AQUÍ ACLARARAS TUS DUDAS SOBRE TRIGONOMETRIA

1. Departamento de Matemáticas
Trigonometría
1º Bachillerato C.N.S. y T.
•Razones trigonométricas
•Relaciones entre las razones trigonométricas
•Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos
principales
•Representación en la circunferencia unidad
•Signo de las razones trigonométricas
•Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos:
opuestos, complementarios, …
•Resolución de triángulos rectángulos
•Teorema del Seno
•Teorema del Coseno
•Resolución de triángulos cualesquiera
Maia B e o
r no nit

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b
senα =
b
a a
c
cos α =
α a
c b senα
tan α = =
c cos α
Y sus inversas:
a 1 a 1 c 1
cos ecα = = sec α = = cot gα = =
b senα c cos α b tgα
Maia B e o
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3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
a
b
α
c
2 2
b c b2 + c2 a 2
( senα ) + ( cosα ) =   +   = 2 = 2 = 1
2 2
a a a a
 senα 
1 + ( tanα ) = 1 + 
2 ( cosα ) + ( senα ) = 1 = sec 2 α
2 2 2
 =
 cosα  ( cosα ) 2 ( cosα ) 2
1 + ( cotgα )
2  cosα 
= 1+  =
( senα ) + ( cosα ) = 1 = cos ec 2α
2 2 2

 senα  ( senα ) 2 ( senα ) 2
Maia B e o
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4. VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS PRINCIPALES
α 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º
1
sen 0 2 3 1 0 -1 0
2 2 2
cos 1 3 2 1 0 -1 0 1
2 2 2
tg 0 3 1 3 ∃ 0 ∃ 0
3
cosec ∃ 2 2
2 3 1 ∃ -1 ∃
3
sec 1 2 3
2 2 ∃ -1 ∃ 1
3
cotg ∃ 3 1 3 0 ∃ 0 ∃
3
Maia B e o
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5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
α en el primer cuadrante
90º
0º < α < 90º cotgα
cosecα
secα
tgα
senα
α cosα
180º 0º
270º
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r no nit

6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
β en el segundo cuadrante 90º
90º < β < 180º cotgβ
cosecβ
senβ
β
cosβ
180º 0º
secβ
tanβ
270º
Maia B e o
r no nit

7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
90º
cotgγ
cosecγ
secγ
tanγ
γ
180º cosγ
0º
senγ
γ en el tercer cuadrante
270º
180º < γ < 270º
Maia B e o
r no nit

8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
UNIDAD, radio = 1
90º
cotgδ
cosecδ
δ
180º 0º
cosδ
senδ
tanδ
secδ
270º
δ en el cuarto cuadrante
270º < δ < 360º
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r no nit

9. SIGNO DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Seno y Cosecante
+ +
_ _ Coseno y Secante
_
+
_ +
Tangente y
Cotangente
_
+
_
+
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r no nit

10. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS OPUESTOS
•Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a.
sen (-a) = -sen a
cos (-a) = cos a
tg (-a) = -tg a
cosec (-a) = -cosec a
sec (-a) = sec a
a cotg (-a) = -cotg a
-a
EJEMPLO:
1
sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º = −
2
3
cos 330º = cos (-30º) = cos 30º =
2
3
tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º =−
3
Maia B e o
r no nit Calcula las demás razones trigonométricas

11. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
•Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.
sen (90º-a) = cos a
cos (90º-a) = sen a
sen(90º −a) cosa
tg (90º-a) = = = cotga
cos(90º −a) sena
cosec(90º-a) = sec a
sec(90º-a) = cosec a
cotg(90º-a) = tg a
90º-a
a EJEMPLO: 3
sen 60º = cos 30º =
2
1
cos 60º = sen 30º =
2
tg 60º = tg30º = 3
Maia B e o
r no nit Calcula las demás razones trigonométricas

12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
•Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.
sen (180º-a) = sen a
cos (180º-a) = -cos a
tg (180º-a) = -tg a
cosec (180º-a) = cosec a
sec (180º-a) = -sec a
180º-a
a cotg (180º-a) = -cotg a
EJEMPLO: 1
sen 150º = sen 30º =
2
3
cos 150º = -cos 30º = −
2
3
tg 150º = -tg 30º =−
3
Maia B e o
r no nit Calcula las demás razones trigonométricas

13. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
•Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.
sen (180º+a) = -sen a
cos (180º+a) = -cos a
tg (180º+a) = tg a
cosec (180º+a) = -cosec a
sec (180º+a) = -sec a
180º+a
a cotg (180º+a) = cotg a
EJEMPLO:
1
sen 210º = -sen 30º = −
2
3
cos 210º = -cos 30º = −
2
3
tg 210º = tg 30º =
3
Maia B e o
r no nit Calcula las demás razones trigonométricas

14. Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos
sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo C
dos de ellos.
a
b
Casos que pueden presentarse:
I. Conocer un cateto y la hipotenusa 90º
II. Conocer un cateto y un ángulo A c B
agudo
III. Conocer los dos catetos
IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo
agudo
Maia B e o
r no nit

15. I. Conocer un cateto y la hipotenusa
C
Datos: a = 25 cm., b = 16 cm.
Teorema de Pitágoras:
a
c 2 = a 2 − b 2 = 25 2 − 16 2 = 369 b
c = 369 = 19.21 cm.
90º
Definición de seno:
A c B
b 16
senB = = = 0.64
a 25
B = arcsen(0.64) = 39º 47' 31' '
C = 90º −B = 50º 12' 29' '
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16. II. Conocer un cateto y un ángulo agudo
C
Datos: C = 35º, b = 16 cm.
Los ángulos B y C son complementarios:
a
b
B = 90º - C = 90º - 35º = 55º
Definición de seno y coseno de C: 90º
cosC =
b
⇒a=
b
=
16
= 19.53 cm.
A c B
a cosC cos35º
c
senC = ⇒ c = a ⋅ senC = 19.53 ⋅ sen35º = 11.20 cm
a
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17. III. Conocer los dos catetos
C
Datos: b = 16 m. c = 12 m.
Teorema de Pitágoras:
a
a 2 = b 2 + c 2 = 16 2 + 12 2 = 400 b
a = 400 = 20 m.
90º
Definición de tangente:
A c B
b 16
tgB = = = 1.33
c 12
B = arctg(1.33) = 53º 7' 48' '
C = 90º −B = 36º 52' 12' '
Maia B e o
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18. IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo
agudo
C
Datos: a = 30 m. C = 25º
Los ángulos B y C son complementarios:
a
b
B = 90º - C = 90º - 25º = 65º
Definición de seno y coseno de C: 90º
cosC =
b
⇒ b = a ⋅ cos C = 30 ⋅ cos 25 º = 27.19 m.
A c B
a
c
senC = ⇒ c = a ⋅ senC = 30 ⋅ sen25º = 12.68 m.
a
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19. Teorema del Seno
C
h h = a ⋅ senB
senB =
a
h
b a senA = h = b ⋅ senA
h b
m n •Igualando la h en ambas ecuaciones
A c B
a ⋅ senB = b ⋅ senA
a b
=
senA senB
a b c
Y en general se tiene: = =
senA senB senC
TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y
el seno del ángulo opuesto es constante ……
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20. Teorema del Seno
•…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita
al triángulo.
Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos
C y abarcar el mismo arco de circunferencia.
90º D En el triángulo ABC:
b a
a b c
2R = =
senA senB senC
A
c B
En el triángulo ADC:
b b 2R
= =
senB senD sen90º
Por lo tanto: a b c 2R
= = = = 2R
senA senB senC sen90º
Maia B e o
r no nit

21. Teorema del Coseno
C
b a m
h cos A = ⇒ m = b ⋅ cos A
b
m n
A
H B n = c −m
c
n 2 = (c − m) 2 = c 2 + m 2 − 2cm = c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA
a 2 = h 2 + n 2 = b 2 − m 2 + n 2 = b 2 − b 2 ⋅ cos 2 A + c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA
Para cualquier lado queda:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Si el triángulo es rectángulo
queda el Teorema de b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
Pitágoras.
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r no nit
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C

22. Resolución de triángulos
cualesquiera
Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y
sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de C
ellos.
a
b
Casos que pueden presentarse: B
I. Conocer los tres lados c
II. Conocer dos lados y el ángulo A
comprendido
III. Conocer dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos
IV. Conocer un lado y los dos ángulos
adyacentes
Maia B e o
r no nit

23. I. Conocer los tres lados
Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C
a
b
B
Con el teorema del Coseno: c
2 2 2 2 2 2
A
b +c −a 22 + 17 − 15
cosA = = = 0.7326 ⇒ A = arccos(0.7326) = 42º 53' 43' '
2bc 2 ⋅ 22 ⋅ 17
a 2 + c 2 − b 2 15 2 + 17 2 − 22 2
cosB = = = 0.0588 ⇒ B = arccos(0.0588) = 86º 37' 45' '
2ac 2 ⋅ 15 ⋅ 17
a 2 + b 2 − c 2 15 2 + 22 2 − 17 2
cosC = = = 0.6364 ⇒ C = arccos(0.6364) = 50º 28' 34' '
2ab 2 ⋅ 15 ⋅ 22
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r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

24. II. Conocer dos lados y el ángulo
comprendido
A
Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b c
C a B
Con el teorema del Coseno calculamos c:
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 10 2 + 7 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 7 ⋅ cos 30º ⇒ c = 5.27 dm
Con el teorema del Seno hallamos B:
b c b 7  41º 36' 20' '
= ⇒ senB = senC = sen30º = 0.664 ⇒ B = arcsen(0.664) = 
senB senC c 5.27 138º 23' 40' '
Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’:
y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’
Maia B e o
r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

25. III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto
a uno de ellos
Conocemos los lados a y b y el ángulo A.
En este caso hemos de contemplar tres posibilidades.
Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro
triángulo. Puede ocurrir:
III.3 a > h
b
III.2 a = h
III.1 a < h h a
b a b
A
h h a
III.3.1 a > h y a < b
A A
b
III.3.2 a > h y a > b
b a h
a
h a b h A
A
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r no nit A Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

26. Ejemplo III.1 a<h
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO
a=7
20=b
10=h
30º=A
c
Volver al caso III
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r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

27. Ejemplo III.2 a=h
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
C B = 90º, C = 90º-A = 60º
cosA = c/b = c/20
20=b 10=h a=10
c = 20.cosA = 17.32 m.
A=30º
c B
Volver al caso III
Maia B e o
r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

28. Ejemplo III.3.1 a > h y a < b
Resuelve el triángulo del que se conoce:
a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES.
a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)  41º 48' 37' '
= ⇒ senB = = = 0.66 ⇒ B = 
senA senB a 15 138 º 11' 23' '
20=b 20=b
h=10 a=15 h=10
15=a
A=30º c B A=30º c B
B agudo B obtuso
C = 180-A-B = 108º11’23’’ C = 180-A-B = 11º48’37’’
c=(a.senC)/senA= 28.50 m. c=(a.senC)/senA= 6.14 m.
Volver al caso III
Maia B e o
r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

29. Ejemplo III.3.2 a > h y a > b
C
Resuelve el triángulo del que se conoce:
b a
a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º
h
•Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
•Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. A c B
a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)
= ⇒ senB = = = 0.4 ⇒ B = 23º 34' 42' ' C = 180 − A − B = 126 º25'19' '
senA senB a 25
a ⋅ senC C
c= = 40.23 m.
senA
a b
Resuelve el triángulo del que se conoce: h
a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º
B c A
•Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
•Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN.
a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)
= ⇒ senB = = = 0.4 ⇒ B = 23º 34' 42' ' C = 180 − A − B = 6º25'18' '
senA senB a 25
a ⋅ senC
c= = 5.59 m.
senA Volver al caso III
Maia B e o
r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera

30. IV. Conocer un lado y los dos ángulos
adyacentes
Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. B
a
c
Calculamos A = 180º – B – C = 105º
A b C
Con el teorema del Seno:
 10 ⋅ sen45º
a b c 10 b c b = sen105 º = 7.32 dm.
= = ⇒ = = ⇒
senA senB senC sen105 º sen45 º sen30 º 10 ⋅ sen30 º
c = = 5.18 dm.
 sen105 º
Maia B e o
r no nit Volver a resolución de
triángulos cualesquiera