U5 t1 rectas paralelas simetria y volumen

1. Bloque 2. Rectas paralelas, simetría y volumen
Tema 1. Clasificación de triángulos y ángulos, rectas de un triángulo y
suma de los ángulos interiores de un polígono
El triángulo es el polígono con el menor número de lados,
cuenta con tres vértices, tres ángulos, tres lados y de acuerdo a
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2. las definiciones de mediatriz, bisectriz y altura, tiene tres de
cada una de estas líneas rectas.
Altura, bisectriz y mediatriz de un triángulo
La altura de un triángulo es la línea recta que pasa por uno de
sus vértices y es perpendicular a la recta que pasa por los otros
dos vértices (prolongación del lado opuesto). La altura de un
M
triángulo se denota regularmente con la letra h. El punto en el A
que se intersecan las alturas se denomina ortocentro y puede T
estar fuera o dentro del triángulo. La siguiente tabla presenta E
algunos de los casos del trazo de las alturas de un triángulo. M
Á
T
Las alturas del triángulo se intersecan en un I
punto y se encuentran en el interior del C
A
triángulo.
S
Las alturas de un triángulo isósceles que a
su vez es un triángulo rectángulo se
intersecan en el vértice de sus lados
perpendiculares.
En este triángulo las alturas se intersecan en
un punto exterior a él. En este caso es
necesario trazar una prolongación de los
lados del triángulo para obtener las alturas
del mismo.
La bisectriz de un triángulo es la línea recta que divide a cada
uno de sus ángulos en dos ángulos iguales. Las tres bisectrices
de un triángulo se intersecan en un punto denominado incentro.
Una de las propiedades del punto de intersección de sus tres
bisectrices es que éste es el centro de un círculo, cuya
circunferencia se encuentra dentro del triángulo y tiene un
punto en común con cada lado del triángulo.
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3. El incentro siempre se encuentra dentro
del círculo. La figura muestra las
bisectrices de un triángulo y el punto de
intersección de las mismas, denotado
por la letra “I”, así como la
circunferencia inscrita en cada uno de
los triángulos.
La mediatriz de un triángulo es la línea
perpendicular trazada en el punto
medio de cada uno de sus lados, que
se intersecan en un punto llamado
circuncentro, el cual puede estar
localizado en el interior, exterior o en un
lado del triángulo.
Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
El punto de intersección de las
mediatrices de un triángulo y la
circunferencia que se puede trazar,
permiten deducir que todo triángulo
divide a la circunferencia en tres partes
determinadas por los lados adyacentes
del triángulo, es decir, como los vértices
del triángulo se encuentran en la
circunferencia, éstos la dividen en tres
partes.
Las longitudes de cada uno de las divisiones de la
circunferencia de un triángulo pueden ser comparadas entre sí,
para saber cuáles son algunas de las propiedades y
clasificación de los triángulos.
Una característica de todos los triángulos es que la suma de sus
ángulos interiores es igual a 180°, por ejemplo:
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4. La figura de la izquierda presenta un triángulo
isósceles, donde los vértices A y C hacen una
división de la circunferencia en dos partes iguales,
ya que la recta que pasa por estos vértices es un
diámetro.
Como el ángulo ABC es de 90°, entonces la suma de los otros
dos debe de ser igual a éste, por lo que cada uno de los otros
M
dos ángulos miden 45° debido a que la longitud de la A
circunferencia de A a B y de B a C es igual. T
E
De acuerdo con la medida de los ángulos, hay diferente tipos M
Á
de triángulos: acutángulo, rectángulo y obtusángulo. T
I
El triángulo acutángulo tiene tres ángulos menores C
a 90° y el circuncentro se encuentra dentro del A
S
triángulo.
En el triángulo rectángulo uno de los ángulos es
igual a 90° y el circuncentro se encuentra en el
punto medio de su lado no perpendicular.
En el triángulo obtusángulo uno de los ángulos es
mayor a 90° y el circuncentro se encuentra fuera
del triángulo.
También hay que recordar que cuando los tres lados de un
triángulo son iguales se llama triángulo equilátero, cuando dos
lados son iguales recibe el nombre de triángulo isósceles y si no
cuenta con ningún lado igual se llama triángulo escaleno.
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5. Suma de los ángulos interiores de un polígono
Para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier
polígono (regular o irregular) se deben llevar a cabo los
siguientes pasos:
Paso 1. Se debe determinar el número de triángulos que se
pueden formar en el polígono, sin que ninguno de sus lados se
intersequen.
En un polígono de cuatro lados En un polígono de cinco lados
Se pueden formar 2 triángulos. Se pueden formar 3 triángulos.
El número de triángulos que se pueden formar en un polígono es
igual al número de lados que tiene, menos dos.
Paso 2. Se multiplica el número de triángulos que se pueden
formar en un polígono por 180°.
La suma de los ángulos La suma de los ángulos
interiores es iguala a: interiores es iguala a:
2 × 180° = 360° . 3 × 180° = 480° .
Ángulos formados al cortarse dos rectas transversales.
Cuando se cortan dos rectas oblicuas ( L1 y L2 ) se forman cuatro
ángulos, los cuales tienen características y propiedades
comunes.
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6. Se denominan ángulos opuestos por el
vértice a los ángulos a y c, b y d. Los
ángulos adyacentes son aquellos que
tienen en común un vértice y uno de sus
lados. Así, los ángulos a y b, a y d, b y c, c y
d son todos adyacentes.
Cada una de las líneas que están en la
figura de la derecha es un diámetro de la
M
circunferencia que la divide en dos partes A
iguales de donde se obtiene que: la suma T
de los ángulos adyacentes es igual a 180°, E
es decir, a+b=b+c=c+d=d+a=180°. M
Á
T
Por ejemplo: I
¿Cuál es la medida de los cuatro ángulos C
formados al cortarse dos rectas oblicuas en la A
S
figura?
La medida del ángulo x es igual a 60 debido a que
ésta es la medida de su ángulo opuesto por el vértice. Para
determinar la medida de los otros dos ángulos basta con
encontrar la medida de algunos de ellos. Como el ángulo c es
adyacente al ángulo de 60°, entonces 60° + c=180°, de donde
se obtiene que c=120°. La medida del ángulo x + y = 120° por ser
opuesto al ángulo c. Entonces, como x=60°, y = 60°.
Para determinar la medida de los ángulos formados al cortarse
dos rectas oblicuas, solamente es necesario conocer la medida
de uno de sus ángulos debido a que:
1. La medida de su ángulo opuesto es igual a la medida del
ángulo dado.
2. La medida de sus otros dos ángulos son iguales por ser
opuestos por el vértices y la medida de cada uno de ellos se
obtiene restando a 180° la medida del ángulo conocido.
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7. Sin embargo, hay ocasiones en las que no se sabe cuál es el
valor de los ángulos y para determinarlos es necesario resolver
un sistema de ecuaciones.
Por ejemplo en la figura de la derecha se tiene
que:
a) los ángulo c=n y 2n=d por ser opuestos por el
vértice.
b) los ángulos 2n + n=180° por ser adyacentes.
Se deduce que 2n + n = 3n = 180°, es decir, n = 60° y
conjuntando los incisos a) y b) se determina que c = 60° y
d=180° - 60°=120°.
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