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Departamento de Matemáticas




                    Trigonometría
                         1º Bachillerato C.N.S. y T.

                                   •Razones trigonométricas
                         •Relaciones entre las razones trigonométricas
                  •Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos
                                           principales
                          •Representación en la circunferencia unidad
                             •Signo de las razones trigonométricas
                •Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos:
                                 opuestos, complementarios, …
                             •Resolución de triángulos rectángulos
                                       •Teorema del Seno
                                      •Teorema del Coseno
                             •Resolución de triángulos cualesquiera


Maia B e o
  r no nit
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS


                                                 b
                                          senα =
b
                       a                         a
                                                  c
                                          cos α =
                           α                      a
                   c                          b senα
                                       tan α = =
                                              c cos α
             Y sus inversas:


          a   1                       a   1              c 1
 cos ecα = =                   sec α = =         cot gα = =
          b senα                      c cos α            b tgα
Maia B e o
  r no nit
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS


                                                 a
                             b

                                                         α
                                             c
                                         2                   2
                                   b c    b2 + c2 a 2
             ( senα ) + ( cosα ) =   +   = 2 = 2 = 1
                     2           2

                                   a a      a     a

                        senα 
    1 + ( tanα ) = 1 + 
                2                 ( cosα ) + ( senα ) = 1 = sec 2 α
                                     2               2           2

                               =
                        cosα         ( cosα ) 2      ( cosα ) 2

1 + ( cotgα )
                 2         cosα 
                     = 1+         =
                                     ( senα ) + ( cosα ) = 1 = cos ec 2α
                                     2           2               2

                                 
                           senα          ( senα ) 2     ( senα ) 2
Maia B e o
  r no nit
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
                   ÁNGULOS PRINCIPALES

             α   0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º
                     1
  sen            0          2    3    1   0    -1   0
                     2     2    2
  cos            1     3    2   1     0   -1   0    1
                      2    2    2
  tg             0     3   1     3    ∃   0    ∃    0
                      3
  cosec          ∃   2     2
                                2 3   1   ∃    -1   ∃
                                 3
  sec            1   2 3
                           2    2     ∃   -1   ∃    1
                      3
  cotg           ∃    3    1      3   0   ∃    0    ∃
                                 3
Maia B e o
  r no nit
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
                    UNIDAD, radio = 1
α    en el primer cuadrante
                              90º
             0º < α < 90º                       cotgα



                                                              cosecα


                                         secα
                                                        tgα
                                                senα
                                     α   cosα
                180º                                          0º




                              270º

Maia B e o
  r no nit
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
                    UNIDAD, radio = 1
       β en el segundo cuadrante             90º
          90º < β < 180º       cotgβ




                                    cosecβ


                             senβ
                                                β

                                    cosβ
             180º                                                 0º



                                                    secβ

                                                           tanβ




                                             270º

Maia B e o
  r no nit
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
                    UNIDAD, radio = 1

                                         90º
                                                          cotgγ



                                                                         cosecγ


                                                   secγ

                                                                  tanγ
                                               γ
               180º               cosγ
                                                                         0º
                           senγ




         γ   en el tercer cuadrante
                                         270º
              180º < γ < 270º
Maia B e o
  r no nit
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
                    UNIDAD, radio = 1

                             90º
                    cotgδ




                    cosecδ



                                δ

             180º                                             0º
                                    cosδ

                                           senδ
                                                       tanδ
                                    secδ




                             270º
                                           δ      en el cuarto cuadrante
                                                    270º < δ < 360º
Maia B e o
  r no nit
SIGNO DE LAS RAZONES
                      TRIGONOMÉTRICAS
Seno y Cosecante

                   + +
                   _ _         Coseno y Secante

                                                  _
                                                    +
                                                  _ +
              Tangente y
              Cotangente
                           _
                                 +
                                 _
                           +
Maia B e o
  r no nit
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
                        ÁNGULOS OPUESTOS

             •Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a.
                                                         sen (-a) = -sen a
                                                         cos (-a) =    cos a
                                                           tg (-a) =   -tg a
                                                        cosec (-a) = -cosec a
                                                          sec (-a) = sec a
                              a                          cotg (-a) = -cotg a
                               -a
                                             EJEMPLO:
                                                                                        1
                                                 sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º = −
                                                                                        2
                                                                                      3
                                                 cos 330º = cos (-30º) = cos 30º   =
                                                                                     2
                                                                                       3
                                                 tg 330º =    tg (-30º) = -tg 30º =−
                                                                                      3

Maia B e o
  r no nit                          Calcula las demás razones trigonométricas
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
                    ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

             •Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.
                                                     sen (90º-a) = cos a
                                                    cos (90º-a) = sen a
                                                            sen(90º −a) cosa
                                           tg (90º-a) =                =     =     cotga
                                                            cos(90º −a) sena
                                                          cosec(90º-a) = sec a
                                                            sec(90º-a) = cosec a
                                                           cotg(90º-a) = tg a
                     90º-a
                        a                    EJEMPLO:                                    3
                                                              sen 60º = cos 30º =
                                                                                        2
                                                                                        1
                                                              cos 60º = sen 30º     =
                                                                                        2

                                                              tg 60º =    tg30º      = 3


Maia B e o
  r no nit                       Calcula las demás razones trigonométricas
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
                     ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

         •Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.
                                                sen (180º-a) =     sen a
                                                cos (180º-a) =    -cos a
                                                 tg (180º-a) =    -tg a
                                               cosec (180º-a) = cosec a
                                                 sec (180º-a) = -sec a
                  180º-a
                           a                    cotg (180º-a) = -cotg a

                                          EJEMPLO:                                 1
                                                         sen 150º = sen 30º =
                                                                                   2
                                                                               3
                                                         cos 150º = -cos 30º = −
                                                                              2
                                                                               3
                                                         tg 150º = -tg 30º =−
                                                                              3

Maia B e o
  r no nit                     Calcula las demás razones trigonométricas
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS
                   ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

             •Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.
                                                   sen (180º+a) =    -sen a
                                                   cos (180º+a) =    -cos a
                                                    tg (180º+a) =      tg a
                                                  cosec (180º+a) = -cosec a
                                                    sec (180º+a) = -sec a
                     180º+a
                              a                    cotg (180º+a) = cotg a
                                                EJEMPLO:
                                                                                     1
                                                           sen 210º = -sen 30º = −
                                                                                     2
                                                                                    3
                                                           cos 210º = -cos 30º = −
                                                                                   2
                                                                                   3
                                                             tg 210º = tg 30º   =
                                                                                  3

Maia B e o
  r no nit                        Calcula las demás razones trigonométricas
Resolución de triángulos rectángulos
  Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos
 sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo       C
 dos de ellos.


                                                                      a
                                                        b
     Casos que pueden presentarse:
             I. Conocer un cateto y la hipotenusa               90º

             II. Conocer un cateto y un ángulo          A             c   B
             agudo
             III. Conocer los dos catetos
             IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo
             agudo


Maia B e o
  r no nit
I. Conocer un cateto y la hipotenusa

                                                       C
        Datos: a = 25 cm., b = 16 cm.

        Teorema de Pitágoras:
                                                                 a
             c 2 = a 2 − b 2 = 25 2 − 16 2 = 369   b
             c = 369 = 19.21 cm.
                                                           90º
        Definición de seno:
                                                   A             c   B
                      b 16
              senB =    =    = 0.64
                      a 25
              B = arcsen(0.64) = 39º 47' 31' '
              C = 90º −B = 50º 12' 29' '

Maia B e o
  r no nit
II. Conocer un cateto y un ángulo agudo

                                                                         C
        Datos: C = 35º, b = 16 cm.


        Los ángulos B y C son complementarios:
                                                                                   a
                                                                     b
                      B = 90º - C = 90º - 35º = 55º

        Definición de seno y coseno de C:                                    90º


             cosC =
                      b
                        ⇒a=
                              b
                                =
                                   16
                                        = 19.53 cm.
                                                                     A             c   B
                      a     cosC cos35º


                      c
             senC =     ⇒ c = a ⋅ senC = 19.53 ⋅ sen35º = 11.20 cm
                      a



Maia B e o
  r no nit
III. Conocer los dos catetos

                                                       C
        Datos: b = 16 m. c = 12 m.

        Teorema de Pitágoras:
                                                                 a
             a 2 = b 2 + c 2 = 16 2 + 12 2 = 400   b
             a = 400 = 20 m.
                                                           90º
        Definición de tangente:
                                                   A             c   B
                      b 16
                tgB =    =    = 1.33
                      c 12
                B = arctg(1.33) = 53º 7' 48' '
                C = 90º −B = 36º 52' 12' '

Maia B e o
  r no nit
IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo
                      agudo
                                                                         C
        Datos: a = 30 m. C = 25º


        Los ángulos B y C son complementarios:
                                                                                   a
                                                                     b
                      B = 90º - C = 90º - 25º = 65º

        Definición de seno y coseno de C:                                    90º


             cosC =
                      b
                        ⇒ b = a ⋅ cos C = 30 ⋅ cos 25 º = 27.19 m.
                                                                     A             c   B
                      a

                      c
             senC =     ⇒ c = a ⋅ senC = 30 ⋅ sen25º = 12.68 m.
                      a




Maia B e o
  r no nit
Teorema del Seno
                         C
                                                h       h = a ⋅ senB
                                         senB =
                                                a
                                                h
             b                   a       senA =         h = b ⋅ senA
                     h                          b

                 m           n           •Igualando la h en ambas ecuaciones
     A               c               B
                                                    a ⋅ senB = b ⋅ senA
                                                       a       b
                                                           =
                                                    senA senB
                                              a    b    c
         Y en general se tiene:                 =    =
                                            senA senB senC

   TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y
           el seno del ángulo opuesto es constante ……
Maia B e o
  r no nit
Teorema del Seno
   •…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita
   al triángulo.
                               Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos
           C                y abarcar el mismo arco de circunferencia.

                 90º         D   En el triángulo ABC:
         b             a
                                                    a    b    c
                 2R                                   =    =
                                                  senA senB senC
  A
                   c         B
                                  En el triángulo ADC:

                                                 b    b    2R
                                                   =    =
                                               senB senD sen90º

             Por lo tanto:         a    b    c    2R
                                     =    =    =       = 2R
                                 senA senB senC sen90º
Maia B e o
  r no nit
Teorema del Coseno
                           C



             b                        a                             m
                       h                                 cos A =      ⇒ m = b ⋅ cos A
                                                                    b

                 m                n
     A
                          H                B                    n = c −m
                      c

                     n 2 = (c − m) 2 = c 2 + m 2 − 2cm = c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA
                     a 2 = h 2 + n 2 = b 2 − m 2 + n 2 = b 2 − b 2 ⋅ cos 2 A + c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA

       Para cualquier lado queda:
                                                       a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
       Si el triángulo es rectángulo
     queda el Teorema de                               b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
     Pitágoras.
Maia B e o
  r no nit
                                                       c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
Resolución de triángulos
                      cualesquiera
   Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y
 sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de           C
 ellos.
                                                                       a
                                                           b
     Casos que pueden presentarse:                                         B
             I. Conocer los tres lados                             c
             II. Conocer dos lados y el ángulo         A
             comprendido
             III. Conocer dos lados y el ángulo
             opuesto a uno de ellos
             IV. Conocer un lado y los dos ángulos
             adyacentes
Maia B e o
  r no nit
I. Conocer los tres lados

        Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m.                                        C

                                                                                                a
                                                                           b
                                                                                                          B
        Con el teorema del Coseno:                                                       c

                 2    2    2      2     2     2
                                                                      A
               b +c −a          22 + 17 − 15
        cosA =                =                   = 0.7326 ⇒ A = arccos(0.7326) = 42º 53' 43' '
                    2bc            2 ⋅ 22 ⋅ 17
               a 2 + c 2 − b 2 15 2 + 17 2 − 22 2
        cosB =                =                   = 0.0588 ⇒ B = arccos(0.0588) = 86º 37' 45' '
                    2ac            2 ⋅ 15 ⋅ 17
               a 2 + b 2 − c 2 15 2 + 22 2 − 17 2
        cosC =                =                   = 0.6364 ⇒ C = arccos(0.6364) = 50º 28' 34' '
                    2ab            2 ⋅ 15 ⋅ 22

Maia B e o
  r no nit                                                                       Volver a resolución de
                                                                               triángulos cualesquiera
II. Conocer dos lados y el ángulo
                        comprendido
                                                                                               A

        Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º.                                   b                           c


                                                C                                          a                              B
             Con el teorema del Coseno calculamos c:
                   c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 10 2 + 7 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 7 ⋅ cos 30º ⇒ c = 5.27 dm

             Con el teorema del Seno hallamos B:
           b    c          b         7                                        41º 36' 20' '
             =     ⇒ senB = senC =      sen30º = 0.664 ⇒ B = arcsen(0.664) = 
         senB senC         c       5.27                                      138º 23' 40' '

             Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’:
                         y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’



Maia B e o
  r no nit                                                                                       Volver a resolución de
                                                                                               triángulos cualesquiera
III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto
                  a uno de ellos
           Conocemos los lados a y b y el ángulo A.
           En este caso hemos de contemplar tres posibilidades.
           Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro
           triángulo. Puede ocurrir:
                                                           III.3 a > h
                                                                         b
                                     III.2 a = h
          III.1 a < h                                                            h      a
            b            a           b
                                                              A
                     h                       h a

                                                                  III.3.1 a > h y a < b
A                                A
                                                                         b
                             III.3.2 a > h y a > b
                 b           a                                                   h
                                                                             a
                         h                   a     b   h      A

    A
    Maia B e o
      r no nit                           A                              Volver a resolución de
                                                                      triángulos cualesquiera
Ejemplo III.1 a<h
    Resuelve el triángulo del que se conoce:
         a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º
    Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
    Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO




                                         a=7
                           20=b
                                  10=h



                   30º=A

                                  c

                                                                          Volver al caso III
Maia B e o
  r no nit                                       Volver a resolución de
                                               triángulos cualesquiera
Ejemplo III.2 a=h
    Resuelve el triángulo del que se conoce:
         a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º
    Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
    Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

                                 C      B = 90º, C = 90º-A = 60º


                                        cosA = c/b = c/20
                 20=b       10=h a=10
                                        c = 20.cosA = 17.32 m.

         A=30º
                        c       B


                                                                            Volver al caso III
Maia B e o
  r no nit                                         Volver a resolución de
                                                 triángulos cualesquiera
Ejemplo III.3.1 a > h y a < b
     Resuelve el triángulo del que se conoce:
          a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º
     Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
     Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES.
           a    b           b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)               41º 48' 37' '
             =     ⇒ senB =         =            = 0.66 ⇒ B = 
         senA senB               a      15                    138 º 11' 23' '

                          20=b                             20=b

                                 h=10     a=15                      h=10
                                                             15=a

               A=30º       c              B      A=30º   c B
              B agudo                            B obtuso
              C = 180-A-B = 108º11’23’’          C = 180-A-B = 11º48’37’’
              c=(a.senC)/senA= 28.50 m.          c=(a.senC)/senA= 6.14 m.

                                                                                          Volver al caso III
Maia B e o
  r no nit                                                       Volver a resolución de
                                                               triángulos cualesquiera
Ejemplo III.3.2 a > h y a > b
                                                                                                                     C
  Resuelve el triángulo del que se conoce:
                                                                                                        b                          a
                  a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º
                                                                                                                 h
•Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
•Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN.                                             A                         c                        B
    a        b            b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)
          =      ⇒ senB =         =            = 0.4 ⇒ B = 23º 34' 42' '       C = 180 − A − B = 126 º25'19' '
  senA senB                    a      25
      a ⋅ senC                                                                                                           C
  c=           = 40.23 m.
       senA
                                                                                               a       b
  Resuelve el triángulo del que se conoce:                                                                       h

                  a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º
                                                  B                                    c    A
•Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.
•Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN.
        a        b            b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)
              =      ⇒ senB =         =            = 0.4 ⇒ B = 23º 34' 42' '    C = 180 − A − B = 6º25'18' '
     senA senB                     a      25
          a ⋅ senC
     c=            = 5.59 m.
           senA                                                                                                          Volver al caso III
  Maia B e o
    r no nit                                                                       Volver a resolución de
                                                                                 triángulos cualesquiera
IV. Conocer un lado y los dos ángulos
                   adyacentes

        Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º.                    B
                                                                              a
                                                                  c
        Calculamos A = 180º – B – C = 105º
                                                                    A             b                  C

        Con el teorema del Seno:
                                                            10 ⋅ sen45º
               a    b    c      10       b       c      b = sen105 º = 7.32 dm.
                 =    =     ⇒         =       =        ⇒
             senA senB senC   sen105 º sen45 º sen30 º       10 ⋅ sen30 º
                                                        c =              = 5.18 dm.
                                                             sen105 º




Maia B e o
  r no nit                                                                  Volver a resolución de
                                                                          triángulos cualesquiera

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  • 1. Departamento de Matemáticas Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. •Razones trigonométricas •Relaciones entre las razones trigonométricas •Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales •Representación en la circunferencia unidad •Signo de las razones trigonométricas •Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … •Resolución de triángulos rectángulos •Teorema del Seno •Teorema del Coseno •Resolución de triángulos cualesquiera Maia B e o r no nit
  • 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b senα = b a a c cos α = α a c b senα tan α = = c cos α Y sus inversas: a 1 a 1 c 1 cos ecα = = sec α = = cot gα = = b senα c cos α b tgα Maia B e o r no nit
  • 3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS a b α c 2 2 b c b2 + c2 a 2 ( senα ) + ( cosα ) =   +   = 2 = 2 = 1 2 2 a a a a  senα  1 + ( tanα ) = 1 +  2 ( cosα ) + ( senα ) = 1 = sec 2 α 2 2 2  =  cosα  ( cosα ) 2 ( cosα ) 2 1 + ( cotgα ) 2  cosα  = 1+  = ( senα ) + ( cosα ) = 1 = cos ec 2α 2 2 2   senα  ( senα ) 2 ( senα ) 2 Maia B e o r no nit
  • 4. VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES α 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º 1 sen 0 2 3 1 0 -1 0 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 -1 0 1 2 2 2 tg 0 3 1 3 ∃ 0 ∃ 0 3 cosec ∃ 2 2 2 3 1 ∃ -1 ∃ 3 sec 1 2 3 2 2 ∃ -1 ∃ 1 3 cotg ∃ 3 1 3 0 ∃ 0 ∃ 3 Maia B e o r no nit
  • 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 α en el primer cuadrante 90º 0º < α < 90º cotgα cosecα secα tgα senα α cosα 180º 0º 270º Maia B e o r no nit
  • 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 β en el segundo cuadrante 90º 90º < β < 180º cotgβ cosecβ senβ β cosβ 180º 0º secβ tanβ 270º Maia B e o r no nit
  • 7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º cotgγ cosecγ secγ tanγ γ 180º cosγ 0º senγ γ en el tercer cuadrante 270º 180º < γ < 270º Maia B e o r no nit
  • 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º cotgδ cosecδ δ 180º 0º cosδ senδ tanδ secδ 270º δ en el cuarto cuadrante 270º < δ < 360º Maia B e o r no nit
  • 9. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Seno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + _ + Maia B e o r no nit
  • 10. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS •Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a a cotg (-a) = -cotg a -a EJEMPLO: 1 sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º = − 2 3 cos 330º = cos (-30º) = cos 30º = 2 3 tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º =− 3 Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 11. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS •Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a sen(90º −a) cosa tg (90º-a) = = = cotga cos(90º −a) sena cosec(90º-a) = sec a sec(90º-a) = cosec a cotg(90º-a) = tg a 90º-a a EJEMPLO: 3 sen 60º = cos 30º = 2 1 cos 60º = sen 30º = 2 tg 60º = tg30º = 3 Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS •Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a tg (180º-a) = -tg a cosec (180º-a) = cosec a sec (180º-a) = -sec a 180º-a a cotg (180º-a) = -cotg a EJEMPLO: 1 sen 150º = sen 30º = 2 3 cos 150º = -cos 30º = − 2 3 tg 150º = -tg 30º =− 3 Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 13. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º •Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a cosec (180º+a) = -cosec a sec (180º+a) = -sec a 180º+a a cotg (180º+a) = cotg a EJEMPLO: 1 sen 210º = -sen 30º = − 2 3 cos 210º = -cos 30º = − 2 3 tg 210º = tg 30º = 3 Maia B e o r no nit Calcula las demás razones trigonométricas
  • 14. Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo C dos de ellos. a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer un cateto y la hipotenusa 90º II. Conocer un cateto y un ángulo A c B agudo III. Conocer los dos catetos IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo Maia B e o r no nit
  • 15. I. Conocer un cateto y la hipotenusa C Datos: a = 25 cm., b = 16 cm. Teorema de Pitágoras: a c 2 = a 2 − b 2 = 25 2 − 16 2 = 369 b c = 369 = 19.21 cm. 90º Definición de seno: A c B b 16 senB = = = 0.64 a 25 B = arcsen(0.64) = 39º 47' 31' ' C = 90º −B = 50º 12' 29' ' Maia B e o r no nit
  • 16. II. Conocer un cateto y un ángulo agudo C Datos: C = 35º, b = 16 cm. Los ángulos B y C son complementarios: a b B = 90º - C = 90º - 35º = 55º Definición de seno y coseno de C: 90º cosC = b ⇒a= b = 16 = 19.53 cm. A c B a cosC cos35º c senC = ⇒ c = a ⋅ senC = 19.53 ⋅ sen35º = 11.20 cm a Maia B e o r no nit
  • 17. III. Conocer los dos catetos C Datos: b = 16 m. c = 12 m. Teorema de Pitágoras: a a 2 = b 2 + c 2 = 16 2 + 12 2 = 400 b a = 400 = 20 m. 90º Definición de tangente: A c B b 16 tgB = = = 1.33 c 12 B = arctg(1.33) = 53º 7' 48' ' C = 90º −B = 36º 52' 12' ' Maia B e o r no nit
  • 18. IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo C Datos: a = 30 m. C = 25º Los ángulos B y C son complementarios: a b B = 90º - C = 90º - 25º = 65º Definición de seno y coseno de C: 90º cosC = b ⇒ b = a ⋅ cos C = 30 ⋅ cos 25 º = 27.19 m. A c B a c senC = ⇒ c = a ⋅ senC = 30 ⋅ sen25º = 12.68 m. a Maia B e o r no nit
  • 19. Teorema del Seno C h h = a ⋅ senB senB = a h b a senA = h = b ⋅ senA h b m n •Igualando la h en ambas ecuaciones A c B a ⋅ senB = b ⋅ senA a b = senA senB a b c Y en general se tiene: = = senA senB senC TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante …… Maia B e o r no nit
  • 20. Teorema del Seno •…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos C y abarcar el mismo arco de circunferencia. 90º D En el triángulo ABC: b a a b c 2R = = senA senB senC A c B En el triángulo ADC: b b 2R = = senB senD sen90º Por lo tanto: a b c 2R = = = = 2R senA senB senC sen90º Maia B e o r no nit
  • 21. Teorema del Coseno C b a m h cos A = ⇒ m = b ⋅ cos A b m n A H B n = c −m c n 2 = (c − m) 2 = c 2 + m 2 − 2cm = c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA a 2 = h 2 + n 2 = b 2 − m 2 + n 2 = b 2 − b 2 ⋅ cos 2 A + c 2 + b 2 ⋅ cos 2 A − 2c ⋅ b ⋅ cosA Para cualquier lado queda: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B Pitágoras. Maia B e o r no nit c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
  • 22. Resolución de triángulos cualesquiera Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de C ellos. a b Casos que pueden presentarse: B I. Conocer los tres lados c II. Conocer dos lados y el ángulo A comprendido III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes Maia B e o r no nit
  • 23. I. Conocer los tres lados Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C a b B Con el teorema del Coseno: c 2 2 2 2 2 2 A b +c −a 22 + 17 − 15 cosA = = = 0.7326 ⇒ A = arccos(0.7326) = 42º 53' 43' ' 2bc 2 ⋅ 22 ⋅ 17 a 2 + c 2 − b 2 15 2 + 17 2 − 22 2 cosB = = = 0.0588 ⇒ B = arccos(0.0588) = 86º 37' 45' ' 2ac 2 ⋅ 15 ⋅ 17 a 2 + b 2 − c 2 15 2 + 22 2 − 17 2 cosC = = = 0.6364 ⇒ C = arccos(0.6364) = 50º 28' 34' ' 2ab 2 ⋅ 15 ⋅ 22 Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 24. II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido A Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b c C a B Con el teorema del Coseno calculamos c: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 10 2 + 7 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 7 ⋅ cos 30º ⇒ c = 5.27 dm Con el teorema del Seno hallamos B: b c b 7  41º 36' 20' ' = ⇒ senB = senC = sen30º = 0.664 ⇒ B = arcsen(0.664) =  senB senC c 5.27 138º 23' 40' ' Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’: y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’ Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 25. III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Conocemos los lados a y b y el ángulo A. En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir: III.3 a > h b III.2 a = h III.1 a < h h a b a b A h h a III.3.1 a > h y a < b A A b III.3.2 a > h y a > b b a h a h a b h A A Maia B e o r no nit A Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 26. Ejemplo III.1 a<h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO a=7 20=b 10=h 30º=A c Volver al caso III Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 27. Ejemplo III.2 a=h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO. C B = 90º, C = 90º-A = 60º cosA = c/b = c/20 20=b 10=h a=10 c = 20.cosA = 17.32 m. A=30º c B Volver al caso III Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 28. Ejemplo III.3.1 a > h y a < b Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2)  41º 48' 37' ' = ⇒ senB = = = 0.66 ⇒ B =  senA senB a 15 138 º 11' 23' ' 20=b 20=b h=10 a=15 h=10 15=a A=30º c B A=30º c B B agudo B obtuso C = 180-A-B = 108º11’23’’ C = 180-A-B = 11º48’37’’ c=(a.senC)/senA= 28.50 m. c=(a.senC)/senA= 6.14 m. Volver al caso III Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 29. Ejemplo III.3.2 a > h y a > b C Resuelve el triángulo del que se conoce: b a a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º h •Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. •Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. A c B a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2) = ⇒ senB = = = 0.4 ⇒ B = 23º 34' 42' ' C = 180 − A − B = 126 º25'19' ' senA senB a 25 a ⋅ senC C c= = 40.23 m. senA a b Resuelve el triángulo del que se conoce: h a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º B c A •Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. •Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. a b b ⋅ senA 20 ⋅ (1/ 2) = ⇒ senB = = = 0.4 ⇒ B = 23º 34' 42' ' C = 180 − A − B = 6º25'18' ' senA senB a 25 a ⋅ senC c= = 5.59 m. senA Volver al caso III Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera
  • 30. IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. B a c Calculamos A = 180º – B – C = 105º A b C Con el teorema del Seno:  10 ⋅ sen45º a b c 10 b c b = sen105 º = 7.32 dm. = = ⇒ = = ⇒ senA senB senC sen105 º sen45 º sen30 º 10 ⋅ sen30 º c = = 5.18 dm.  sen105 º Maia B e o r no nit Volver a resolución de triángulos cualesquiera