Este documento presenta dos distribuciones de probabilidad continua: la distribución gamma y la distribución exponencial. Describe sus funciones de densidad de probabilidad, estadísticos, propiedades y aplicaciones. También proporciona ejemplos numéricos para calcular probabilidades usando estas distribuciones.

1. LECCIÓN 5:
OTRAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
•Distribución Gamma
•Distribución Exponencial

2. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Primeramente definimos la función gamma;
Siendo p un número real positivo no necesariamente entero.
Γ(p)=(p-1)!
∫
∞
−−
>=
0
1
0pdxex)p( xp
Γ
A partir de la función gamma definimos la distribución de probabilidad
gamma como: Sea una variable aleatoria X ~ Gamma(p,a)
{ } 0xaxexp
)p(
xa
)x(f
pp
>−=
−
Γ
1
Función de densidad de probabilidad, parámetros de forma p y
de escala a.

3. DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma se suele utilizar en:
•Intervalos de tiempos entre dos fallos de un motor,
•Intervalos de tiempos entre dos llegadas de automóviles a una
gasolinera,
•Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc.
Estadísticos:
Media= p/a
Varianza= p/a2
Propiedad reproductiva
Si x1,...,xn son n variables aleatorias independ.
Distribuidas según una Γ(pi,a)
La nueva variable aleatoria Y= x1,...,xn
sigue una distribución Γ(p1....+ pn ,a)

4. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Propiedad
Si x1,...,xn son n variables aleatorias independientes distribuidas
según una N(0,1).
La nueva variable aleatoria Y= x2
1,...,x2
n
sigue una distribución Γ(n/2,1/2)
Cuando el parámetro p es entero, a la distribución Γ(p,a) se le
conoce con el nombre de distribución Erlang

5. El tiempo de duración X de una pieza de un cierto equipo se
distribuye según una ley gamma de parámetros p=3 y a=2.
Determinar:
a) Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas,
b) Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas.

6. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Caso particular de la distribución gamma cuando p=1, Γ(1,a)
Aplicación (caso equivalente continua de la dist. Geométrica)
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado
evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde
cualquier instante dado t hasta que ocurra el evento en el instante
t’ no depende del tiempo transcurrido anteriormente. NO TIENE
MEMORIA.
Sea una variable aleatoria X∼Exp(λ)

7. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Función de distribución
Media, Varianza

8. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de
marcapasos sigue una distribución exponencial con media 16 años.
¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha
implantado un marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20
años? Si el marcapasos lleva funcionado correctamente 5 años en un
paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de
25 años?