transformada lineal

1. N Ú C L E O D E A N Z O A T E G U I

2. TRANSFORMACIONES LINEALES
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. ´
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Definición 3.1 Sean (V, +V, ·V) y (W, +W, ·W) dos K-espacios vectoriales. Una función
f: V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente amorfismo)
de V en W si cumple:
f (v +Vv0) = f(v) +W f(v0) ∀ v, v0 ∈ V.
ii) f (λ ·Vv) = λ ·W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

3. METODO DE GAUSS JORDAN
Se trata de una serie de algoritmos del algebra
lineal para determinar los resultados de un
sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices
e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para
resolver un sistema de ecuaciones y obtener las
soluciones por medio de la reducción del sistema
dado a otro que sea equivalente en el cual cada
una de las ecuaciones tendrá una incógnita
menos que la anterior

4. transformación lineal 17.1 Sea T : V
→ W una transformación lineal. El
núcleo T es el subconjunto
formado por todos los vectores en
V que se mapean a cero en W.
Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}

5. Sea T : V → W una transformacion lineal.
Si T(V ) = Im(T) ⊂ W
tiene dimension finita,
se dice que T tiene rango finito
y dim T(V )
se llama el rango
de T y se denota dim T(V ) = r(T).

6.  NULIDAD DE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL). SEAN
V, W ESPACIOS VECTORIALES
SOBRE UN CAMPO F Y SEA T ∈ L(V,
W). LA NULIDAD DE T SE DEFINE
COMO LA DIMENSIÓN DEL NÚCLEO
DE T: NUL(T) = DIM(KER(T)).
 El rango de una transformación
lineal es igual al rango de la
matriz asociada, y la nulidad se
puede calcular por la formula
nul(T) = dim (dominio) − r(T).
Para determinar si T es inyectiva,
suprayectiva, invertible,
aplicamos las reglas: T es
inyectiva ⇐⇒ nul(T) = 0; T es
suprayectiva ⇐⇒ r(T) =
dim(contradominio); T es
invertible ⇐⇒ T es inyectiva y
suprayectiva.

7.  Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T
se define como el conjunto de todos los valores de la aplicaci´on T: im(T) := w ∈ W :
∃v ∈ V tal que w = T(v) .
 PARTE DE DEMOSTRACION. SE APLICA EL CRITERIO DE SUBESPACIO. SE DEMUESTRA QUE EL
CONJUNTO IM(T) ES CERRADO BAJO LA ADICION Y BAJO LA MULTIPLICACION POR ESCALARES,
ADEMAS CONTIENE AL VECTOR CERO. MOSTREMOS QUE EL CONJUNTO IM(T) ES CERRADO
BAJO LA ADICION. SEAN W1, W2 ∈ IM(T). POR LA DEFINICION DE LA IMAGEN, EXISTEN V1, V2 ∈
V TALES QUE W1 = T(V1), W2 = T(V2). POR LA LINEALIDAD DE T, T(V1 + V2) = T(V1) + T(V2) = W1 +
W2. LOGRAMOS ENCONTRAR UN VECTOR X = V1 + V2 TAL QUE T(X) = W1 + W2. POR LA
DEFINICION DE LA IMAGEN, ESTO IMPLICA QUE W1 + W2 ∈ IM(T). NUCLEO E IMAGEN DE UNA
TRANSFORMACION LINEAL

8. o CUALQUIER TRANSFORMACIÓN LINEAL T: V ® W PUEDE REPRESENTARSE
MEDIANTE UNA MATRIZ: T(X) = A X. LA MATRIZ A DEPENDERÁ DE LAS BASES
ELEGIDAS PARA V Y W. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
QUEDA DETERMINADA CUANDO SE CONOCEN UNA BASE ORDENADA DE V,
UNA BASE ORDENADA DE W Y LOS TRANSFORMADOS DE LA BASE DE V, EN
LA BASE DE W.
SUPONGAMOS QUE EL ESPACIO V TIENE UNA BASE {V1, ..., VN} Y EL ESPACIO
W TIENE UNA BASE {W1, ..., WM}. ENTONCES CUALQUIER TRANSFORMACIÓN
LINEAL DE V EN W SE REPRESENTA POR UNA MATRIZ AM X N.
SI T (VI ) = AI1 W1 + .... + AIM WM, ENTONCES LA COLUMNA I DE A ES (AI1 .... AIM )T
 Relacionar las matrices con la
transformación lineales

9. EJEMPLO
A. Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando
como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen.
Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.
Matriz A
Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

10. b) ¿ Matriz B?
Transformado de (1, 0) = (-1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:
EJEMPLO

11. EJEMPLO
Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal
P5  P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en
P3 (polinomios de grado ≤4 en polinomios de
grado ≤ 2).
Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}
Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)
Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

12. Conclusión
• Existe una clase especial de funciones
llamada transformaciones lineales, el cual se ven
frecuentemente en el álgebra lineal. Las mismas se
aplican a las ciencias físicas, ciencias sociales, economía,
comercio y en las ciencias de computadoras.

13. Bibliografía
Algebra lineal, Autor: Hector Jairo Martinez y Ana María Sanabria, Segundo Semestre 2008.
Link : https://viterick.files.wordpress.com/2010/10/algebra-lineal_martinez.pdf
Instituto de Matemática, Universidad Austral de chile.
Link: http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/21c.-TRANSFORMACIONES-LINEALES-3.pdf
Transformada Lineal, Publicado 2016, Autor: Ing Aldo Jimenez Arteaga
Link: http://samhain.softgot.com/algebralineal/notasclase/transformaciones_lineales.pdf
Wikipedia
Publicado el 23 dic 2016 a las 22:47.

14. GRACIAS…!!!