Geometria

21 22COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria GEOMETRÍA 3ro. Año
Secundaria
1. PROYECCIONES: Es conveniente saber dos
conceptos elementales sobre proyecciones :
a)Proyección de un punto sobre una recta: Sea
P un punto fuera de la recta L (Fig. 01). Si se traza
la perpendicular 'PP a la recta dada, se tiene
que, P’ es la proyección de P sobre la recta L.
P'
P
M
M'
Fig. 01
Entonces, la proyección de un punto sobre una
recta (situado fuera de ella), es el pie de la
perpendicular trazada de dicho punto a la recta.
Si el punto está en la recta, su proyección sobre ella
es el mismo punto. Así, en la figura anterior de M
sobre la recta L es M’.
b) Proyección de un segmento sobre una
recta: Sea AB un segmento y MN la recta
(Fig. 02). Si se trazan las perpendiculares se tiene
que 'BBy'AA a la recta dada, se tiene
que 'B'A es la proyección de AB sobre
MN .
Entonces, la proyección de un segmento sobre una
recta es el segmento determinado sobre la
recta por las proyecciones de los extremos del
segmento dado.
A
B
M NA' B'
Fig. 02
Según la posición del segmento a la recta, se tiene:
Si AB'B'A,MN||AB ≅⇒ (Fig.
03)
Si AB'B'A,MN/__AB <⇒
(Figs. 04 y 05)
Si ,MNAB ⊥ entonces la proyección es un
punto (Fig. 06)
M NA' B'
A B
M NA' B'
A
B
M N
A'
B'
A
B
M N
A
B
2. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO.
a) En un triángulo rectángulo, cada cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su proyección
sobre dicha hipotenusa.
Sea el ∆ BAC, recto en A.
m, la proyección del cateto c.
n, la proyección del cateto b.
Luego por semejanza de triángulos
⇒=
n
b
b
a
n.ab 2
=
⇒=
m
c
c
a
m.ac 2
=
B
A
CD
m n
1 2
c
b
a
Aplicación: En una circunferencia, la cuerda
trazada del extremo del diámetro es media
proporcional entre dicho diámetro y su proyección
sobre él. (Fundamentalmente esta afirmación con la
figura respectiva)
b) En un triángulo rectángulo, la altura
correspondiente a la hipotenusa es media
proporcional entre los segmentos que determina
Por semejanza de triángulos:
⇒=
h
m
n
h
n.mh 2
=
B
A
CD
m n
h
Aplicación: En una circunferencia, la
perpendicular trazada desde un punto cualesquiera
al diámetro es media proporcional entre los
segmentos que determina sobre dicho diámetro.
c) TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
222
cba +=
B
A
CD
m n
c
b
a
Ejemplos:
01. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25
cm. si uno de los catetos mide 5 cm. más que el
otro. ¿Cuánto mide cada cateto?
Solución:
En el ∆ ABC se tiene:
x
B
CA x + 5
25
( ) 222
255xx =++ (T. de Pitágoras)
( )( )
15x
015x
015x20x
0300x5x
0600x10x2
62525x10xx
2
2
22
=
=−
=−+
=−+
=−+
=+++
Respuesta: AB = 15 cm. y AC = 20 cm.
Nota: En este problema queda descartada la posibilidad
de que las medidas de los catetos sea negativa,
por lo que no se ha tomado en cuenta el
binomio ( x + 20)
S3GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....”
RELACIONES
MÉTRI
III

Secundaria
02. En el triángulo rectángulo 30° - 60°, el cateto
mayor mide 310 cm. hallar la longitud de la
hipotenusa.
Solución:
B A
C
10 3 2x
x
60°
30°
a) En el ∆ BCA , BC = 2AB
( Postulado del ∆ 30° - 60°)
b) Luego:
( ) ( )
10x
100x
3
300
x
300x3
3100xx4
310xx2
2
2
2
22
222
=
=
=
=
×=−
=−
Respuesta: La longitud de la hipotenusa es 20 cm.
03. En la circunferencia de centro O, se tiene:
y.cm26AB
,ABDM
,AB||CD
=
⊥
12DM = cm.
¿Cuánto miden las cuerdas CD y DB?
M BA R
C D
12
y
O x
26
Solución: Debemos hallar el valor de MB.
a)
MB
DM
DM
AM
=
x
12
12
x26
=
−
( )( )
8x
08x
08x18x
014426x
014426x
144xx26
2
2
2
=
=−
=−−
=−−
=−+−
=−
Luego: CD = MR = 26 - 2 x 8 = 26 - 16 = 10 cm.
b) En el ∆BMD:
42.14y
208y
208y
64144y
812y
2
2
222
=
=
=
+=
+=
Respuesta: CD = 10 cm. y DB = 14.42
Practica de clase
cm. y la proyección de uno de sus catetos sobre la
hipotenusa es 4 cm. Hallar la longitud de dicho
cateto.
02. En un triángulo, un cateto mide 12 cm. y su
proyección sobre la hipotenusa es 8 cm. ¿Cuánto
mide dicha hipotenusa?
cm. y el cateto menor 6 cm. ¿Cuánto mide las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa?
04. La altura trazada del ángulo recto de un triángulo
rectángulo determina sobre la hipotenusa
segmentos de 8 cm. y 6 cm. ¿Cuánto mide dicha
altura?
cm. y la altura trazada del ángulo recto 12 cm..
Hallar la medida de los segmentos determinados
06. De un punto de una circunferencia se traza un
diámetro y una cuerda. Si el diámetro mide 9 cm. y
la cuerda 6 cm. ¿cuánto mide la proyección de esta
cuerda sobre el diámetro?
07. De un punto de una circunferencia se traza una
perpendicular al diámetro. Si los segmentos
determinados sobre dicho diámetro miden 36 y 16
cm. ¿cuánto mide la perpendicular?
08. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 54 y
72 cm. Hallar la longitud de la hipotenusa.
cm. y uno de sus catetos 32 cm. ¿cuánto mide el
otro cateto?
10. La altura de un muro es 3.20 m. Una escalera de
4.20 m. de longitud se apoya sobre el muro de
modo que sus extremos superiores coinciden. ¿cuál
es la distancia que hay del pie del muro al pie de la
escalera? (Con aproximación a centésimas)
11. Un poste de luz de 8 m. de altura se afirma con un
cable que ejerce una fuerza contraria al viento. Si el
poste se sujeta a partir de 0.80 m de su extremo
superior y la distancia del pie del poste al pie del
cable es 4 m, ¿cuánto mide el cable? (Con
aproximación a centésimas)
12. Hallar la longitud la altura de un triángulo
equilátero de 16 cm. de lado. (Con aproximación a
centésimas)
13. La longitud de uno de los lados iguales de un
triángulo isósceles mide 15 cm. Si la base es 4/5 de
este lado. ¿cuánto mide cada cateto?
14. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles
mide 210 cm. ¿cuánto mide cada cateto?
15. La altura de un triángulo equilátero es 33
cm. ¿Cuánto mide cada cateto?
16. La diagonal de un cuadrado mide 24 cm.
¿Cuánto mide su perímetro?
17. La base de un rectángulo mide el doble de su altura.
Si su diagonal mide 55 m. ¿Cuánto mide su
perímetro?
18. En cada una de las figuras siguientes, halle los
valores numéricos de x, y. (Opere con radicales si
fuera necesario)
y x
a°
2a°90°
a) b)
y
x
9
12
90°
c) d)
x
y
4
90°
a° a°
15
a° a°
135° 135°
y
x
9
19. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 5
cm. más que el menor. Si la hipotenusa mide 25
cm. ¿Cuánto mide cada cateto?

Secundaria
20. Las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo están en progresión aritmética cuya
razón es 3 cm. ¿cuánto mide cada lado?
Problemas Propuestos 01
cm. más que el cateto menor. Si el cateto mayor
mide su perímetro?
a) 40 cm. b) 48 cm. c) 34 cm.
d) 49 cm. e) N.a.
02. En un triángulo rectángulo la diferencia de los
catetos es 3 cm. Si la longitud de la hipotenusa es
15 cm. ¿cuánto mide cada cateto?
a) 12 y 9 cm. b) 12 y 10 cm. c) 10 y 9 cm.
d) 12 y 11 cm. e) N.a.
03. El perímetro de un rectángulo mide 112 cm. y la
diagonal 40 cm. Hallar sus dimensiones.
a) 20 y 22 cm. b) 22 y 24 cm. c) 24 y 32 cm.
d) 30 y 40 cm. e) N.a.
04. En un trapecio rectángulo, el lado perpendicular a
las bases mide 9 cm. y las bases 30 cm. y 18 cm.
Hallar la longitud del cuarto lado.
a) 12 cm b) 14 cm c) 14, 5 cm
d) 15 cm e) N.a.
05. En un trapecio isósceles, los lados no paralelos
forman con la base mayor ángulos de 45° i miden
24 cm. cada uno. Si la base menor mide 56
cm, ¿cuánto mide la base mayor?
a) 64 cm. b) 70 cm. c) 38 cm.
d) 42 cm. e) N.a.
06. Las diagonales de un rombo miden 56 m y 42
m. Hallar su perímetro.
a) 40 m b) 70 m c) 140 m
d) 180 m e) N.a.
07. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la
relación de 3 a 4. Si la longitud de la hipotenusa
mide 25 cm. Calcular la longitud del cateto mayor
a) 10 cm. b) 20 cm c) 22 cm
d) 28 cm e) N.a.
08. La altura de una pared es de 7 m. Una escalera de
25 m de longitud se apoya sobre la pared de modo
que sus extremos superiores coinciden ¿Cuál es la
distancia que hay del pie de la pared al pie de la
escalera?
a) 24 m b) 22 m c) 21 cm
d) 18 m e) 15 m
09. La hipotenusa se un triángulo rectángulo isósceles
mide 220 cm. Calcular la longitud de cada
cateto.
a) 18 cm. b) 19 cm c) 20 cm
d) 21 cm e) 22 cm
10. Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado
mide 215 cm.
a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm
d) 15 cm e) 30 cm
11. Calcular el lado de un cuadrado, si se sabe que la
suma de su diagonal con su lado mide 16.8994 cm.
a) 7 cm b) 8 cm c) 9 cm
d) 10 cm e) 11 cm.
12. Calcular el lado de un triángulo equilátero cuya
altura mide 315 cm.
a) 28 cm. b) 30 cm c) 40 cm
d) 38 cm e) 41 cm.
13. Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo
lado mide 48 cm.
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 8 cm e) 10 cm.
14. Desde un punto P se trazan una recta perpendicular
PC y dos oblicuas AP y PB a un mismo lado de la
perpendicular. Si AB = 26 cm., AC = 9 cm. y PA =
15 cm. Calcular la longitud de la oblicua PB.
a) 31 cm b) 33 cm c) 35 cm
d) 37 cm e) 40 cm
15. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo está
en relación de 1 es a 2. Si la longitud del cateto
menor mide 315 cm. Calcular la longitud
del cateto mayor.
a) 30 cm b) 35 cm c) 40 cm
d) 45 cm e) N.a.
16. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, hallar
a, si b = m2
- 1 y c= m2
+ 1
a) m b) m2
c) m + 1
d) 2 m e) N.a.
17. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, hallar
c, si a = n2
- 1 y b = 2n.
a) ( n2
- 1 ) b) n + 1 c) ( n - 1 )
d) n2
+ 1 e) N.a.
cm. y uno de los catetos 9 cm. Calcular la altura
correspondiente a la hipotenusa.
a) 8, 78 cm b) 9, 56 cm c) 10, 34 cm
d) 6, 24 cm e) N.a.
19. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden
34 cm. y la altura del triángulo 30 cm. Calcular la
longitud de la base.
a) 30 cm. b) 32 cm c) 40 cm
d) 38 cm e) N.a.
20. La base de un triángulo es doble de su altura. Si su
diagonal mide 510 m. Calcular su
perímetro.
a) 40 m b) 50 m c) 60 m
d) 70 m e) N.a.
Tarea Domiciliaria
01. Calcular la base de un rectángulo cuya diagonal
mide 295 m y su altura es igual a 2/5 de la
base.
02. La base de un triángulo isósceles mide 34.6420
m. Los ángulos de la base mide 30°. Calcular la
altura.
03. El perímetro de un rectángulo mide 82 m y la
diagonal 29 m. Calcular el lado menor.
04. Hallar las diagonales de un rombo cuya suma es 42
m y uno de sus lados mide 15 m.
05. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo
sabiendo que un cateto es 8 cm. menos que la
hipotenusa y 1 cm. más que el otro cateto.
cm y la suma de sus catetos 34 cm. Calcular la
longitud del cateto mayor.
07. Los lados de un triángulo miden 11 cm., 18 cm, y
20 cm ¿cuántos centímetros debe quitarse a cada
lado para que resulte un triángulo rectángulo?
08. Desde un punto exterior se trazan 2 oblicuas a una
recta, que miden 7 y 24 cm. Si la distancia entre los
pies de dichas oblicuas es de 25 cm. Calcular la
medida de la perpendicular bajada desde el punto
exterior sobre la recta.
09. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 56
cm. la altura bajada de la hipotenusa mide 6.72 m.
Calcular la longitud de los catetos.
10. Calcular el cateto menor de un triángulo rectángulo,
cuyo perímetro mide 20 cm. y la suma de sus
catetos 11.5 cm.
1. POLÍGONOS INSCRITOS Y
CIRCUNSCRITOS EN UNA
CIRCUNFERENCIA:
POLÍGONOS
INS

Secundaria
Un polígono se llama inscrito en una
circunferencia si todos sus vértices son puntos de
dicha circunferencia, tal como el triángulo ABC de
la figura 01.
Un polígono se llama circunscrito en una
circunferencia si todos sus lados son tangentes a
dicha circunferencia, tal como el cuadrilátero
ABCD de la figura 02.
B
C
A o
Fig. 01
o
A
B C
D
Fig. 02
Cuando el polígono está inscrito, la circunferencia
se llama circunscrita; cuando el polígono esta
circunscrito, la circunferencia se llama inscrita.
Saber que:
a) Todo triángulo es siempre inscriptible en una
circunferencia; pero un cuadrilátero para ser tal,
debe tener sus ángulos opuestos suplementarios.
b) Todo polígono regular se puede inscribir y
circunscribir en una circunferencia.
c) Los centros de la circunferencia inscrita y
circunscrita a un polígono regular coinciden; y
además, es el centro del polígono.
2. POLÍGONO REGULAR INSCRITO:
Sabemos que un polígono es regular si sus lados
son congruentes.
r
r
72°
r
A
B
C
DE
ap
o
M
Fig. 03
En la figura 03, el pentágono ABCDE es un
polígono regular inscrito.
En un polígono regular inscrito, el centro y el
radio del polígono son el centro y el radio de la
circunferencia.
Apotema de un polígono regular inscrito es el
segmento perpendicular trazada del centro de la
circunferencia al punto medio de un lado, tal como
OM .
Además, en todo polígono regular inscrito los lados
de un polígono son cuerdas congruentes de la
circunferencia; por consiguiente, los arcos, así
como los ángulos centrales son congruentes.
Cualquier polígono regular puede inscribirse en una
circunferencia; pero, solamente estudiaremos: el
cuadrado, el exágono regular y el triángulo
equilátero.
Si r es el radio de la circunferencia c, l el lado del
polígono ap su apotema, tenemos:
I. Cuadrado Inscrito.
a) Costrucción:
1) Se trazan dos diámetros perpendiculares de la
circunferencia.
2) Se trazan las cuerdas que unen los extremos de
los diámetros.
Así obtenemos el cuadrado inscrito ABCD (Fig.
04)
A
B
C
D
ap
r
r
l l
o
M
Fig. 04
b) Cálculo del lado en función del radio:
En el ∆ AOB (fig. 04), se tiene:
l 2
= r2
+ r2
(Teorema de pitágoras)
l 2
= 2r2
l = 2r
c) Cálculo del apotema en función del
radio:
En el ∆ BCD (Fig. 04), O y M son puntos medio de
dos lados, entonces
2
BC
OM =
Luego:
2
ap
l
=
2
2r
ap =
II. Hexágono regular inscrito
a) Construcción:
1) Con una longitud igual al radio, se divide la
circunferencia en 6 partes.
2) Se trazan consecutivamente las cuerdas que
unen estos puntos de división.
Así, se obtiene el hexágono inscrito ABCDEF
(Fig. 05)
ap
F EM
A D
CB
o
rl
Fig. 05
b) Cálculo del lado en función del radio:
De la simple construcción se deduce que:
= r
c) Cálculo del apotema en función del radio:
En el ∆ FMO (Fig. 05) se tiene:
( )
2
3r
ap
4
3
4
rr4
4
r
r
2
r
rap
Pitágoras.T
2
rap
222
2
2
22
2
22
=
=
−
=−=





−=
=





−=
III. Triángulo equilátero inscrito:
a) Construcción:
1) Con una longitud igual al radio, se divide la
circunferencia en 6 partes.
2) Se trazan las cuerdas que unen los puntos de
división no consecutivos.
Así, se obtiene el triángulo equilátero inscrito
ABC.
l

Secundaria
ap
o
D
B
C
A
M
l
r
Fig. 06
b) Cálculo del lado del radio:
En el ∆ CBD (Fig. 06) se tiene:
( )
( )
3r
r3rr4rr2
)Pitágorasde.T(rCD
222222
222
=
=−=−=
−=
c) Cálculo del apotema en función del radio:
En el ∆ CBD ( Fig. 06 ), O y M son puntos medios
de dos lados, entonces
2
r
OM =
Luego:
2
r
ap =
Ejemplo 01: La apotema de un cuadrado inscrito en
una circunferencia mide 2 cm. ¿cuánto mide su
perímetro?
Solución: Sabemos que:
2
2r
ap =
De donde:
22
2
24
2
4
r
2
2r
2
===
=
Además: l= 2r
De donde: l= 42.22 =
Luego: p = 4l= 4 x 4 = 16 cm.
Respuesta: El perímetro del cuadrado mide 16 cm.
3. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA:
Sabemos que un segmento puede medirse
utilizando un instrumento como es la regla
graduada; en cambio, tratándose de una curva y en
particular de una circunferencia, no es posible esta
medición mediante un instrumento rectilíneo, es
decir, no se puede establecer una razón entre la
curva y el segmento. Por tal razón, para calcular la
longitud de la circunferencia emplearemos otro
procedimiento geométrico.
o P3
P2
P8
P7
P6
P5
P1
P4
Fig. 07
Supongamos que los lados de un cuadrado inscrito
se dupliquen sucesivamente ( Fig. 07 ), así
obtendremos polígonos de 8, 16, 32, 64, ..... lados y
cuyo perímetro es un número real que se aproxima
a la longitud C de ka circunferencia como límite.
Por consiguiente, si p es el perímetro de un
polígono regular de n lados, tenemos:
Cp  →
Se lee: “p se aproxima a Como límite”.
Luego, podemos decir:
La longitud de una circunferencia es el límite de los
perímetros de los polígonos regulares inscritos.
TEOREMA: La razón de la longitud de una
circunferencia y su diámetro, es la misma para
todas las circunferencias.
Sean C y C’ las longitudes de dos circunferencias
de radios r y r’.
r
r '
Fig. 08
Luego:
'r2
'C
r2
C
=
La razón
r2
C
, que es la suma para todas las
circunferencias, es un número que se llama “pi” y
cuyo símbolo es π.
De modo que: Si: π=
r2
C
⇒ r2C π=
Esta fórmula expresa la longitud de la
circunferencia.
π es un número irracional cuyas algunas
aproximaciones son: 3, 3.14, 3.1416,
3.141592, .........
Para su aplicación usaremos: π = 3.14
Ejemplo 01:
• El apotema de un hexágono inscrito en una
circunferencia mide 35 cm. ¿Cuánto mide el
perímetro del hexágono y la longitud de la
circunferencia?
Solución:
Sabemos que:
2
3r
ap =
De donde:
2
3r
35 =
.cm10
3
352
r =
×
=
Luego: p = 6 l = 6 x 10 = 60 cm.
C = 2π r= 2 x 3.14 x 10 = 62.8 cm.
Respuesta:
El perímetro del hexágono mide 60 cm y la
longitud de la circunferencia 62.8 cm.
Práctica de clase
01. ¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado inscrito
en una circunferencia de 8 cm. de radio?
02. El apotema de un cuadrado inscrito mide 2.82
cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia
circunscrita?
03. ¿Cuánto mide el apotema de un exágono regular
inscrito en una circunferencia de 16 cm. de
diámetro?
04. El apotema de un exágono regular mide 3 cm.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia
circunscrito.
05. El lado de un exágono regular inscrito mide 12
cm. ¿Cuánto mide el apotema del triángulo
equilátero inscrito en la misma circunferenci?
l
l
l

Secundaria
06. ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia
circunscrita a un triángulo equilátero de 4.5 cm de
apotema?
07. El lado de un cuadrado inscrito mide 12 cm.
¿Cuánto mide su apotema?
08. ¿Cuánto mide el lado y el apotema de un cuadrado
inscrito en una circunferencia de 12 cm, de radio?
09. El apotema de un cuadrado inscrito mide 22, 56
cm. ¿Cuánto mide el radio de circunferencia
circunscrita?
10. ¿Cuánto mide el lado de un triángulo equilátero
inscrito en una circunferencia de 62, 8 cm. de
longitud?
11. El perímetro de un triángulo equilátero es 108 cm.
¿Cuánto mide su apotema?
12. El perímetro de un exágono regular inscrito es 48
cm. ¿Cuánto mide su radio u apotema?
13. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita a
un hexágono regular de 96 cm. de perímetro.
14. La longitud de una circunferencia mide 31.
40 cm. ¿Cuánto mide su radio?
15. La apotema de un triángulo equilátero inscrito mide
3 cm. Hallar la longitud de la circunferencia
circunscrita.
Problemas Propuestos
01. El lado de un triángulo equilátero inscrito mide 18
cm. ¿Cuánto mide su apotema?
a) 33 cm b) 32 cm c) 4 cm
d) 2 cm, e) N.a.
02. Cuánto mide el lado de un hexágono regular
inscrito cuyo apotema mide 6 cm.?
a) 32 cm b) 33 cm c) 34 cm
d) 35 d) N.a.
03. El apotema de un triángulo equilátero mide 3.
Calcular el valor del lado
a) 34 cm b) 35 cm c) 5 cm.
d) 36 cm e) N.a.
04. El lado de un cuadrado inscrito mide 14.1 cm.
Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita.
a) 62,8 cm b) 71,4 cm c) 40,3 cm
d) 20,2 cm e) 10,5 cm
05. El perímetro de un hexágono regular inscrito mide
48 cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia
circunscrita?
a) 40 cm b) 50,24 cm c) 30,10 cm
d) 48,3 cm e) N.a.
06. La longitud de una circunferencia es 18.84 cm
¿Cuánto mide el lado del triángulo equilátero
inscrito de dicha circunferencia?
a) 2 b) 3 c) 5,19
d) 6 e) 7,2
07. Hallar la longitud del apotema de un cuadrado
inscrito en una circunferencia de 50.24 cm. de
longitud?
a) 5,64 b) 3,12 c) 3,28
d) 1,12 e) N.a.
08. ¿Cuánto mide el apotema de un hexágono regular
inscrito en una circunferencia de 1,256 de longitud?
a) 12,3 cm b) 17,3 cm c) 10,3 cm
d) 20,8 cm e) N.a.
09. Un arco de 36° pertenece a una circunferencia de 2
m de radio. Hallar la longitud de arco
a) 1,256 cm b) 2,13 c) 3,12 cm
d) 5,10 cm e) N.a.
10. En una circunferencia de 6 m de radio, se
determina un arco de 48° 36’ ¿cuál es su longitud?
a) 5,08 m b) 3,12 m c) 2,25 m
d) 1,12 m e) N.a.
11. A un ángulo central de 60° le corresponde un arco
de 12.56 cm. de longitud ¿cuánto mide el radio de
la circunferencia que contiene a dicho arco?
a) 10 cm b) 12 cm c) 15 cm
d) 18 cm e) N.a.
12. La longitud de una circunferencia es 6.28 m.
¿cuántos grados tiene el arco que pertenece a dicha
circunferencia y cuya longitud es 0.628 m?
a) 60° b) 30° c) 45°
d) 28° e) N.a.
13. Un niño que recorre el borde de la región circular
de un coliseo de gallos da 120 pasos de 31.4 cm
cada uno ¿cuánto mide el diámetro del coliseo?
a) 8 m b) 10 m c) 12 m
d) 15 m e) N.a.
14. El radio del arco de una bicicleta mide 32 cm y el
diámetro de la goma 4 cm. ¿Cuánto ha recorrido un
ciclista cuando la llanta delantera de su máquina ha
dado 1000 vueltas?
a) 2,260 Km b) 2,1604 Km e) 3,420 Km
d) 2,148 Km e) N.a.
15. El diámetro de una de las llantas traseras de un
tractor mide 1.20 m ¿cuántas vueltas dará dicha
llanta para recorrer el largo de un terreno que mide
376.80 m?
a) 20 v b) 12 v c) 100 v
d) 28 v e) N.a.
Tarea Domiciliaria
01. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado circunscrito a
una circunferencia de 15 cm. de radio?
02. El lado de un triángulo equilátero mide 38
cm. hallar la medida del radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
03. Calcular el valor de la medida del apotema de un
hexágono regular inscrito en una circunferencia de
18 cm de radio?
04. La medida de un lado de un triángulo equilátero es
18 cm. Hallar el radio de una circunferencia
circunscrita?
05. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una
circunferencia que a su vez está inscrita en un
cuadrado de 64 cm2
. de área.
I. AREA DEL TRIÁNGULO
A. Área de un triángulo rectángulo:
El área de un triángulo es igual a la mitad del
producto de sus catetos.
ÁREAS

Secundaria
c
P
Q
R
b
bc
2A =
II. EXPRESIONES DEL ATREA DE UN TRIÁNGULO
A. En función de sus lados (Fórmula de Herón)
Q
RP
a
b
c
A = p (p - a) (p - b) ( p - c )
donde “p” es el semiperímetro del triángulo.
B. En función del radio “r” de la
circunferencia inscrita:
Q
RP
a
b
c
A = (a + b + c )
r
2
A = pr
C. En función del radio (R) de la
circunferencia circunscrita:
Q
RP a
b
c
A = a b c
R
4 R
D. En función del radio (r) de una de las
circunferencias ex-inscrita:
a
c
b
Q
P
Q
ra
A = r ( p - a )a
Análogamente, tomando en cuenta las obras
circunferenciales ex - inscritas, se verifica que:
E. Área del triángulo equilátero:
L
L
L
h
En función del lado (L) :
4
3L
A
2
=
En función de la altura (h):
3
3h
A
2
=
III. RELACIONES DE AREAS DE TRIÁNGULOS:
Teorema 1: Las áreas de dos triángulos que tienen
la misma altura. Son proporcionales a sus
respectivas bases.
Teorema 2: Las áreas de dos triángulos que tienen
la misma base son proporcionales a sus respectivas
alturas.
Teorema 3: Las áreas de dos triángulos cuales
quiera son proporcionales a los productos de sus
bases por sus respectivas alturas.
Teorema 4: Si dos triángulos son semejantes, sus
áreas son proporcionales a los cuadrados de
cualquiera de sus elementos homólogos o
perímetros.
Practica de Clase
01. Hallar el área de la figura, si
17AC,8BH ==
B H C
A
a) 17 b) 8 c) 2
d) 3 e) 6
02. Hallar 21AC,BH = y el área del
triángulo es igual a 42.
B H C
A
a) 4b) 34 c) 18
d) 68 e) N.a.
03. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si
8BAy7BC ==
BC
A
a) 25 b) 19 c)28
d) 56 e) N.a.
04. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC si
3ACy5AB ==
B
C
A
a) 8b) 15 c) 5
d) 6 e) 12
05. Hallar el área de un triángulo equilátero, si el lado
es 32
a) 33 b) 34 c) 3
d) 32 e) N.a.
06. Hallar el área de un triángulo equilátero, si la altura
del triángulo es 5
a)
13
35 b)
3
35 c)
13
3
d)
3
3 e) N.a.
07. Hallar el área del triángulo ABC
B
CA
30°
18
16

Secundaria
a) 73 b) 75 c) 74
d) 72 e) N.a.
08. Hallar el área del triángulo PQR
P R
Q
53°
15
8
a) 20 b) 40 c) 60
d) 70 e) 48
09. Hallar el área del triángulo PQN es 14, además N
es punto medio de PR
a) 14 b) 7 c) 28
d) 15 e) 16
10. Hallar la altura del triángulo, si el área del triángulo
ABM es 2 veces el área del triángulo MBC y el
área de ABC es 24.
A
x
C
B
8
a) 8b) 4 c) 3
d) 5 e) 7
11. Hallar el área sombrada:
A
42
C
B
D7 5
a) 15 b) 30 c) 21
d) 42 e) N.a.
12. Hallar el área total del triángulo ABC
A C
B
48
D2 3
a) 48 b) 24 c) 32
d) 80 e) N.a.
13. Los lados de un triángulo son 11, 12, 13 cm. Hallar
su área.
a) 1056 b) 1053 c)
1052
d) 105 e) N.a.
14. Los lados de un triángulo son 6a, 9a, 11a y su área
es igual a 18218 . Hallar “a + 2”
a) 3b) 5 c) 6
d) 4 e) N.a.
15. Hallar el área del triángulo ABC si 4AC = y
°=
∩
120BAC y ACAB =
120°
A
B
C
4
a) 38 b) 34 c) 36
d) 32 e) N.a.
16. Dado un triángulo obtusángulo ABC,
15ABy37C16A =°=°=

.
Hallar el área de dicho triángulo.
a) 24 b) 84 c) 78
d) 42 e) 56
17. En la figura hallar el área del triángulo FAH si
16JH9FH ==
F
A
JH
a) 48 b) 52 c) 50
d) 51 e) 54
18. En un triángulo ABC, recto en B la proyecciones
ortogonales de los lados BCyAB sobre
el lado AC son 49/25 y 576/26 . Hallar el área
del triángulo.
a) 74 b) 82 c) 84
d) 86 e) 72
19. El área del triángulo ABC es 28 y
1DH3BH = . Hallar el área del triángulo
ADC.
7
H
A
B
D
H1C
a) 28 b) 28/3 c) 23/8
d) 14 e) N.a.
20. El área del triángulo ABC es 20 y
1DHveces5esBH . Hallar la
suma de las áreas de los triángulos ABC y ADC.
5
HA
B
D
H1C
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
21. Se tiene un triángulo equilátero de 10 m. de lado, se
unen los puntos medios de sus lados y se forma un
triángulo cuya área es:
a) 325 b) 2/325
c) 4/325 d) 25
e) 3
22. El área del triángulo formado al unir los puntos
medios de los lados de un triángulo es 7. Hallar el
área del triángulo original.
a) 14 b) 28 c) 7
d) 21 e) N.a.
23. Hallar el área del rombo
37°
10 2
a) 100 b) 96 c) 193
d) 192 e) 97
24. Hallar el área del rombo si su área

Secundaria
53°
a) 15 b) 12 c) 9
d) 17 e) N.a.
25. Hallar el área sombreada, si el área del triángulo es
18.
3a 2a a
a) 16 b) 14 c) 12
d) 15 e) 17
26. Hallar el área sombreada , si el área del triángulo es
igual a 60.
3a 2a a4a5a
27.Sean 21 P//P ; además la distancia entre ellos
es 5m y m12AB = . Hallar la suma de las
áreas de triángulos ABC, ABD, ABE, ABF, ABG.
A B
L
L1
2
"n" triángulos
a) 80 b) n c) 40n
d) 80 d) 40
29. Si ABCD es un cuadrado de lado 4. Hallar el área
sombreada, si P, Q, R, S son puntos medios.
S
R
D C
A Q B
P
a) 2 b) 4 c) 6
d) 2 e) N.a.
30. Si ABCD es un rectángulo de largo igual a 10 y
ancho igual a 8. Hallar el área sombreada si P, Q,
R, S son puntos medios.
S
R
D C
A Q B
P
a) 20 b) 40 c) 10
d) 30 e) 15
Problemas Propuestos
01. En un triángulo isósceles ABC, con AB = BC, la
altura que parte de B mide 8 m. y el perímetro es
32 m. Hallar el área del triángulo.
a) 48 m2
b) 20 m2
c) 15 m2
d) 50 m2
e) N.a.
02. Si
6DC;10AC;BCAB ===
. Hallar el área del triángulo ABC.
B
D
CA
a) 36/5 b) 100/2 c) 24/5
d) 12/5 e) 94/5
03. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 8, M y
N son puntos medio. Hallar el área del cuadrilátero
PBCD
M
A N D
B C
P
a)
3
664
b) 364 c)
3
632
d)
3
635
e) N.a.
04. En la figura, hallar la relación entre el área del
cuadrado y el cuadrilátero BCDR, si el lado del
cuadrado es 10, (P, Q son puntos medios)
R
A Q D
B C
P
a) 3/2 b) 3 c) 1
d) 1/2 e) 1/3
05. Hallar el área del cuadrilátero AMPN si la figura es
un cuadrado de lado 6M y N son puntos medios.
M
A N D
B C
P
a) 3 b) 6 c) 12
d) 9 e) 15
06. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si
10TC,7AT ==
A
B
C
T
a) 60 b) 70 c) 50
d) 40 e) N.a.

Secundaria
07. En un triángulo recto en N, hallar el área de dicho
triángulo. Si: 21QO,4MP ==
M
N
Q
T
P
O
a) 21 b) 84 c) 74
d) 68 e) 42
08. Hallar el área del triángulo.
A
B
C
T3m 5m
a) 10m2
b) 15m2
c) 20m2
d) 30m2
e) N.a.
09. Dos lados de un triángulo miden 9 y 13 si una de
las alturas de dicho triángulo mide 12 cm. Hallar el
área de dicho triángulo.
a) 120 cm2
b) 140 cm2
c) 150 cm2
d) 180 cm2
e) N.a.
10. Dos lados de un triángulo miden 15 y 7 cm. Si una
de las alturas de dicho triángulo mide 8 cm. Hallar
el área de dicho triángulo.
a) 56 cm2
b) 28 cm2
c) 15 cm2
d) 75 cm2
e) N.a.
11. Dos lados de un triángulo miden 5 y 12 cm. ; el
ángulo comprendido entre los lados es igual a
150° . Hallar el área del triángulo.
a) 30 cm2
b) 12 cm2
c) 35 cm2
d) 15 cm2
e) N.a.
12. En un triángulo ABC: 10AC = y la distancia
del punto medio de ACaBC es 4.
Calcular el área de la región triángular ABC.
a) 40 b) 30 c) 100
d) 10 e) N.a.
13. Calcular el área de la región triangular regular
sabiendo que ésta es numéricamente igual a la
longitud de su altura.
a) 2 b) 33 c) 3
d) 23 e) N.a.
14. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la
altura relativa a la hipotenusa mide 2,4 m. Hallar el
área de dicho triángulo.
a) 4 m2
b) 4,8 m2
c) 6 m2
d) 6,4 m2
e) 7,2 m2
15. Por el incentro “I”de un triángulo rectángulo ABC
( m ∡B = 90° ) se trazan I M ⊥ AI ( M en
AC ), BCMN ⊥ (N en BC ).
Calcular el área de la región triangular INC; si
m4BCym3AB ==
a) 1 m2
b) 2 m2
c) 3 m2
d) 1,5 m2
e) 2,5 m2
Tarea Domiciliaria
01. En un triángulo rectángulo ABC: m ∡B = 90°, se
traza una altura BH . Si AH = 2 y HC = 8;
Calcular el área de la región ABC.
02. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el
radio de la circunferencia inscrita mide 4 y m ∡
C = 37°. Calcular el área de la región ABC.
a) 96 b) 48 c) 120
d) 84 e) N.a.
03. Las medidas de los lados de un triángulo son 13, 14
y 15. Calcular el área de la región triangular
correspondiente.
a) 48 b) 56 c) 80
d) 84 e) N.a.
04. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior
BD si el área de la región ABC es 64 y
BC3AB5 = . Calcular el área de la región
ABD.
a) 20 b) 24 c) 30
d) 32 e) N.a.
05. En un triángulo ABC: AC = 8, calcular la longitud
del segmento MN ( M ∈ AB y N ∈ BC
) para que las regiones MBN y AMNC sean
equivalentes; además .AC//MN
a) 4 b) 22 c) 24
d) 26 e) N.a.
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03
01. B A A
02. A C B
03. C D E
04. D A A
05. A B B
06. C C B
07. B A B
08. A B B
09. C A A
10. E A B
11. A B D
12. B A A
13. C C C
14. D A C
15. D C A
16. D
17. D
18. A
19. B
20. C

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