caso, al no tener señal de entrada la solución de la ecuación
viene dada por:
x(k) =Ψ(k)x(0)
con:
Ψ(k + 1) = GΨ(k) Ψ(0) = I
es decir:
Ψ(k) = Gk
A Ψ(k) se le llama la matriz de transición de estados y contiene toda
la información
sobre los movimientos libres del sistema descrito por estos
movimientos libres
se refieren a los cambios de estado o evolución del estado del
sistema en ausencia de
entrada.
En términos de Ψ(k) la solución de la ecuación de estados para el
sistema viene dada por:
Matriz de transición de estados:
En términos de Ψ(k) la solución de la ecuación de estados para el sistema viene
dada por:

9. Métodos de solución de ecuaciones de
Estados
Aplicando la transformada Z a ambos lados de la ecuación de estados del sistema se obtiene:
zX(z) − zx(0) = GX(z) + HU(z)
y de ahí:
(zI − G)X(z) = zx(0) + HU(Z)
Premultiplicando por (zI − G)−1:
X(z) = (zI − G)−1zx(0) + (zI − G)−1HU(Z)
y antitransformando:
x(k) = Z−1{(zI − G)−1z}x(0) + Z−1{(zI − G)−1HU(z)}
Esta ecuación la podemos comparar con la solución mediante el procedimiento recursivo indicado en la ecuación, e identificando
términos tenemos que:
Gk = Z−1{(zI − G)−1 z} y
Procedimiento recursivo:
La dificultad de este método consiste en realizar la transformada Z de las expresiones anteriores.