VI-Gravitación. 2-Ley de gravitación y energía potencial gravitatoria

6.2. LEY DE GRAVITACIÓN Y ENERGÍA
POTENCIAL GRAVITACIONAL
• Hasta ahora se ha definido la masa desde un punto de
vista dinámico: la resistencia de los cuerpos a ser
acelerados.
• Sin embargo, el concepto de masa puede definirse de
otra manera: es la capacidad de un cuerpo para atraer a
otro.
• Esta es la definición gravitatoria de masa, muy
diferente a la definición inercial utilizada hasta ahora.
• En principio ambas definiciones no están relacionadas
entre sí: ambos valores no tienen por qué coincidir.

• Sin embargo, experimentos de gran precisión indican
que ambos valores son iguales.
• La teoría de la relatividad general unifica ambos
conceptos: la masa puede ser comprendida mediante
dos puntos de vista diferentes que en última instancia
definen lo mismo.
• La fuerza que se origina cuando interaccionan dos
cuerpos con masa es la fuerza gravitatoria.
• La fuerza gravitatoria Fg depende de las masas de los
cuerpos, así como de la distancia que los separa.

• Por tanto, la ley de gravitación describe una fuerza
central.
• Una partícula 1 que atrae a una partícula 2 lo hace
mediante la siguiente expresión:
• G es la constante universal de gravitación, r es el
módulo del segmento que une las masas 1 y 2 y ur es el
vector unitario que indica la dirección de interacción.

• Si consideramos a las
partículas que interaccionan
como un sistema llegamos a
que por la 3ª Ley de Newton
F2,1 tiene igual módulo y
dirección que F1,2, pero con
sentido opuesto.
• Cavendish determinó el valor
de G

• La mecánica newtoniana puede seguir aplicándose a
las interacciones gravitatorias.
• Podemos aplicar la 2ª Ley de Newton a la fuerza
gravitatoria actuando sobre una masa m muy cercana a
la superficie de la Tierra.
• Esta interacción, simplificación de la ley de gravitación,
es la conocida fuerza peso.
• Si la Tierra se considera como una esfera sólida y
homogénea su centro de masas estará en su centro
geométrico.
• Por consiguiente, la separación entre m y el centro de
masas de la Tierra será, justamente, el radio de la
Tierra.

• La expresión de la fuerza peso indica que la aceleración
de la masa hacia el centro de la tierra vale g.
• Si esto se da para recorridos cortos y bajas altitudes, g =
9,81 m/s2.
• Si igualamos peso con fuerza gravitatoria:

• Usando estos valores se puede recrear el valor de g.
• Esta expresión nos permite conocer cómo variará g si la
distancia entre masa y centro de la Tierra es
sensiblemente mayor que RT.
• Es decir, g no es constante para cualquier altitud.
• Esta ley es aplicable también para determinar los
valores g de diferentes planetas y satélites.
• El vector g toma el nombre de campo gravitatorio.
• La ley de gravitación es una fuerza de campo: no es
necesario que las masas se toquen para que exista esta
interacción.

• Las líneas de campo gravitatorio son radiales y apuntan
siempre hacia el centro de la Tierra.
• Esto es generalizable para cualquier astro.

• Todas las partículas que componen la Tierra son las
responsables de la fuerza gravitatoria.
• Su combinación es el conocido centro de masas.
• Cualquier cuerpo más allá de su superficie será atraído
por todas ellas o, análogamente, por el centro de masas.
• Por debajo de su superficie todas las partículas seguirán
atrayendo al cuerpo, pero ahora unas compensarán la
contribución de otras: las capas exteriores.
• Esto hará que el valor de gravedad disminuya: es como
si la masa efectiva de interacción gravitatoria
disminuyese.

• Si una masa se desplaza debido a la fuerza gravitatoria
se realiza un trabajo.
• Para desplazamientos diferenciales se llega a que
• Hay que recordar que fuerza gravitatoria y radio son
paralelos entre sí.
• Si integramos desde una posición inicial r0 hasta una
genérica r el trabajo será

• Ahora bien, la fuerza gravitatoria es
una fuerza central, luego es
conservativa.
• Toda fuerza conservativa que realice
trabajo tiene asociada una energía
potencial.
• Recordemos que los trabajos
conservativos provocan un cambio de
energía potencial con signo negativo.

• Lo importante de las energías potenciales es que
indican el cambio de configuración de un sistema.
• El valor de referencia se elige por conveniencia.
• Supongamos que U0
g = 0 J cuando la distancia inicial de
separación sea ∞.
• Por consiguiente, la energía potencial gravitatoria
entre dos partículas es

• Para el caso del planeta Tierra y
masas cercanas a su superficie y
desplazamientos pequeños la
energía potencial se simplifica a Ug
= mgh.
• El signo menos depende de la
referencia.
• Todo valor de energía potencial
gravitatoria negativo indica que las
partículas interaccionan entre sí.
• Valores cada vez más negativos
denotan interacciones más fuertes.

• Todo sistema con partículas en movimiento afectado por
la interacción gravitatoria tiene una energía mecánica
asociada.
• Como solo actúan fuerzas conservativas Em se
conservará.
• Como Ug se define como negativa la energía mecánica
puede ser menor que cero. En este caso el sistema
toma el nombre de ligado.
• Si la energía mecánica es cero o positiva se llama no
ligado y las partículas dejarán de conformar un sistema.

• Dado un sistema ligado podemos determinar la rapidez
necesaria para que pase a ser no ligado.
• Esta magnitud se denomina velocidad de escape.
• La velocidad mínima de escape será la que haga que al
final Em = 0 J.
• En esta situación toda la energía cinética se convierte
en potencial gravitatoria para romper la vinculación del
sistema, ya que aumentará hasta un valor 0.

• Así, por conservación (y velocidades inferiores a la de la
luz) tenemos que

• Atención, g no tiene por qué ser el valor típico de la
Tierra.
• Por su definición y vinculación al concepto de campo
gravitatorio puede aplicarse a cualquier astro masivo:
estrellas, planetas, satélites, etc.
• Para el caso particular del planeta Tierra

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