1) El documento trata sobre el cálculo de probabilidades y combinatorias. 2) Explica cómo calcular la probabilidad de que la familia de Julio César gane una rifa de 200 boletos si su familia tiene 7 integrantes. 3) También cubre temas como diagramas de árbol, cálculo de resultados posibles de experimentos múltiples, y número de combinaciones posibles de objetos.

1. M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
Bloque 3. Análisis de la información
Tema 1. Conteo (principios multiplicativos) y cálculo de
probabilidades
Ismael organizó una comida para sus trabajadores y sus familias
al final de la cosecha. Cada persona recibió un boleto que
participaba en una rifa por un premio que se le entregaría a la
persona que tuviera el número del boleto seleccionado al azar
de una urna. Si el total era de 200 boletos y los integrantes de la
familia de Julio César son 7, ¿cuál es la probabilidad de que
esta familia resulte triunfadora?
77

2. Para resolver el problema anterior hay que utilizar la
probabilidad, pues ésta ayuda a determinar la posibilidad de
obtener uno o varios resultados favorables en un experimento
aleatorio. La probabilidad teórica de un evento se expresa
como:
Como el número de integrantes de la familia de Julio César es
de 7 y el total de personas que participaron es de 200, el
número de casos favorables es de 7 y el número de resultados
posibles es de 200, por lo que la probabilidad de que la familia
7
de Julio César resulte ganadora es de = 0.035 = 3.5% .
200
Hay ocasiones en las que se quiere calcular la probabilidad de
la repetición de un mismo experimento y para determinar todos
los posibles resultados se utiliza el diagrama de árbol, que es una
herramienta gráfica donde se pueden ver todos los resultados
en la repetición de un experimento, por ejemplo:
El diagrama de árbol para el lanzamiento de
una moneda se hace con dos líneas que
parten de un mismo punto, en el extremo de
cada una de éstas, llamadas ramas de árbol,
se escriben los resultados posibles y la
probabilidad de obtener ese resultado.
Si este mismo experimento se repite en otra ocasión, los
resultados serán los mismos que en el primer lanzamiento, es
decir, si en el primero el resultado fue águila o sol, en el segundo
será igual. El diagrama de árbol se forma agregando otras dos
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3. ramas en las que se ponen los resultados del primer
experimento, como se muestra a continuación.
Si se sigue cada una de las ramas
del árbol, se obtiene que en el
lanzamiento de una moneda en
dos ocasiones, los resultados
posibles son: (águila, águila),
(águila, sol), (sol, águila) y (sol,
M
sol). La probabilidad de que A
suceda cada uno de los posibles T
resultados se obtiene E
multiplicando la probabilidad en M
Á
cada una de sus ramas, en este caso cada uno de los eventos T
1 1 1
tiene la misma probabilidad igual a x = . Lo anterior es un I
2 2 4 C
ejemplo de la siguiente regla: A
S
En el ejemplo anterior del lanzamiento de la moneda hay dos
posibles resultados (m=2) y el experimento se repitió en dos
2
ocasiones, así que el total de posibles resultados es 2 = 4 . Si se
lanza una moneda en tres ocasiones, ¿cuál es la probabilidad
de obtener 3 soles?
En cada lanzamiento de la moneda existen dos posibles
resultados (m=2) y si esto se repite en tres ocasiones (n=3) el total
3
de posibles resultados es 2 = 8 . Así que la probabilidad de
obtener tres soles en los tres lanzamientos es igual a:
79

4. 1 1 1 1
x x
2 2 2 8
Hasta el momento se ha determinado el número de todos los
posibles resultados después de realizar el mismo experimento
varias veces. Sin embargo, hay ocasiones en las que se realiza
un experimento y después otro, en este caso el total de
resultados posibles se calcula de la siguiente manera:
Por ejemplo, Ismael lanza una moneda al aire y posteriormente
un dado con seis caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es el
número total de resultados?
Al lanzar una moneda se tienen dos
posibles resultados: águila o sol (A,
1
S) con una probabilidad de para
2
ambos y al lanzar el dado se
obtienen seis resultados posibles (1,
2, 3, 4, 5, 6) con una probabilidad
1
de , por lo que en total hay 12
6
resultados posibles como se muestra
en el siguiente diagrama de árbol.
Otra rama de la probabilidad es la combinatoria, que estudia
todas posibles combinaciones que se pueden realizar con
distintos objetos, por ejemplo:
a) Israel pidió a sus alumnos que determinaran el total de
números naturales que pueden formar con los dígitos 1, 2 y 1, 2, 3.
80

5. Sus alumnos rápidamente realizaron la siguiente tabla en la
cual se muestran los números que se formaron con los dígitos
que les dieron:
Números que se pueden Números que se pueden
formar con los dígitos 1 y 2. formar con los dígitos 1, 2 y 3.
12 y 21. 123, 132, 213, 231, 312 y 321.
M
El número de posibles combinaciones que se pueden formar A
con distintas cosas es igual al producto de m × (m − 1 × ... × 2 × 1,
) T
E
es decir, con los dígitos 1 y 2 existen 2 × 1 = 2 combinaciones y M
con los dígitos 1, 2 y 3 hay 3 × 2 × 1 = 6 combinaciones. Si se Á
T
tuvieran los dígitos 1, 2, 3 y 4 se podrían formar 4 × 3 × 2 × 1 = 24 I
números naturales. C
A
b) Angélica quiere comprar un helado de dos sabores y existen S
tres sabores diferentes: fresa, vainilla y chocolate. ¿De cuántas
maneras distintas puede elegir su helado?
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6. En el diagrama de árbol hay seis formas diferentes de combinar
dos sabores de los tres que hay. En primer lugar, Angélica puede
escoger tres sabores diferentes, después sólo dos sabores
distintos. Podrá escoger 3 × 2 ×1 = 6 combinaciones de sabores.
Una vez calculadas todas las posibles combinaciones, el
siguiente paso es determinar la probabilidad que tiene cada
una de las combinaciones encontradas. Ésta depende de las
preferencias de cada una de las personas, por ejemplo: a
Esteban le gusta más el sabor de fresa, Ernesto prefiere el de
chocolate y a Julio César le gustan todos los sabores. Se le
preguntó a cada uno la probabilidad de elegir un sabor
determinado y se elaboró la siguiente tabla:
Fresa Vainilla Chocolate
1 1 1
Ernesto
2 4 4
1 1 1
Esteban
4 4 2
1 1 1
Julio César
3 3 3
Para determinar la probabilidad de elección de la combinación
de sabores sólo se coloca la probabilidad de preferencia de
sabor en cada una de las ramas del árbol y se multiplican. A
continuación se presenta el cálculo de la probabilidad de
elección de sabores de Ernesto.
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7. M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
S
83