1. El documento presenta una tabla numérica curiosa donde 142,857 multiplicado por números enteros entre 3 y 12 da como resultado números que terminan en la misma cifra de unidades. 2. Se explican los conceptos básicos de ideales primos y maximales en un anillo y cómo se comportan en el anillo de los enteros a través de homomorfismos. 3. Finalmente, se describe que los ideales del anillo de los enteros Z son de la forma nZ y que los ideales primos son de la forma p, donde p es un número primo o cero.

4. 1
"SMATEMÁTICA La Revista Dominicana

5. "SMATEMÁTICA La Revista Dominicana
4
UN NÚMERO MUY CURIOSO
142,857 x 3 = 428,571 142,857 x 4 = 571,428
142,857 x 5 = 714,285 142,857 x 6 = 857,142
142,857 x 7 = 999,999 142,857 x 8 = 1 6,142,85
142,857 x 9 = 1 3,285,71 142,857 x 10 = 1,428,570
142,857 x 11 = 1 7,571,42 142,857 x 12 = 1 4,714,28

6. "SMATEMÁTICA
5
pæ ö
ç ÷
è ø
=
p
d
¿Por qué eres tan
irracional?
Porque tú eres muy
compleja
pHISTORIA DEL
22 1
3
7 7
=
355
113
223 22
7 7
p<<
3123
3.141815.....
994
=

7. 7
4 4 4 4 4 4
.....
1 3 5 7 9 11
p=-+-+-
355
3.141519292...
113
=
"SMATEMÁTICA
8
2

8. "SMATEMÁTICA
9 10
Dr. Kreemly Pérez.
Profesor (UASD)

9. "SMATEMÁTICA
11
( )ø x
{}
()
( )
1 si
ø : ø
0 si
Îìï
®' =í
Î-ºïî
x
c
x
x
Q
R 0,1
Q Q
( )ø x y=
( )
( )
0, 0:
inf {ø ( , )} 0
sup{ø ( , )} 1
e
ee
ee
">">
'Î-+=
'Î-+=
x
x
a
x a a
x a a
() { }
( )( )
b) Si Q
Se ve que: limø 1 limø no existe.
® ®
'¹"ÎÙ'ÎÌ
=
:n n n
xn
c x cnx
x
y y c n N y n N
() {}
( )
a) Sea: R, N Q
De modo que: , se ve entonces que limø 0.
®
Î '¹"ÎÙ'Ì
® =
n n n
n n
nx c
x
c x x c n y
x c
Luego es discontinua en todo , con discontinuidad
es llamada, así, la función discontinua de
Dirichlet.
( )xy cÎR
singular. ( )xy
Se puede decir que:
es continua en ninguna parte y derivable en ningún punto.( )ø x
12

10. "SMATEMÁTICA
13
{ }
( )( )
Sea:
:D R R, D;
( ) N N .
Si lim lim
® ®
Ì®Î
'¹"ÎÙ'ÎÌ
=Þ=
¤
n
n
n n n
x c x c
xx
f c
x x c n x n
f L f L
D =R
( ) ( )x xf gÙ
( )( ) xf g+ ( ) ( )x xf gÙ
ø=( ) ( )x xf
( )( )xf g+‘ ‘
()( ) ( ) ( )=+ +x x xf g f g
‘
( ) ( )nix xf g
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0x x x x xf g f gy y yy=Ù=-Þ+=+-=
14
()( ). xf g
()( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ' '. x x x x xf g f g f g× ×= +
( ) ( )x xf gÙ
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) (1 ) 0( )y y yy=Ù=-Þ× =×-=x x x x xf g f g x
()( ). xf g ( ) ( )x xf gÙ
( ) ( )x xf gÙ
Teorema 4
Si son diferenciables siendo
es diferenciable y
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
( )
0
' ' '
Ù
æö
¹"Þç÷
èø
æö -
=ç÷
èø
x x
x x
x x x x
x
x
f g
f
g x
g
f f g f g
g g
( ), siendo ( ) 0
f
x g x x
g
æö
¹"ç÷
èø
( ) ( )x xf gÙ
Recíproco
[ ]
[]
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Tomemos: 1 1 siendo
1
0 : 0 .
1
yy y
yy
y
=- =+
æ ö-æö
¹" = =ç ÷ç÷
+èøè ø
x x x x
x x x
f y g
f
g x x
g

11. ( ) ( )x xf gÙ
[],a b ÌR
( ) ( )0
b b
x x
a a
dx y dx b ay y= =-ò ò
( )ø x
( )
b
x
a
dxyò
[],a b
rS =
iS =
no existe.
15
( )xy
b
a
b ay=-ò
"SMATEMÁTICA La Revista Dominicana
Los ideales primos y maximales son los más destacados en la
colección de ideales de un anillo. Un ideal en el anillo Z es un
subconjunto no vacío I en el cual se verifica que:
1) a + b ª I, para cualesquiera
elementos
a, b ª I.
2) ab ª I, para cada elemento a ª I, b ª Z.
Si Z es un anillo, los ideales diferentes de
Z se conocen como ideales propios de Z.
Un ideal propio I de Z es primo si dado
dos elementos a,b de Z tales que ab ª I
para lo cual a ª I ó bien b ª I.
Un ideal propio I de Z es maximal si dado otro ideal J de
Z con la condición de que I J se tiene que J = I ó J = Z.
Mostrar el comportamiento de los ideales primos y maximales
en el anillo de los enteros Z a través de homomorfismo se
puede analizar en las demostraciones de proposiciones
establecidas en el desarrollo de la teoría de ideales en un
anillo. Para una mayor comprensión se describe la
característica de los ideales del anillo Z.
Los ideales del anillo Z son de la forma nZ. Los ideales primos
de Z son de la forma p, donde p = 0 ó p es un número primo. Es
decir, los ideales maximales de Z son los primos no nulos.
16
COMPORTAMIENTO DE LOS IDEALES MAXIMALES
Y PRIMOS A TRAVÉS DE HOMOMORFISMO EN EL
ANILLO DE LOS ENTEROS.
Rosa María Almonte Batista, M.A.
Profesora (UASD).
Ahh con que yo
soy un anillo y
tengo ideales!
!

12. "SMATEMÁTICA
Curioso

13. "SMATEMÁTICA
MATEMÁTICO CÉLEBRE
Jorge Alejandro Blanco. M. A.
Profesor (PUCMM)
19 20

14. Víctor José Galán Céspedes, M. A.
Profesor de(UNIBE)
21
"SMATEMÁTICA
22

15. "SMATEMÁTICA La Revista Dominicana
23 24

16. 26
"SMATEMÁTICA La Revista Dominicana
25

17. "SMATEMÁTICA
27
cuadrados mínimos surgió en relación con los grandes
trabajos geodésicos; en la actualidad, por influencia directa
de las exigencias de nuevas ramas de la técnica, obtienen un
desarrollo impetuoso muchas ramas de las matemáticas (el
análisis combinatorio, los métodos aproximados de resolución
de ecuaciones diferenciales e integrales, la teoría de grupos
finitos, etc” (Ribnikov, 1974). Es así como, en estos momentos
en que el desarrollo de la ciencia matemática ha alcanzado
niveles superiores, es imposible que se hable de algún hecho
técnico o científico que no envuelva, directa o
indirectamente, algún contenido matemático.
Ahora bien, el que los estudiantes puedan llegar a aprender
esos contenidos no implica que sean matemáticos
profesionales; lo que se requiere es que una persona, en una
institución, con planes claros y directrices bien establecidas,
se ocupe de dirigir acciones con la motivación adecuada y
suficiente, que permitan el manejo de esos contenidos (su
aplicación) en la vida diaria de los estudiantes. “El mensaje es
sencillo: cualquiera puede aprender las matemáticas de uso
diario con el método adecuado” (Charles Seiter, 1996).
DOS NÚMEROS AMIGOS
28

18. "SMATEMÁTICA
3029
1 2z y z 1
z ,a<
iz
1 2( )P z z=
2
z .b<

19. "SMATEMÁTICA
32
2 01
2 1
1
(2).....n
n n
n
n n
a a aa
a a
z z z z
-
-
-
+++++®
z ®¥
( ) 0 cuandozf z® ®¥
( ) 1 para todo .zf z R£ ³
()( )()( )
2 2
( ) , ,zf u x y v x y= +
( )zf .z R£
( )zf K£ z .R£ ( ) 1zf £
z R³ ( )zf K£ z ,R£
{}( ) max ,1 para toda z.zf M K£=
z .r=®¥-
0k k
n kn k
a a
rz
-
=®
31
( ) 0zP ¹
( )
( )
1
z
z
f
P
=
011( )
1
..... .z
n n
n nP a z a z a z a-
-=+ +++
2 01
2 1
1
( )
( )
(1)
1 1 1
.....n
n n
n
n
z
z
nf
p a a aaz a
z z z z
-
-
-
==
+++++

20. "SMATEMÁTICA
No lo Sabía
33
1- La derivada un medio existe y es:
.
Es decir, para la derivada un medio de f evaluada en
es igual a la unidad imaginaria (I). ¡Imagíneselo!
2- La matriz tiene propiedades
especiales con el producto de potencias naturales.
Verifique esta:
3- François Viète (1540-1603) fue el primer matemático en
introducir las letras (x, y, z) para representar variables,
además, es quien, en su obra “Canon Matemáticas Seu Ad
Tringula”, da uso sistemático por primera vez a los números
decimales empleando la coma y a veces una ralla vertical para
separar la cantidad entera de la decimal. Fue el primero en
aplicar el álgebra a la trigonometría y quien descubrió la ley
de los cósenos.
4- Francisco Maurolico (1494-1575) fue quien utilizó el
principio de inducción matemática por primera vez para
demostrar que:
5- Los símbolos + y - fueron creados por Johann Widmann, el
símbolo = por Recorde y por Rudolff, antes del año 1500.
6- John Napier (1550-1617) crea los logaritmos en 1614 en
una obra titulada “Marifici Logarithmorum Canonis
Descriptio”. En su origen los logaritmos fueron creados para
estudiar el concepto geométrico- mecánico de los puntos en
1
1
2
2
1
2
4 4
d
i o f i
dx
p pæö
ç÷
èøæö æö
-= -=ç÷ ç÷
èø èø
4
p
-
1
1
1
i
M i
i
æö
= =-ç÷
èø
( )f x x=
()()1 2 14 3
1 2
n nn
M M
- --
=-
()()
2
1 3 5 7 ..... 2 1 1a a++++++=+
¿SABÍAS QUE?
34
1) ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ), 0
3) ( ) ( )n
Log ab Log a Log b
a
Log Log a Log b b
b
Log x n Log x
= +
æö
= - ¹ç÷
èø
=
( , , )><=
()
()
()
()
() ()
() ()
cos 0 0 cos
0 cos 0 cos
Bt Bt
t sen t t isen t
e i ó e
t sen t isen t t
æ öæ ö æ ö
= + =ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø

21. "SMATEMÁTICA
36
1 0i
ep
+=
Concha de un Nautilus
()
4 2
1 2 1
11
1
11 2
n
n n
i
B M M i
i
-
- -
æö
= Ù= =-ç÷
- èø
0
1
0
i
B i
i
æ ö
= =-ç ÷
è ø
n
i
n
B
0
0, 1, 2, 3..
0
i
B n
i
æ ö
= =ç ÷
è ø

22. "SMATEMÁTICA
38
() 1P A P A
---
æö+ =ç÷
èø
1))())(log((log
1)(log
1)ln(
=
=
=
ab
b
e
ba
b
6- Logaritmos:
pie +=-1)log(
7- Trigonometría:
1
2
1
4
f i i
pæö
-= =-ç÷
èø
5- Integrales:
..4,3,2
1
1
1
)(2
1
1
1
1
14
1
1
0
2
=
=
î
í
ì+
=
-
+
=
=-
ò
ò
ò
n
ni
az
dz
dx
x
dxx
c
n
e
p
p
1 1
0
m m
m
æö æö
= =ç÷ ç÷
èø èø
En las próximas ediciones incluiremos otras expresiones y
las que ustedes nos hagan llegar.
() () () ()
()( ) ()( )
() ()()
() ()
()
()
2 2
0
1
1
cos sin 1 cos sin
1 1
sin cos
2 2
cos 0 1 tan 1 sin sin
4
cos 1 sin 0
2 1
cos 1 0 sin 2 1 cos 0
2 2
i
i i i i
e i
e e e e
i
x x
n
n
n
p
q q q q
q q p p
q q
p
p
p p
pp
p
- -
-
-
+ = = +
= - =+
æö
= = -=ç÷
èø
-= =
+æ öæ ö
= ±= =ç ÷ç ÷
è ø è ø
37
1, 0, 0
a b
a b
b a
æöæö
=¹¹ç÷ç÷
èøèø
1 0i
ep
+=
Algunas expresiones que contienen la unidad.
1- Elementos recíprocos:
2- Factorial: 0! 1 1! 1= =

23. "SMATEMÁTICA
4039
Juan Toribio Milané M. A.
Profesor (PUCMM) Profesor (UASD)
NOMBRES QUE SON UNIDADES DE MEDIDAS
Genaro Viñas M. A.

24. "SMATEMÁTICA
4241

25. "SMATEMÁTICA
44
1
2 4
2
¸=

26. "SMATEMÁTICA
45
()
()()
!, 100 2 sin 0 ,
tan 2 , tan 2 .
e
kn knp p

27. "SMATEMÁTICA
48
c) Inténtelo con otros polígonos regulares.
2 3 1
A A A=+
1 2A A A=+
A
1A
2A
n
n
d y
dx d
d
d y
dx
10
1 0
d
d
d y d y
dx dx
=
0x
x x
=
8
1
lim
8®
=¥
-x x
5
1
lim
5®
=
-x x
5
1
lim
5®
=
-x x
5

28. 50
"SMATEMÁTICA

29. "SMATEMÁTICA