Estos modelos nos permiten calcular el flujo y caída de presión asociados de fluidos compresibles. Así como la velocidad de propagación y hasta la velocidad del sonido en distintos medios.

1. Flujo isotérmico con fricción
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 + 𝛿𝑊 𝑀
̅̅̅̅̅ + 𝛿𝑊𝐹
̅̅̅̅ = 0
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 + 𝛿𝑊 𝑀
̅̅̅̅̅ +
𝑓(𝑑𝐿)𝑣2
2𝐷
= 0
Observaciones:
Sin bomba eliminamos el trabajo mecánico.
Densidad no necesariamente constante al ser un gas
El factor de fricción tenderá a ser constante si estamos en alta turbulencia
La diferencia de presión derivada de la columna de fluido de un gas es mínima
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 +
𝑓(𝑑𝐿)𝑣2
2𝐷
≅ 0
Multiplicamos la ecuación por ρ2
𝜌𝑑𝑃 + 𝜌2
𝑣𝑑𝑣 +
𝑓𝜌2
𝑣2
𝑑𝐿
2𝐷
= 0
∫
𝑃(𝑀𝑀)
𝑅𝑇
𝑑𝑃
𝑃2
𝑃1
+ 𝜌2
𝑣2
∫
𝑑𝑣
𝑣
+
𝑓𝜌2
𝑣2
2𝐷
∫ 𝑑𝐿 = 0
𝐿
0
𝑣2
𝑣1
(𝑀𝑀)
2𝑅𝑇
(𝑃2
2
− 𝑃1
2) + 𝐺2
ln
𝑣2
𝑣1
+
𝑓𝐺2
𝐿
2𝐷
= 0
Recordando que esta ecuación es válida para:
vρ = G = constante
T = constante
Re = DG / μ = constante y por lo tanto f = f (Re, ε/D) = constante
En un sistema de aire acondicionado en la ciudad de Guadalajara, sale aire a 20 °C con una velocidad de
3 m/s. El ducto es de sección rectangular de 20 x 30 cm2
y está construido de lámina galvanizada con
una longitud total de 150 m. Determine la caída de presión que tiene el aire en este ducto considerando
flujo isotérmico.
P1 = ¿? T = 298 K P2 = 640 mmHg, v2 = 3 m/s

2. 𝜌2 =
𝑃(𝑀𝑀)
𝑅𝑇
=
85326 𝑃𝑎(28.8 𝑔/𝑚𝑜𝑙)
8314 𝐽/𝑚𝑜𝑙 𝐾 (298𝐾)
= 1 𝐾𝑔/𝑚3
𝐺1 = 𝐺2 = 𝑣𝜌 = (
3𝑚
𝑠
) (
1𝐾𝑔
𝑚3
) =
3𝐾𝑔
𝑠𝑚2
𝑚̇ = 𝐺𝐴 = (
3𝐾𝑔
𝑠𝑚2
) (0.2𝑥0.3)𝑚2
= 0.18
𝐾𝑔
𝑠
(𝑀𝑀)
2𝑅𝑇
(𝑃2
2
− 𝑃1
2) + 𝐺2
ln
𝑣2
𝑣1
+
𝑓𝐺2
𝐿
2𝐷
= 0
Para poder trabajar con el diagrama de Moody en ductos de sección no circular, se utiliza como
razonable aproximación la siguiente adaptación:
𝑅𝑒 =
(4𝑅ℎ)𝑣𝜌
𝜇
donde la longitud característica se sustituye por 4 veces el radio hidráulico
𝑅ℎ =
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜
Ejemplo:
En una sección circular llena:
𝑅ℎ =
𝜋
4⁄ 𝐷2
𝜋𝐷
=
𝐷
4
sustituyendo este radio hidráulico en el Reynolds, llegaríamos a la misma expresión que utilizamos para
ductos circulares.
𝑅𝑒 =
(4 𝐷
4⁄ )𝑣𝜌
𝜇
=
𝐷𝑣𝜌
𝜇
Para la sección rectangular del ejemplo
𝑅ℎ =
𝑏ℎ
2(𝑏 + ℎ)
=
0.2(0.3)
2(0.2 + 0.3)
= 0.06
Datos adicionales: μaire = 1.85 x 10-5
Pas
𝑅𝑒 =
(4𝑥. 06)(3)
1.85𝑥10−5
= 3.89𝑥104
𝜖
4𝑅ℎ⁄ ≅ 0 𝐿𝑎𝑠 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎𝑠 𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑚á𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑠, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑠𝑎𝑠
f = 0.022

3. con lo que ya se puede regresar a la versión de la ecuación de Bernoulli que estamos utilizando.
Recordar que la longitud característica en esta ecuación también equivale a 4Rh.
(𝑀𝑀)
2𝑅𝑇
(𝑃2
2
− 𝑃1
2) + 𝐺2
ln
𝑣2
𝑣1
+
𝑓𝐺2
𝐿
2𝐷
= 0
(𝑀𝑀)
2𝑅𝑇
(𝑃2
2
− 𝑃1
2) + 𝐺2
ln
𝑣2
𝑣1
+
𝑓𝐺2
𝐿
2(4𝑅ℎ)
= 0
(28,8)
2(8314)298
(853262
− 𝑃1
2) + 32
ln
𝑣2
𝑣1
+
(0.022)32(150)
2(4𝑥. 06)
= 0
¿Qué hacemos con la relación de velocidades?
Recordamos que 𝐺1 = 𝐺2; 𝑣1 𝜌1 = 𝑣2 𝜌2
𝑣2
𝑣1
=
𝜌1
𝜌2
=
𝑃1(𝑀𝑀)
𝑅𝑇
𝑃2(𝑀𝑀)
𝑅𝑇
=
𝑃1
𝑃2
(𝑀𝑀)
2𝑅𝑇
(𝑃2
2
− 𝑃1
2) + 𝐺2
ln
𝑃1
𝑃2
+
𝑓𝐺2
𝐿
2(4𝑅ℎ)
= 0
(28,8)
2(8314)298
(853262
− 𝑃1
2) + 32
ln
𝑃1
85326
+
(0.021)32(150)
2(4𝑥. 06)
= 0
P1 = 85388.4 Pa
Compare el resultado utilizando la ecuación de Bernoulli para fluidos INCOMPRESIBLES.
−
∆𝑃
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 +
𝑣2
2
+ 𝑊 𝑀
̅̅̅̅̅ + 𝑊𝐹
̅̅̅̅ = 0
∆𝑃
1
+
(0.021)32(150)
2(4𝑥. 06)
= 0
P1 = 85388.4 Pa
Ejemplo 2:
T = 300 K; Di = 0.2 m; ε/D = 0; L = 1000 m
v1 = 150 m/s, P1 = 1.5x105
Pa (abs) P2 =?
Probando con la ecuación para líquidos:

4. −
∆𝑃
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 +
𝑣2
2
+ 𝑊 𝑀
̅̅̅̅̅ + 𝑊𝐹
̅̅̅̅ = 0
𝜌1 =
𝑃(𝑀𝑀)
𝑅𝑇
=
1.5𝑥105
𝑃𝑎(28.8 𝑔/𝑚𝑜𝑙)
8314 𝐽/𝑚𝑜𝑙 𝐾 (300 𝐾)
= 1.73 𝐾𝑔/𝑚3
𝐺 = 150(1.73) = 260 𝐾𝑔/𝑠𝑚2
𝑅𝑒 =
. 2(260)
1.85𝑥10−5
= 2.81𝑥106
f = .0098
−
∆𝑃
1.73
+ 0 + 0 + 0 +
. 0098(150)2
1000
2(. 2)
= 0
(−∆𝑃) = 9.54𝑥105
𝑃𝑎
𝑃2 = 1.5𝑥105
− 9.54𝑥105
𝑃𝑎 < 0; ¡ 𝐼𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒!
Conclusión:
Los gases en baja velocidad tienen fricciones pequeñas, que provocan una caída de presión menor y el
cambio en densidad también es menor por lo que se puede considerar razonablemente constante, de
ahí que pueda usarse la ecuación para incompresibles de Bernoulli a bajas velocidades de gas.
Resolviendo con la ecuación correcta:
(𝑀𝑀)
2𝑅𝑇
(𝑃2
2
− 𝑃1
2) + 𝐺2
ln
𝑃1
𝑃2
+
𝑓𝐺2
𝐿
2(𝐷)
= 0
(28.8)
2(8314)300
(𝑃2
2
− 1.5𝑥105) + 2602
ln
1.5𝑥105
𝑃2
+
(. 0098)2602(1000)
2(. 2)
= 0
P2 =

5. Velocidad de propagación –en un ducto de sección constante–
𝑣 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑣 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 + 𝛿𝑊 𝑀
̅̅̅̅̅ + 𝛿𝑊𝐹
̅̅̅̅ = 0
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 ≅ 0 … (𝟏)
En flujo permanente y con área constante, G = constante = vρ
ln 𝐺 = ln 𝑣 + ln 𝜌
𝑑(ln 𝐺) = 0 =
𝑑𝑣
𝑣
+
𝑑𝜌
𝜌
𝑑𝑣 = −𝑣
𝑑𝜌
𝜌
… (𝟐)
Sustituyendo (2) en (1),
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣 {−𝑣
𝑑𝜌
𝜌
} = 0
𝑣 = √
𝑑𝑃
𝑑𝜌
= 𝑣 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑣 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑎 … (𝟑)
Para flujo isotérmico, gas ideal
𝜌 =
𝑃(𝑀𝑀)
𝑅𝑇
𝑃 = 𝜌
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
𝑑𝑃
𝑑𝜌
=
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
Por lo tanto
𝑣 𝑀á𝑥
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑖𝑠𝑜𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜
= √
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
Para flujo adiabático sin fricción (isoentrópico)
𝑃𝑉̅ 𝛾
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

6. 𝑃 (
1
𝜌
)
𝛾
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑘
𝑃 = 𝑘𝜌 𝛾
𝑑𝑃
𝑑𝜌
= 𝑘𝛾𝜌 𝛾−1
= [𝑃 (
1
𝜌
)
𝛾
] 𝛾𝜌 𝛾−1
𝑑𝑃
𝑑𝜌
= 𝛾
𝑃
𝜌
𝑑𝑃
𝑑𝜌
= 𝛾
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
𝑣 𝑀á𝑥
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑜
= √
𝛾𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
Nota: La expresión anterior también es válida para flujo adiabático con fricción. Además también
coincide con la velocidad del sonido en el fluido.
𝑣 𝑆𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 = 𝑐 = √
𝑑𝑃
𝑑𝜌
= √
𝐸
𝜌
Donde E es el Módulo de elasticidad de Young para sólidos
Por lo tanto
𝑐 = √
𝛾𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
De donde se desprende la definición del Mach
𝑀𝑎𝑐ℎ = 𝑀𝑎 ≡
𝑣
𝑐
𝑀𝑎 𝑀á𝑥 = 1 (𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑜)
𝑀𝑎 𝑀á𝑥 =
1
√ 𝛾
(𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜)
Calcule la velocidad del sonido:
a) En aire a 25 °C y 0.84 atm
b) En H2 a 25 °C
c) En agua líquida a 25 °C
Calcule la velocidad máxima:

7. d) Del aire en un ducto de sección constante en flujo isotérmico a 25°C
e) Del aire en un ducto de sección constante en flujo adiabático con T = 25 °C
Soluciones:
a) 𝛾 𝐴𝑖𝑟𝑒 =
𝐶𝑝
𝐶𝑣
=
7
2⁄ 𝑅
5
2⁄ 𝑅
= 1.4 𝑐 = √
𝛾𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
= √
(1.4)(8314)(298)
(28.8)
= 347 𝑚/𝑠
b) 𝛾 𝐻2 = 1.4 𝑐 = √
𝛾𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
= √
(1.4)(8314)(298)
(2)
= 1317 𝑚/𝑠
Fuente: https://sites.google.com/site/princtermo/Home/primera-ley/tablagases
c) E = 2.04x109
Pa 𝑣 𝑆𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜 = √
2.04𝑥109
1000
= 1428
𝑚
𝑠
Fuente: https://es.slideshare.net/pabloto/propiedades-elasticas-de-los-solidos-presentation
d) 𝑣 𝑀á𝑥 = √
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
= √
(8314)(298)
(28.8)
= 298 𝑚/𝑠
e) 𝑣 𝑀á𝑥 = √
𝛾𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
= √
(1.4)(8314)(298)
(28.8)
= 347 𝑚/𝑠