conjuntos

1. TEORIA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y
relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí
mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.1
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las
herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta
que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la
matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar,
en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de
propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de
un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en
la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a
investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido
por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las
paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos
de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a
las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
 Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que
está por lo menos en uno de ellos.
 Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos
los elementos comunes de A y B.
 Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los
elementos de A que no pertenecen a B.
 Complemento. Elcomplemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los
elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
 Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con
todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

2.  Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que
contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo
elemento b pertenece a B.
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son
verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p Ù q, y se lee "p y q".
p q p Ù q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos
una de las dos p o q es verdadera,
y falsa en caso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q".
p q p Ú q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando
una y sólo una de las dos p o q es verdadera,
y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee "p o
q pero no ambas". Se usa muy poco.
p q p Ú q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando
la condición suficiente p es verdadera y la
condición necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p
entonces q".
p q p Þ q
1 1 1
1 0 0

3. 0 1 1
0 0 1
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q
tienen el mismo valor de verdad,
y falsa en caso contrario. Se escribe p Û q, y se lee "si y sólo
si p entonces q".
p q p Û q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es
siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es
siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ù p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor
de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es
falsa".
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de
verdad en función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p Û q es
una tautología. Por ejemplo, las proposiciones
p Þ q
y
q' Þ p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los
razonamientos por reducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación
con la teoría de conjuntos.