Este documento resume tres métodos para el control de sistemas en tiempo discreto: 1) El método del lugar de las raíces, que especifica la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado y elige un controlador adecuado. 2) El método de respuesta frecuencial, que diseña el controlador en el dominio de la frecuencia y luego lo transforma al dominio del tiempo. 3) El método de síntesis directa de Truxal-Ragazzini, que diseña el controlador para cumplir especificaciones sobre el error de salida.

1. CONTROL DIRECTO DE
SISTEMAS EN T. DISCRETO
Tema 6

2. Indice
Control de Sistemas en Tiempo Discreto
en el Lugar de las Raíces
Control de Sistemas en Tiempo Discreto
por Respuesta Frecuencial
Control por Síntesis Directa. Método de
Truxal-Ragazzini

3. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto en el Lugar de las Raíces
El método de compensación del lugar de las raíces en el plano z
es similar al caso continuo en el plano s, esto es, se
especificarán las ubicaciones de los polos dominantes en lazo
cerrado y se elegirá un tipo de compensador adecuado para
cumplirlas.
Para ello se ubicará el lugar geométrico de las raíces de
1 + GH ( z ) = 0
K ⋅ ( z + z1 ) ⋅ ( z + z 2 ) L ( z + z m )
1+ =0
( z + p1 ) ⋅ ( z + p2 ) L ( z + pn )

4. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto en el Lugar de las Raíces
Al ser GH(z) una magnitud compleja se imponen 2 condiciones:
1. condición de ángulo
arg(GH ( z )) = −180(2k + 1) k = 0,1,2...
2. Condición de magnitud
GH ( z ) = 1
Los valores de z que cumplan la condición de angulo para K
varaible definen el lugar geométrico de las raíces o polos del
sistema en bucle cerrado (LdR)
La aplicación de la condición de magnitud para una K
determinado define los polos específicos del sistema en bucle
cerrado.

5. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto en el Lugar de las Raíces
arg(GH ( z )) = φ1 + φ 2 + ... − θ1 − θ 2 − ...
B1 ⋅ B2 K Bm
GH ( z ) = K
A1 ⋅ A2 K An

6. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto en el Lugar de las Raíces
En general
K c ⋅ ( z + z c1 ) ⋅ ( z + z c 2 )L( z + z cm )
Gc ( z ) =
( z + p c1 ) ⋅ ( z + p c 2 )L( z + p cn )
Con objeto de determinar la ubicación de los polos y ceros el
controlador Gc(z) digital se obtendrá la deficiencia angular en los
polos deseados zd
φ = −180º −∠GH ( z ) z = z
d
La condición de magnitud evaluada en zd permitirá ajustar la
ganancia del controlador Kc.

7. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto en el Lugar de las Raíces
La forma más habitual del controlador Gc(z) será:
z z
zp
x x
zp z 1 1
0 z
0
z + z0 z + z0
Gc ( z ) = K ⋅ , z0 > z p Gc ( z ) = K ⋅ , z p > z0
z + zp z + zp
Controlador de Adelanto (φ>0) Controlador de Atraso (φ<0)

8. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto en el Lugar de las Raíces
z
z p1 z
z + z 01 z + z 02
p2
x x Gc ( z ) = K ⋅ ⋅
z 01 z
1 z + z p1 z + z p 2
02
123 123
Ad At
Controlador de Atraso-Adelanto
Los esquemas anteriores cubren a los controladores PID, en
concreto el control PD (Adelanto con zp = 0), el control PI (Atraso
con zp = 1) y el control PID (Atraso-Adelanto con zp1 = 0 , zp2 = -1),
para el caso de discretizacion Euler hacia atrás.

9. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto por Respuesta Frecuencial
El método de compensación basado en la respuesta en
frecuencia para sistemas en tiempo discreto es análogo al caso
continuo. No obstante, será necesario realizar previamente la
transformación bilineal que obtenga a partir de la planta G(z) la
planta G(w).
A partir de G(w) se realizará el diseño del controlador Gc(w),
utilizando los procedimientos de diseño en continua, teniendo en
cuenta la distorsión del eje de frecuencia w = jν respecto al eje
s = jω. Una vez obtenido Gc(w) se aplicará nuevamente la
transformación bilineal para obtener Gc(z).

10. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto por Respuesta Frecuencial
El procedimiento se resume en los siguientes pasos:
T
1. Obtener G(z) y hallar G( w )= G( z ) z =1+ 2 w
T
1− w
2
2. Hacer w = jν , y establecer la ganancia del controlador K
para cumplir las especificaciones de error estático y de
velocidad en su caso.
3. Dibujar el diagrama Bode de KG(ν), y determinar MF y MG.
4. En caso de no cumplirse las especificaciones de MF y MG
se diseñará un compensador Gc(w) por las técnicas
convencionales , desprovisto de ganancia.
5. Transformar Gc(w) en Gc(z) , según Gc ( z ) = G c ( w) w= 2 z −1
T z +1

11. Control de Sistemas en Tiempo
Discreto por Respuesta Frecuencial
Se ha de resaltar que el diseño es aproximado en tanto en
ω
cuanto ν ≈ ω , por tanto se cumplirá ω < s
10
2 ωT
El eje ν , está distorsionado respecto al eje ω, pues ν = tan
T 2

12. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
El método de síntesis directa o de Truxal - Ragazzini, permite
diseñar un GD(z) para que se cumpla que la secuencia de error
e(kT) ante una referenciaº en particular sea cero tras un número
N de periodos T, y se mantenga así, con un tiempo mínimo de
establecimiento, y sin rizado entre muestras.
R( z ) + E( z ) U(z) C( z )
GD ( z ) G( z )
-
⎧1 − e − Ts ⎫ Gp(s) de orden n
G( z ) = Z ⎨ ⋅ G p ( s )⎬
⎩ s ⎭

13. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
Se tratará de diseñar GD(z), para cumplir las especificaciones de
error señaladas, e incluso una especificación sobre las
constantes de error estático.
La función de transferencia en lazo cerrado será
C ( z) GD ( z ) ⋅ G ( z )
F ( z) = =
R ( z ) 1 + GD ( z ) ⋅ G ( z )
F(z) deberá tener un tiempo de establecimiento finito y error en
régimen permanente cero ante referencia de entrada impulso
−1 a0 ⋅ z N + a1 ⋅ z N −1 +K+ a N
−N
F ( z ) == a0 + a1 ⋅ z +K+ a N ⋅ z = N≥n
1444 24444 4 3 zN
respuesta finita ( num. pasosT )

14. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
F ( z)
Despejando G D ( z ) =
G ( z ) ⋅ (1 − F ( z ))
El controlador así diseñado habrá de cumplir tres condiciones:
Condición de Realización física.
Condición de Estabilidad.
Condición de Error en régimen permanente nulo
Condición de Rizado Nulo entre muestras.
1. Condición de Realización Física
El controlador GD(z) ha de ser físicamente realizable.

15. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
a) Causalidad: grado num(GD(z)) ≤ grado den(GD(z)).
b) Si G(z) se expande en potencias de z-1, el término más
significativo de F(z) en potencias de z-1 debe ser al menos tan
grande como el de G(z), por ejemplo
G ( z ) = z −1 + z −2 + K ⇒ F ( z ) = a 0 + a1 z −1 + a 2 z −2 + K ⇒ a 0 ≡ 0
2. Condición de Estabilidad.
Se deberá evitar la cancelación de polos inestables o críticos
de G(z) , y ceros de GD(z),ya que no es exacta, y hay
divergencias con el tiempo kT, dando lugar a inestabilidad

16. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
Tampoco el controlador GD(z) no tendrá polos inestables o
críticos que cancelen ceros de G(z) fuera del círculo unidad.
G1 ( z )
a) Para el primer caso suponiendo G ( z ) = , α ≥1
z −α
G1
GD ⋅
F ( z) = z −α
G
1 + GD ⋅ 1
z −α
1 z −α
1 − F ( z) = =
G1 ( z ) z − α + G D ⋅ G1
1 + GD ( z) ⋅
z −α
polos inestables de G(z) serán incluidos como ceros en 1-F(z)
.

17. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
z−β
b) Para el segundo caso suponiendo G ( z ) = , β ≥1
G2 ( z )
z−β
GD ⋅
G2 z−β
F ( z) = = GD ⋅
z−β G2 + G D ⋅ ( z − β )
1 + GD ⋅
G2
los ceros externos al circulo unidad de G(z), persistirán como
ceros de F(z).
3. Condición de Error Permanente Nulo.
El error permanente será cero tras un número finito de
muestras N y así se mantendrá, lim e( kT ) → 0, N finito
k → NT

18. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
A partir del esquema de control en lazo cerrado
E ( z ) = R( z ) − C( z ) = R( z ) ⋅ (1 − F ( z ))
En particular, se tendrá
⎧
⎪ q = 0 P( z ) = 1 &
escalon
P( z ) ⎪
R( z ) = →⎨ q = 1 P( z ) = Tz −1 rampa
(1 − z −1 ) q +1 ⎪ T 2 −1
⎪
⎩
q = 2 P( z ) =
2
( z + z −2 ) parabolica
&
Por tanto P( z ) ⋅ (1 − F ( z ))
E( z ) =
(1 − z −1 ) q +1

19. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
E(z) debe ser un polinomio en z-1, con un número finito de
−1 −N
términos , esto es, E ( z ) = b0 + b1 ⋅ z +K+ bm ⋅ z
Por tanto, se elige 1 – F(z) según,
1 − F ( z ) = (1 − z −1 ) q +1 ⋅ N ( z )
con N(z) tambien finito al igual que F(z). De esta manera
E ( z ) = P( z ) ⋅ N ( z ) = b0 + b1 z −1 + K + bN z − N
Por ello, el controlador GD(z) de Truxal-Ragazzini será,
F ( z)
GD ( z) =
G ( z ) ⋅ (1 − z −1 ) q +1 ⋅ N ( z )

20. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
4. Condición de Rizado Nulo
Para que el rizado del error e(t) sea nulo entre muestras, se
cumplirá para la salida c(t) que
c( t > NT ) = cte , ante entrada escalón.
c (t > NT ) = cte , ante entrada rampa.
&
c (t > NT ) = cte , ante entrada parabólica.
&&
Estas condiciones serán establecidas sobre la señal de control
u(t), ya que la ausencia de rizado impone que u(t) sea constante
para referencias r(t) escalón, rampa y aceleración.

21. Control por Síntesis Directa. Método
de Truxal-Ragazzini
En concreto se impondrán sobre la secuencia u(kT) ya que
U ( z ) = b0 + b1 ⋅ z −1 + .... + bN z − N + bN +1 z − ( N +1) + ....
C ( z ) C ( z ) R( z ) R( z )
U ( z) = = ⋅ = F ( z) ⋅
G ( z ) R( z ) G ( z ) G( z)
y de esta manera aparecen condiciones sobre F(z).
Hay que notar que el diseño se vincula a la señal de referencia
r(kT). Además, como el diseño no depende de T, se pueden
producir efectos no lineales como saturación (T pequeño) e
inestabilidad (T grande).