Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica conceptos como proposiciones simples, valores de verdad, conectivos lógicos como la negación, conjunción y disyunción. Incluye tablas de verdad y ejemplos para ilustrar el uso de estos conceptos lógicos básicos. También menciona otros temas como conjuntos, números reales y complejos que serán desarrollados en secciones posteriores.

1. 1
Programa
1 Lógica
1.1 Introducción a la lógica. Proposiciones. Principio de no contradicción.
Principio del tercer excluido.
1.2 Conectivos Lógicos. Tablas de valores de verdad.
1.3 Proposiciones compuestas. Tautologías y contradicciones.
1.4 Predicados y Cuantificadores.
1.5 Métodos de demostración.7
2 Conjuntos
2.1 Definiciones Básicas. Representación de conjuntos.
2.2 Clasificación de conjuntos. Conjuntos numéricos. Intervalos.
2.3 Diagramas de Venn. Relaciones entre conjuntos. Intersecancia,
disyunción, inclusión, e igualdad.
2.4 Conjunto de partes de un conjunto. Operaciones con conjuntos. Unión,
intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.
2.5 Producto Cartesiano.
3 Los Números Reales
3.1 Los números reales. Axiomas de la suma y de la multiplicación.
3.2 Recta Real. Valor Absoluto. Distancia entre dos puntos.
3.3 Operaciones básicas con expresiones algebraicas.
3.4 Productos notables.
3.5 Factorización. Principales métodos de factorización.
3.6 Fracciones. Operaciones con fracciones.
3.7 Potenciación. Exponente natural, 0 (cero), negativo, fraccionario.
3.8 Leyes de la potenciación.
3.9 Radicación. Leyes de los radicales. Operaciones con radicales.
3.10 Racionalización de radicales.
3.11 Ecuaciones lineales. Solución analítica y representación gráfica.
3.12 Ecuaciones cuadráticas. Solución analítica y propiedades de las raíces.
Representación gráfica.
3.13 Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.
3.14 Métodos de resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2
incógnitas.
3.15 Axiomas de orden y propiedades de las desigualdades.
3.16 Resolución de inecuaciones con factores lineales y cuadráticos.
3.17 Problemas de aplicación de ecuaciones.
3.18 Resolución de inecuaciones con valor absoluto.
4 Números complejos
4.1 Números imaginarios curvos. Números complejos. Representación en el
plano.
4.2 Operaciones: Suma, diferencia, producto y división. Valor absoluto, forma
polar, teorema de Moiure.
5 Matrices-Determinantes

2. 2
5.1 Matrices definición. Operaciones y propiedades. Transpuesta. Tipos de
matrices.
5.2 Determinantes de matrices de orden 2, orden 3, y de orden n términos de
sus cofactores. Propiedades de los determinantes. Cálculo de
determinantes usando las propiedades.
5.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución por los métodos Gauss,
Gauss Jordan, regla de Kramer, inversa de una matriz (de F método de
Gauss Jordan, método de la matricidad adjunta).
Bibliografía Básica
1. Castillo-Toro (1998). Conjuntos, estructuras reales y complejas, Quito,
FEPON.
2. Swokowski-COLE (1992). Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. México grupo editorial Iberoamérica.
3. Demindovich (1980). Problemas y ejercicios de análisis matemáticos,
Moscú editorial MIR.
4. Álgebra y análisis de funciones elementales. Potapor-Alexandro-
Pasichenco, Mir (1986).
5. Algebra Lineal. Fondo educativo interamericano. Bogotá 1981.
6. Matrices Frank Ayres. Colección Shauns México (1983).
7. Smith Karl, introducción a la lógica editorial Iberoamérica. México 1991.

3. 3
LÓGICA MATEMÁTICA
Introducción
La lógica matemática es el estudio de métodos y principios para distinguir
cuando un razonamiento matemático es correcto o incorrecto.
Se puede considerar a la matemática como una disciplina constituida por una
cadena de afirmaciones sistemáticamente estructuradas. Estas pueden ser de
tres tipos: unas que se aceptan sin demostraciones llamadas axiomas, otras
cuya verdad debe ser demostrada llamada teorema y un tercer tipo al que
pertenecen las denominadas definiciones que no se demuestran y simplemente
asignan un significado a una palabra, a una expresión o introducen nueva
simbología o abreviaciones convenientes.
Cálculo Proposicional:
Proposición Simple:
Llamamos proposición simple a aquella de la cual puede decirse se es
verdadera o es falsa.
La proposición simple también se denomina enunciado u oración cerrada.
Las proposiciones simples las representamos o simbolizamos por las letras
minúsculas p, q, r, s, t. u. v…
Para toda proposición son válidos los siguientes principios.
Principio de no contradicción: Según este principio no puede ser verdadera y
falsa al mismo tiempo.
Principio del tercer excluido: Según este principio una proposición es verdadera
o es falsa, siempre se verifica uno de estos casos, no hay un tercero.
Ejemplo:
Proposiciones simples.
p: Juan Montalvo fue un escritor ecuatoriano.
q: 430

r: 222
2)( bababa 
s: xb
a abx loglog 
t: 73 
u: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a la hipotenusa es
igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los catetos
ejercicio: construir 10 proposiciones simples (5V y 5 F)
1) 5+5=10
2) 3-2=4
3) el perro maulla
4) 4÷2=3
5) Eugenio Espejo fue militar
6) la tierra gira alrededor de la luna
7) 8x8=64

4. 4
8) Manuela Sáenz nació en Ecuador.
9) Los aviones vuelan
10) La moneda actual del Ecuador es el dólar.
Valor de verdad de una proposición:
Se llama valor de verdad de una proposición a la verdad (V) o a la falsedad (F)
de su contenido.
Representamos el valor de verdad por el símbolo V(p) que se lee “v de p“ así el
valor de verdad de p es verdadero entonces este valor de verdad se escribiría
como: V(p)=V. Si en cambio el valor de verdad de p es falso este se escribirá
como V(p)=F.
ejemplo:
p: Juan Montalvo fue ecuatoriano V(p)=V
q: 3°=4 V(q)= F
r: 222
2)( bababa  V®= V
s: xb
a abx loglog  V(s)=V
t: 73  V(t)=F
u: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de a la hipotenusa es
igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los catetos. V(u)=F
otras afirmaciones tales como por ejemplo:
x es un real; 2x+1=1; x²+x-1=0; 2x-1<2; 1x
e ; tanx=0,5; logx=)1.1; etc.
Constituyen afirmaciones que no son verdaderas ni falsas ya que para saber su
valor de verdad deberíamos en vez de x dar un valor numérico, en
consecuencia este tipo de afirmaciones no son proposiciones simples más bien
se llaman este tipo de afirmaciones como enunciados u oraciones abiertas.
ejemplo: construir 10 enunciados abiertos
1) 5x+10=4
2) 8y≤3
3) 10x+2=7
4)
2
3
Seny
5) 7y-8=3
6) Y es un número imaginario
7) Juan es un niño
8)
2
8
cot 1

z
9) 5x≥-8
10) 4x
11)x+y+z=1

5. 5
otro tipo de expresiones tales como:
x
2x+1
12
 xx
2x-4
x
e
tanx
logx
azul
Estas no son proposiciones simples ya que no son verdaderas o falsas.
Además este tipo de proposiciones no son enunciados abiertos en
consecuencia este tipo de expresiones más bien las llamaremos expresiones
indeterminadas.
ejercicio: Construir 10 expresiones indeterminadas.
1) x
2) y+1
3) tanx
4) logy
5) z/5
6) 20/y
7) x
e
8) Colombia
9) Amarillo
10)Perro
Conectivos Lógicos
Los conectivos lógicos son símbolos de relación entre “proposiciones
simples”, para formar proposiciones compuestas.
Los conectivos lógicos también se llaman operadores lógicos.
Los conectivos lógicos utilizados son los siguientes.
1) “no” llamado negación
2) “y” llamado conjunción
3) “o” llamado disyunción. Nota: ese conectivo lógico puede hacer que se
o lo uno o lo otro que estamos relacionando al mismo tiempo.
4) “ó” llamado bidisyunción. Nota: ese conectivo lógico puede hacer que se
cumpla o lo uno o lo otro que estamos relacionando y nunca los dos al
mismo tiempo.

6. 6
5) “si…entonces…” llamado condicional.
6)”…si solo si…”;”…ssi…” llamado bicondicional.
Ejercicio: construir 6 proposiciones compuestas utilizando diferentes
lógicos.
1) Pablo no es buen estudiante.
2) Alberto está en mi casa y estudia.
3) Pedro estudia o escucha música.
4) El sol es amarillo ó blanco.
5) Si mi casa está cerca de la tuya entonces somos vecinos.
6) 2+3=5 si solo si 3=5-2.
Estudio del Conectivo Lógico “no”
Dada una proposición simple p, se puede formar otra proposición que se llama
negación a p, escribiendo “es falso que”, “no ocurre que”, “no es verdad que”.
Antes de p o, cuando es posible insertarlo en p la palabra “no”.
La negación de la proposición p que se denota por ~p=

p = p cambia el valor
de verdad de p, y se lee “no p”. A si:
Si V(p)=V, V(~p)=F
o Si V(p)=F, V(~p)=V
Estos resultados se resumen en la siguiente tabla denominada tabla de valores
de verdad de la proposición compuesta ~p:
p ~p
V
F
F
V
Ejercicio: Construir 2 proposiciones del tipo ~p una verdadera y otra falsa. Y
escriba cada una de ellas bajo 4 deferentes formas de lenguaje.
1) p: Juan es buen estudiante. V(p)= V
~p: Juan no es buen estudiante. V(~p)= F
~p: Es falso que Juan es buen estudiante.
~p: No es verdad que Juan es buen estudiante.
~p: No es cierto que Juan es buen estudiante.
2) p: Pablo no tiene todos los exámenes. V(p)= F
~p: Pablo tiene todos los exámenes. V(~p)= V

7. 7
~p: Es falso que Pablo tiene todos los exámenes.
~p: No es verdad que Pablo tiene todos los exámenes.
~p: No es cierto que Pablo tiene todos los exámenes.
Ejercicio: Realizar el ejercicio anterior utilizando desigualdades.
1) p: 8≥0 V(p)= V
~p: 8<0 V(p) V(~p)= F
~p: es falso que 8<0
~p: no es verdad que 8<0
~p: no es cierto que 8<0.
2) p: 5+4<2 V(p)= F
~p: 5+4≥2 V(p)= V
~p: es falso que 5+4<2
~p: no es verdad que 5+4<2
~p: no es cierto que 5+4<2
Estudio del conectivo Lógico “y”
Sean p.q 2 proposiciones simples lógicamente relacionables con este conectivo
lógico. La proposición compuesta resultante de relacionar esas proposiciones
simples con ese conectivo es “p y q”. La misma que se simboliza como
p^q=p.q.
Esa proposición compuesta es verdadera solo sí p y q son verdaderas. Siendo
en consecuencia esa proposición compuesta falsa en los demás casos.
Esto se resume en la siguiente tabla de valores de verdad para esta
proposición compuesta.
p q p^q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

8. 8
La proposición compuesta p^q se lee de las siguientes formas: p y q, p pero q,
p sin embargo q, p.q
Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo p^q una verdadera y
otra falsa y expresar cada uno de estas bajo 4 diferentes formas de lenguaje.
1)
p: Loja pertenece a Ecuador. V(p)= V
q: Lima pertenece a Perú. V(q)= V
(p^q): Loja pertenece a Ecuador y Lima pertenece a Perú. V(p^q)=V
(p^q): Loja pertenece a Ecuador pero Lima pertenece a Perú.
(p^q): Loja pertenece a Ecuador sin embargo Lima pertenece a Perú.
(p^q): Loja pertenece a Ecuador. Lima pertenece a Perú.
2)
p: 2+2=4 V(p)= V
q: 2+5<3 V(q)= F
p^q: 2+2=4 y 2+5<3 V(p^q)=F
p^q: 2+2=4 pero 2+5<3
p^q: 2+2=4 sin embargo 2+5<3
p^q: 2+2=4.2+5<3
Estudio del conectivo lógico “o”:
Sean p.q 2 proposiciones simples lógicamente comparables con este conectivo
lógico. La proposición compuesta resultante de esta comparación es “p o q” la
misma que se simboliza o se nota o se forma de la siguiente manera:
“poq”=pvq= p+q.
Esta proposición compuesta es verdadera si al menos una de las proposiciones
simples p,q es verdadera. Luego esta proposición compuesta será falsa si las
proposiciones simples p,q son falsas.
Esto implica la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición
compuesta.
p q pvq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F

9. 9
Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo pvq una verdadera y
otra falsa.
1)
p: 2º=1 V(p)= V
q:Log1=0 V(q)=V
pvq: 2º=1 o log1=0 V(pvq)= V
2)
p: 20 es un número primo V(p)= F
q: 3 es múltiplo de 5 V(q)= F
pvq: 20 es un número primo o 3 es múltiplo de 5. V(pvq)= F
Estudio del conectivo lógico “ó”:
Así mismo sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente comparables con
este conectivo. La proposición compuesta resultante de esta comparación es “p
o q”. La misma que se denota o simboliza como qvp

= pwq.
Esta proposición compuesta es verdadera únicamente cuando una de las 2
proposiciones simples p,q es verdadera en los demás casos esta proposición
compuesta es falsa. Esto implica la siguiente tabla de verdad para esta
proposición compuesta.
Esta proposición compuesta se lee p ó q= o p o q= (p o q) y no (p y q)
Ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo qvp

una verdadera
otra falsa y expresar cada una de estas bajo 3 tipos diferentes de lenguaje.
1)
p:2+2=5 V(p)= F
q:
3
6
3  V(q)= F
qvp

: 2+2=5 ó
3
6
3  V( qvp

)= F
qvp

:o 2+2=5 o
3
6
3 
qvp

: (2+2=5 o
3
6
3  ) y no (2+2=5 y
3
6
3  )
2)
p: 2+2=5 V(p)= F
q: 3+3=3x2 V(q)= V
qvp

: 2+2=5 ó 3+3=3x2 V( qvp

)=V
p q p

v q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F

10. 10
qvp

: o 2+2=5 o 3+2=3x2
qvp

: (2+2=5 o 3+3=3x2) y no (2+2=5 y 3+3=3x2)
Estudio del conectivo lógico “si…entonces…”
Sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este conectivo
lógico, la proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “si p
entonces q” la misma que se simboliza como p→q. esta proposición compuesta
es falsa solamente cuando q es falsa siendo p verdadera, esto implica que esta
proposición compuesta es verdadera en los demás casos.
En consecuencia la tabla de valores de verdad de esta proposición compuesta
es la siguiente.
p q p→q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Esta proposición compuesta se lee de las siguientes maneras.
p→q: “si p entonces q”; “p es suficiente para q”; “q es necesaria para p”; “si p,
q”; “p implica q”; “q si p”; “q siempre que p”; “p solo si q”; “ es falso que p y no q”
ejercicio: Construir 2 proposiciones compuestas del tipo p→q. una verdadera y
otra falsa. Y expresar cada una en 9 diferentes formas de lenguaje.
1)
p: 2+5=7 V(p)= V
q: 7-2=5 V(q)= V
p→q: Si 2+5=7 entonces7-2=5 V(p→q)= V
p→q: 2+5=7 es suficiente para7-2=5
p→q: 7-2=5 es necesario para 2+5=7
p→q: SI 2+5=7, 7-2=5
p→q: 2+5=7 implica 7-2=5
p→q: 7-2=5 si 2+5=7
p→q: 2+5=7 solo si 7-2=5
p→q: es falso que 2+5=7 y no 7-2=5
2)
p: 39  V(p)= V
q: 32
=6 V(q)= F
p→q: Si 39  entonces 32
=6 V(p→q)= V
p→q: 39  es suficiente para 32
=6
p→q: 32
=6 es necesario para 39 

11. 11
p→q: SI 39  , 32
=6
p→q: 39  implica 32
=6
p→q: 32
=6 si, 39 
p→q: 39  solo si 32
=6
p→q: es falso que 39  y no 32
=6
Estudio del conectivo lógico …”si solo si…”
Sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables, con este conectivo
lógico. La proposición compuesta resultante de este enlazamiento es “p si solo
si q”. La misma que se simboliza como p↔q y a su vez significa igual a
(p→q)  (q→p). Está proposición compuesta por el hecho de utilizar 2
condicionales se llama también condicional doble de 2 proposiciones simples,
esta proposición compuesta es verdadera en 2 casos.
Caso: Cuando p y q son verdaderas
Caso 2: Cuando p y q son falsas
Esto implica que en los demás casos esa proposición es falsa.
En consecuencia la tabla de valores de verdad para esa proposición
compuesta es la siguiente:
La proposición compuesta p↔q se lee:”p si solo si q”; “p es necesario y
suficiente para q”, “q es suficiente y necesario para p”; “p siempre y cuando q”;
“p si q”; “p en caso de q”.
Ejercicio: construir dos proposiciones compuestas del tipo p↔q. Una
verdadera y una falsa. Y escribir cada una de estas en 6 diferentes formas de
lenguaje.
39: p V(p)= V
93: 2
q V(q)= V
p↔q: 39  si solo si 932
 V(p↔q): V
p↔q: 39  es necesario y suficiente para 932

p↔q: 932
 es suficiente y necesario para 39 
p↔q: 39  siempre y cuando 932

p↔q: 39  si 932

p↔q: 39  siempre y cuando 932

p: Log1= 0 V(p)= V
q: 10º=2 V(q) F
p q p↔q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V

12. 12
p↔q: Log1= 0 si solo si 10º=2 V(p↔q): F
p↔q: Log1= 0 es necesario y suficiente para 10º=2
p↔q: 10º=2 es suficiente y necesario para Log1= 0
p↔q: Log1= 0 siempre y cuando 10º=2
p↔q: Log1= 0 si 10º=2
p↔q: Log1= 0 siempre y cuando 10º=2
Nota: A continuación vamos a estudiar otros conectivos lógicos también de
gran importancia en el lenguaje matemático
1) Estudio del conectivo lógico “ni…ni…”
Así mismo sean p,q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este
conectivo lógico la proposición compuesta resultante de este enlazamiento es
“ni p, ni q” la misma que simboliza o formaliza como “p↓q” esta proposición
compuesta representa la operación contraria a la disyunción y se llama
indisuyunción.
En efecto esta proposición compuesta es verdadera solamente cuando p y q
son falsas. Siendo en consecuencia esta proposición compuesta falsa en los
demás casos.
Esto implica la siguiente tabla de valores de verdad para esta proposición
compuesta.
p q p↓q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
Ejercicio: construir 2 proposiciones compuestas del tipo p↓q. Una verdadera y
otra falsa.
1)
p: 39  V(p)= V
q: 32
=8 V(q)=F
p↓q: ni 39  , ni 32
=8 V(p↓q )=F
2)
p: 49  V(p)= F
q: 22
=9 V(q)=F
p↓q: ni 49  , ni 22
=9 V(p↓q )=V
2) Estudio del conectivo lógico:”…es incompatible con…”
Así mismo sean p, q 2 proposiciones simples lógicamente enlazables con este
conectivo lógico. La proposición compuesta resultante de este enlazamiento es:

13. 13
“p es incompatible con q”. La misma que se simboliza o nota por “p↑q” o como
“p│q” esta proposición representa la operación contraria a la conjunción motivo
por el cual se lo llama inconjunción
En efecto esta proposición compuesta será falsa solamente cuando p y q son
verdaderas.
Esto implica la elaboración de la siguiente tabla de valores de verdad para esta
proposición compuesta.
p q p↑q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
Ejercicio: construir 2 proposiciones compuestas del tipo “p↑q”. una verdadera y
la otra falsa.
1)
p: 2x3=6 V(p)=V
q: 6÷2=3 V(q)=V
p↑q: 2x3=6 es incompatible con 6÷2=3 V(p)=F
2)
532: xp V(p)= F
2
5
3: q V(q)=F
p↑q: 532 x es incompatible con
2
5
3  V(p↑q)=V
Observación: Hemos visto que las proposiciones simples pueden ser
enlazables mediante las palabras: y, o, si…entonces, etc. Y así formar de esta
manera otras proposiciones denominadas “compuestas”.
Las proposiciones compuestas también se las representan mediante las letras
P, Q, R, S, T… acompañadas de un paréntesis en el cual queda indicado entre
comas los símbolos de las proposiciones simples componentes.
Ejemplo:
La proposición compuesta )( rqp  : P (p, q, r).
Ejercicio: determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas. Valor de verdad de proposiciones compuestas
1) P: Quito está en el Ecuador y en América del sur.
p: Quito está en el Ecuador V(p)= V
q: Quito está en América del sur. V(q)= V
qp 
VVV

14. 14
2) Q: El hierro es gas o el oxígeno es metal.
p: El hierro es gas V(p)= F
q: El oxígeno es metal V(q): F
qp 
FVF
3)R: o el sodio es un elemento químico o el hierro es metal
p: el sodio es un elemento químico V(p)= V
q: el helio es metal V(q)= F
qp


VVF
4) S: el hierro es metal, el oxígeno es gas
p: el hierro es metal V(p)= V
q: el oxígeno es gas V(q)= V
qp 
VVV
5) T: ni el sodio es un elemento químico, ni el oxígeno es metal
p: el sodio es un elemento químico V(p)= V
q: el oxígeno es metal V(q): V
qp 
VVV
6) U: Es falso que 4+3= 7
p: 4+3=7 V(p)= V
~ p
F V

15. 15
7) V: Einstein desarrolló la teoría de la relatividad siempre y cuando el hierro es
magnético.
p: Einstein desarrolló la teoría de la relatividad V(p)= V
q: El hierro es magnético V(q)= V
qp 
VVV
8) W: 5=5 implica 2+3=5
p: 5=5 V(p)= V
q: 2+3=5 V(q)= V
qp 
VVV
Tablas de Verdad
Ejercicio: hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas
1)    q~p~q~p~ 
p q (~p  ~ q) → (~ p ↓ ~ q)
V V F F F V F V F
V F F F V V F F V
F V V F F V V F F
F F V V V F V F V

16. 16
2)    p~qp~ 
p q (~p  q)  ~p
V V F F V V F
V F F F F V F
F V V V V V V
F F V F F V V
3)    pqqp  ~~
(p ↓ ~ q) → ( ~ q  p
V F F V V F V F V
V F V F V V F V V
F V F V F F V F F
F F V F V V F F F

17. 17
4)   q~~q~~  p
~ [ ~ (q  ~ p) → ~ q]
V V V F F V F F V
F V F F F V V V F
F F V V V F V F V
F V F F V F V V F
Observaciones:
1) Las tablas de verdad es una forma concisa de determinar el valor de verdad
de una fórmula; en función de las variables p, q, r, s… y de los operadores.
El número de posibilidades de valores de verdad de una fórmula es 2n
, donde n
es el número de variables.
2) Es necesario conocer el orden en que se desarrolla la tabla de verdad. Se
recomienda utilizar las siguientes reglas:
a) Si las proposiciones unidas por operadores están cerradas por paréntesis,
hay que desarrollar el valor de verdad de los paréntesis internos, como el
álgebra)
b) Si una fórmula está unida por comas, se debe desarrollar primero lo que está
antes y después de la coma, “antes de una de las proposiciones” con el
operador principal que se indica.
c) Si no hay paréntesis, se debe desarrollar la tabla de verdad en orden de
acuerdo a la jerarquía de los operadores, esto es, ~, v, , →, ↔, ↓, ↑.
Puesto que la conjunción y la disyunción tiene igual jerarquía, se deberá
establecer cuál va a predominar.
d) Si no hay comas, ni paréntesis se debe especificar el operador que va a
predominar.

18. 18
Ejemplo:
Calcular el valor de verdad de las siguientes fórmulas.
(p  q)  r
V V V V V
V V V F F
V F F F V
V F F F F
F F V F V
F F V F F
F F F F V
F F F F F
2)  q~~  pr
(r v ~ p)  ~ q
V V F V F F V
F F F V F F V
V V F V V V F
F F F V F V F
V V V F F F V
F V V F F F V
V V V F V V F
F V V F V V F

19. 19
3) Encontrar el valor de verdad de la disyunción
   pqqp 
4) Desarrollar la tabla de verdad de la siguiente conjunción
   pqqp  ~
(p v q)  ~ (q → p)
V V V F F V V V
V V F F F F V V
F V V V V V F F
F F F F F F V F
(p  q) v (q → p)
V V V V V V V
V F F V F V V
F F V F V F F
F F F V F V F

20. 20
5) Hallar el valor de verdad del siguiente condicional
   p~rp~ q
[q  ( ~ p v r)] → ~ p
V V F V V V F F V
V F F V F F V F V
F F F V V V V F V
F F F V F F V F V
V V V F V V V V F
V V V F V F V V F
F F V F V V V V F
F F V F V F V V F
6) Determinar la tabla de verdad del siguiente bicondicional:
   q~p~p~q~ 
( ~ q ↓ ~ p) ↔ ( ~ p ↑ ~ q)
F V V F V V F V V F V
V F F F V F F V V V F
F V F V F F V F V F V
V F F V F V V F F V F

21. 21
7) Normalizar las siguientes proposiciones compuestas:
 No es verdad que los números reales son naturales y que los naturales
son reales.
p: Los números reales son naturales
q: Los naturales son reales
~ qp 
 Si un número natural es real y no racional entonces es irracional
p: número natural
q: número racional
r: número irracional
  rp  q~
8) Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.
Si se sabe que
p: Log21=0 V (p)= V
q: e0
=2 V (q)= F
V®= V(~q) V®=V
a)     r~pq~p~ 
~ [p  (~ q v p)] → ~ r
F V V V F V V V F V
b)   q~r~ 

vp
(p

v ~ r) → (~ q)
V V F V V V F

22. 22
TAUTOLOGÍAS
Definición: Las Tautologías son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad solo
contiene valores V.
Si una fórmula es una tautología, a esta se la representa con el símbolo V/
Ejercicio:
Determinar si las siguientes fórmulas son o no tautologías
1)   p~pq~ 
~ (q  p) → ~ p
F V V V V F V
V F F V F F V
V V F F V V F
V F F F V V F
2)    .(qp~~ qp  =V/
~ [~ [(p  q) → (p v q] ]
V F V V V V V V V
V F V F F V V V F
V F F F V V F V V
V F F F F V F F F
Contradicciones
Definición: Las contradicciones son aquellas fórmulas cuyo valor de verdad
contiene solo valores F.
Si una fórmula es una contradicción, entonces esta se simboliza como │F.
o como 
Ejercicio

23. 23
1) Determinar si la siguiente fórmula es una contradicción
~ [p  (q  r)] ↔ [(p  q)  (p  r)] =│F
F V V V V V F V V V V V V V
F V V V V F F V V V V V F F
F V V F V V F V F F V V V V
V V F F F F F V F F F V F F
V F F V V V F F F V F F F V
V F F V V F F F F V F F F F
V F F F V V F F F F F F F V
V F F F F F F F F F F F F F
2) Determinar cuál de las siguientes fórmulas constituyen una tautología o
una contradicción.
Fórmulas Indeterminadas
Definición: Llámese fórmulas indeterminadas a aquellas fórmulas cuyo valor
de verdad contiene valores V y valores F.
Si una fórmula es una indeterminada esta se representa por F.I
p  ~ p = │F
V F F V
F F V F
p  ~ p = V/
V V F V
F V V F

24. 24
Ejercicio:
Determinar se la siguiente fórmula es indeterminada o no.
~ (q  r) → (~ p) = F.I
F V V V V F V
V V F F F F V
V F F V F F V
V F F F F F V
F V V V V V F
V V F F V V F
V F F V V V F
V F F F V V F
Implicación Lógica:
Definición: Sean P y Q 2 fórmulas. Si la tabla de verdad de P→Q representa
una tautología diremos entonces que P implica lógicamente a Q y lo
representaremos como PQ, lo que a su vez significa que Q es consecuencia
de P.

25. 25
Ejercicio:
1) Sean P:    rqqp 
Q: rp 
Demostrar PQ
(p → q)  (q → r) ↔ p → r, PQ LQQD
V V V V V V V V V V V
V V V F V F F V V F F
V F F F F V V V V V V
V F F F F V F V V F F
F V V V V V V V F V V
F V V F V F F V F V F
F V F V F V V V F V V
F V F V F V F V F V F
2) Demostrar si p q es consecuencia de p  q
p  q → p  q LQQD
V V V V V V V
V F F V V V F
F F V V F V V
F F F V F F F

26. 26
Equivalencia Lógica:
Definición: Sean P, Q 2 fórmulas. Si la tabla de valores de verdad P↔Q
Representa una tautología decimos entonces que P es lógicamente equivalente
con Q, o que P es equivalente con Q y lo representamos por P  Q o por P Q.
Con lo que diremos que P y Q representan lo mismo o que tienen el mismo
valor de verdad o que cada uno se reduce de la otra.
Ejercicio:
Sean P: p→q
Q: ~p q
Demostrar que P Q
p → q ↔ ~ p  q, P Q LQQD
V V V V F V V V
V F F V F V F F
F V V V F F V V
F V F V V F V F
Leyes del álgebra proposicional
Las leyes del álgebra proposicional, constituyen las siguientes equivalencias
lógicas y también se llaman leyes lógicas. Y constituyen las siguientes.
1) Leyes de absorción
  pqpp 
  pqpp 
Ejercicio: Demostrar las leyes
p  (p  q) ↔ p, LQQD
V V V V V V V
V V V F F V V
F F F F V F F
F F F F F F F
p  (p  q) ↔ p, LQQD
V V V V V V V
V V V V F V V
F F F V V F F
F F F F F F F

27. 27
2) Idempotencia
p pp
p  pp
Ejercicio: Demostrar las leyes
3) Asociativas
(p q)  r  p (q r) p q r
(p  q)  r  p (q  r) p  q  r
(p↔q) ↔ r p ↔ (q↔r) p↔q↔r
Ejercicio: Demostrar las leyes
(p  q)  r  p  (q  r) LQQD
V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V F
V V F V V V V F V V
V V F V F V V F V F
F V V V V F V V V V
F V V V F F V V V F
F F F V V F V F V V
F F F F F F F F F F
p  p ↔ p LQQD
V V V V V
F F F V F
p  p ↔ p LQQD
V V V V V
F F F V F

28. 28
(p  q)  r  p  (q  r) LQQD
V V V V V V V V V V
V V V F F V F V F F
V F F F V V F F F V
V F F F F V F F F F
F F V F V F F V V V
F F V F F F F V F F
F F F F V F F F F V
F F F F F F F F F F
(p ↔ q) ↔ r  p ↔ (q ↔ r) LQQD
V V V V V V V V V V
V V V F F V F V F F
V F F F V V F F F V
V F F V F V F F V F
F F V F V F F V V V
F F V V F F V V F F
F V F V V F V F V V
F V F F F F F F V F

29. 29
4) Leyes Conmutativas
p  qq  p
p qq p
p↔qq↔p
Ejercicio: Demostrar las leyes.
p  q  q  p LQQD
V V V V V V
V F F F F V
F F V V F F
F F F F F F
p ↔ q  q ↔ p LQQD
V V V V V V
V F F F F V
F F V V F F
F V F F V F
5) Distributivas
p  (q r)  (p  q)  (p  r)
p (p r)  (p q)  (p r)
p→ (q r)  (p→q)  (p→r)
p→ (q r)  (p→q)  (p→r)
Ejercicio: Demostrar las leyes
p  q  q  p LQQD
V V V V V V
V V F F V V
F V V V V F
F F F F F F

30. 30
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V F F
V V F V V V F F V V V V
V F F F F V F F F V F F
F F V V V F F V F F F V
F F V V F F F V F F F F
F F F V V F F F F F F V
F F F F F F F F F F F F
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V V V F F V V V V V V F
V V F F V V V F V V V V
V V F F F V V F V V V F
F V V V V F V V V F V V
F F V F F F V V F F F F
F F F F V F F F F F V V
F F F F F F F F F F F F

31. 31
p → (q  r)  (p → q)  (p → r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V F V F F V V V F V F F
V F F F V V F F F V V V
V F F F F V F F F V F F
F V V V V F V V V F V V
F F V F F F V V F F V F
F F F F V F V F F F V V
F F F F F F V F F F V F
p → (q  r)  (p → q)  (p → r) LQQD
V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V F F
V V F V V V F F V V V V
V F F F F V F F F V F F
F V V V V F V V V F V V
F V V V F F V V V F V F
F V F V V F V F V F V V
F V F F F F V F V F V F
6) De Morgan
  q~p~qp~ 
  q~p~qp~ 

32. 32
Ejercicio: Demostrar las leyes
~ (p  q)  ~ p  ~ q LQQD
F V V V F V F F V
V V F F F V V V F
V F F V V F V F V
V F F F V F V V F
7) De Complementación:
 p~p │F
 p~p V/
Ejercicio: Demostrar las leyes
p  ~ p  │F
V F F V F
F F V F F
~ (p  q)  ~ p  ~ q LQQD
F V V V F V F F V
V V F F F V V V F
V F F V V F V F V
V F F F V F V V F
p  ~ p  V/
V V F V V
F V V F V

33. 33
8) De Identidad:
p  V/p
p V/V/
p  │F│F
p │Fp
Ejercicio: demostrar las leyes
p  V/  p
V V V V
F F V F
9) Otras leyes:
~~p p
p→q~p q
p↔q(p→q)  (q→p)
p

v q(p q)  ~ (p  q)
p↓q~p  ~q
p↑q~p ~q
p  V/  V/
V V V V
F V V V
p  │F  │F
V F F F
F F F F
p  │F  p
V V F V
F F F F

34. 34
Ejercicio: Demostrar las leyes
~ ~ p  p
V F V V
F V F F
p ↔ q  (p → q)  (q → p)
V V V V V V V V V V
V F F V F F F F V V
F F V F V V F V F F
F V F F V F V F V F
p

v q  (p  q)  ~ (p  q)
V F V V V V F F V V V
V V F V V F V V V F F
F V V F V V V V F F V
F F F F F F F V F F F
p → q  ~ p  q
V V V F V V V
V F F F V F F
F V V V F V V
F V F V F V F

35. 35
p ↓ q  ~ p  ~ q
V F V F V F F V
V F F F V F V F
F F V V F F F V
F V F V F V V F
Observaciones:
1) Si en estas leyes también llamadas leyes lógicas reemplazamos las
proposiciones p, q, r por P, Q, R respectivamente siendo P, Q, R fórmulas
cualesquiera, entonces las equivalencias se siguen cumpliendo. Este
principio de substitución llámese simplemente principio de substitución de las
leyes lógicas.
Ejemplo:
Sea la ley lógica: p→q ~p q ya demostrada esto implica: P→Q ~P Q
Si para
P: ~p

v q
Q: ~q p
Entonces tenemos:
(~p

v q) → (~q  p) ~ (~p

v q)  (~q  p)
De acuerdo a este principio tenemos que la última equivalencia también se
cumple:
(~ p

v q) → (~ q  p)  ~ (~ p

v q)  (~ q  p)
F V V V F F V F V F F V V V F F V F V
F V F F V V F V V V F V F F V V F V V
V F F V V F V F F V V F F V V F V F F
V F V F F V F F F F V F V F F V F F F
p ↑ q  ~ p  ~ q
V F V F V F F V
V V F F V V V F
F V V V F V F V
F V F V F V V F

36. 36
2) Las leyes lógicas conjuntamente con su intrínseco principio de substitución,
son aplicables para demostrar otras equivalencias lógicas.
Nota: Si se tiene la equivalencia genérica AB para demostrar esta
equivalencia lógica mediante leyes lógicas partimos de A y llegamos a B
usando leyes lógicas.
También podemos partir de B y llegar a A usando las leyes lógicas.
También lo podemos hacer de la siguiente manera. Cogemos A y
simplificamos y cogemos B y simplificamos y llegamos a una igualdad que
también queda demostrada.
Ejemplo: Utilizando leyes lógicas y sus intrínsecas principios de substitución
demostrar la siguiente equivalencia lógica.
p→q~q→~p
~p q ~(~q)  ~p Otras Leyes
~p q q ~p Otras Leyes
~p q ~p q Ley Conmutativa
Ejercicio: De mostrar la siguiente equivalencia lógica, sin utilizar tablas de
verdad.
(q p)↓p~(~p→q)
~(q p)  ~p ~[~(~p)  q] Otras Leyes
(~q  ~p)  ~p ~(p q) Ley de Morgan, Otras Leyes
(~p  ~p)  ~q ~p  ~q Ley asociativa, Ley de Morgan
~p  ~q ~p  ~q LQQD Ley de Idempotencia
 Demostrar la siguiente equivalencia lógica utilizando leyes lógicas
~p  [~p (p→~q)] p↓p
~p  [~ p (~p ~q)] ~p  ~p Otras Leyes
~p  [ (~p ~p)  ~q] ~p Ley asociativa, Ley de Idempotencia
~p  (~p ~q) ~p Ley de Idempotencia
~p ~p Ley de Absorción

37. 37
p  ~[~q (~q  (p↓~q))] (p↓p) ↓ (q↓q)
p  ~[~q (~q  (~p  ~(~q)))] (~p  ~p)↓( ~q  ~q) Otras Leyes
p  ~[~q (~q  (~p  q))] ~p↓~q Otras Leyes, Ley de Idempotencia
p  ~[~q ((~q  q)  p)]  ~(~p)  ~(~q) Ley Asociativa, Otras Leyes
p  ~[~q (│F p)] p  q Ley de complementación, Otras Leyes
p  ~(~q │F) p  q Ley de Identidad
p  ~(~q) p  q Ley de Identidad
p  q LQQD Otras Leyes
(~p q)  (~q ~p) ~p
(~p q)  (~p ~q) ~p Ley Conmutativa
~p (q  ~q) ~p Ley Distributiva
~p │F~p Ley de complementación
~p ~p Ley de Identidad
3) Las leyes lógicas junto con el principio de substitución también sirven para
simplificar “fórmulas”.
Ejemplo: Simplificar las siguientes fórmulas mediante leyes lógicas
1) ~[~(p  q)  (~q  p)]  p
~[(~p  ~q)  (~q  p)]  p Ley de Morgan
~[(~q  ~p)  (~q  p)]  p Ley Conmutativa
~[~q  (~p  p)]  p Ley distributiva
~[~q  V/] p Ley de complementación
~(~q)  p Ley de identidad
q  p Otras Leyes
p  q Ley Conmutativa

38. 38
2) ~(p q)  [(p↓q) ↓(p↓q)]
~(p q)  [(~p  ~q) ↓(~p  ~q)] Otras Leyes
~(p q)  [~(~p  ~q)  ~(~p  ~q)] Otras Leyes
~(p q)  [(~(~p)  ~(~q))  (~(~p)  ~(~q))] Ley de Morgan
~(p q)  [(p q)  (p q)] Otras Leyes
~(p q)  (p q) Ley de Idempotencia
│F Ley de Complementación
Simplificar las siguientes proposiciones compuestas
1) No es verdad que los números reales son naturales implica que los números
naturales son reales.
p: Los números reales son naturales
q: Los números naturales son reales
~(p→q)
~(~p  q) Otras leyes
~(~p)  ~q Ley de Morgan
p  ~q Otras Leyes; Los números reales son naturales y no es verdad que los
números naturales son reales.
2) No hace frío y está lloviendo
p: Hace Frío
q: Está lloviendo
~(p  q)
~p ~q Ley de Morgan; No hace frío o no está lloviendo
3) No es verdad que 2 es un número neutro o irracional
p: 2 es un número neutro
q: 2 es un número irracional
~(p q)
~p  ~q Ley de Morgan; 2 no es un número neutro y no es irracional
4)No es verdad que no hace frío o que esté lloviendo
p: Hace frío
q: Está lloviendo.
~(~p  q)

39. 39
~(~p)  ~q Ley de Morgan
p  ~q Otras Leyes; Hace frío y no está lloviendo
5) No es verdad que si Juan Montalvo fue escritor ambateño entonces es
colombiano
p: Juan Montalvo fue escritor ambateño
q: Juan Montalvo es colombiano
~(p→q)
~(~p  q) Otras Leyes
~(~p)  ~q Ley de Morgan
p  ~q Otras Leyes; Juan Montalvo fue escritor ambateño y no es colombiano
6) No es verdad que los números reales son racionales si solo si los reales no
son racionales
p: Los números reales son racionales
~(p↔~p)
~[(p→~p)  (~p→p)] Otras Leyes
~[(~p  ~p)  (~(~p) p)] Otras Leyes
~[~p  (p p)] Otras Leyes
~(~p  p) Ley de Idempotencia
~│F Ley de Complementación
V/ Negación de Falsedad
Ejercicio: Sin ejercer tablas de verdad demostrar las siguientes equivalencias
1) ~(p↔q) p

v q
~(p↔q) (p q)  ~(p  q) Otras Leyes
~(p↔q) (p q)  (~p ~q) Ley de Morgan
~(p↔q) [(p q)  ~p]  [(p q)~q] Ley distributiva
~(p↔q) [(~p  p)  (~p  q)] [(~q  p)  (~q  q)] Ley Distributiva
~(p↔q) [│F (~p  q)] [(~q  p)  │F] Ley de complementación
~(p↔q) (~p  q)  (~q  p) Leyes de Identidad
~(p↔q) ~(p ~q) ~(q ~p) Ley de Morgan

40. 40
~(p↔q) ~(~q p)  ~(~p q) Ley Conmutativa
~(p↔q) ~[(q→p)  (p→q)] Ley de Morgan
~(p↔q) ~[(p→q)  (q→p)] Ley Conmutativa
~(p↔q) ~(p↔q)LQQD. Otras Leyes.
2) ~(p↔q) p↔(~q)
p

v q(p→~q)  (~q→p) Otras Leyes
p

v q (~p ~q)  [~(~q) p] Otras Leyes
p

v q ~(p  q)  (q p) Ley de Morgan, Otras Leyes
p

v q ~(p  q)  (p q) Ley Conmutativa
p

v q  (p q)  ~(p  q) Ley Conmutativa
p

v q p

v q LQQD Otras Leyes.
3) 2耀~q ~p↔q
(p→~q)  (~q→p) (~p→q)  (q→~p) Otras Leyes
(~p ~q)  (q p)(p q)  (~q ~p) Ley De Morgan, Otras Leyes
(p q)  (~p ~q) (p q)  (~p ~q) Otras Leyes
Predicados
Los predicados también se llaman “Funciones proposicionales” o “esquemas
proposicionales” o “formas proposicionales”. Y consta en lo siguiente.
Las expresiones
a) x+10=12
b) x es un número impar
Recordaremos que no son proposiciones simples, si no oraciones abiertas
puesto que, no se puede determinar su valor de verdad.

41. 41
Sin embargo si substituimos “la variable x” por un número entero por ejemplo,
entonces obtenemos proposiciones simples así:
X=3→ a)3+10=12  b) 3 es un número impar
X=5→ a)5+10=12  b) 5 es un número impar
I II
Las expresiones como I y II. . con “la x definida” para determinar todos los
valores los cuales convierten a esta oración abierta en proposiciones simples,
son llamadas predicados
Notación:
Los predicados I y II..Se denotan o se representan de la siguiente manera
I: p(x): x+10=12, A= 5,3
II: q(x): x es un número impar, A= 5,3
Donde en vez de utilizar y(x) o q(x) se puede utilizar cualquier letra del alfabeto
acompañado de la variable x.
Además el conjunto A se reconoce como “dominio de interpretación del
predicado “.
Para el caso I se dice que p(x) es una función proposicional sobre A.
Ejemplo:
Sea las siguientes funciones proposicionales definida para 2 variables x e y
siguientes
q(x, y): y es divisible para x: Ax= 5,2  Ay= 5,8
Aquí se dice que p(x, y) es una función proposicional sobre x en y su puede
deducir todos las proposiciones simples que surgen de este predicado.
q (x. y)= y es divisible para x: Ax= 3,2  Ay= 5,8
q(2,8): 8 es divisible para 2.
q(2,5): 5 es divisible para 2.
q(3,8): 8 es divisible para 3.
q(3,5): 5 es divisible para 3.
 Dado el siguiente predicado Q(x,y) y=x2
, Ax= 2,1  Ay=  4,3 . Deducir
todas las proposiciones simples que puedan ser posibles.
Q(1,3): 3=12

42. 42
Q(1,4): 4=12
Q(2,3): 3=22
Q(2,4): 4=22
Definición: Sea p(x) una función proposicional sobre A. Al concepto de todos
los elementos de A para los cuales P(x) se transforma en una proposición
verdadera, se denomina conjunto solución de la función.
Notación: El conjunto solución de la función p(x) se representa como Vp.
Ejercicio: Calcular el conjunto solución de cada una de las siguientes
funciones proposicionales
1) p(x): 2x+3= 7; A= 1,0
p(0): 2(0)+3= 7; 3=7
p(1): 2(1)+3= 7; 5=7
Vp=
2) q(x): x2
-1=0; A= 1,0,1
q(-1): (-1)2
-1=0; 0=0
q(0): (0)2
-1=0; 0=1
q(1): (1)2
-1=0; 0=0
Vq:  1,1
3) t(x): x3
-1=0; A= 2,1
t(1): (1)3
-1=0; 1=1
t(x): (2)3
-1=0; 8=1
Vt=1
4) s(x): x2
+2x+1=0; A= 1 s(-1): (-1)2
+2(-1)+1=0; 0=0 Vs= 1
Cuantificadores
Sea Z= ...3,2,1,0,1,2,3... 
p(x):x+1=2; A=Z. Una función proposicional sobre A p(x): no es una
proposición simple, pero las siguientes afirmaciones sí lo son.
p: para todo número entero, x+1=2
q: existe un número entero tal que, x+1=2
r: existe un único número entero, x+1=2
s: para ningún número entero, x+1=2

43. 43
Donde el² € or de verdad de estas proposiciones simples son los
siguientes
V(p)= F
V(q)= V
V®= V
V(s)= F
Definición: Las expresiones para todo, existe un, existe un único, y para
ningún. Transforman el predicado p(x) en proposiciones simples. A estas
expresiones de transformación se les conoce con el nombre de cuantificadores.
Notación:
1) El cuantificador “para todo” se simboliza y se lee de las siguientes
maneras: “para todo”, “para todos”, “cada”, “ningún”, para cada”,
“todos”
Este cuantificador es llamado cuantificador universal
La proposición simple a se simboliza de la siguiente manera:
21,  Xx
2) El cuantificador “existe un” se denomina cuantificador extencial y se
simboliza como  el cual se lee: “existe un”, “existe al menos un”, “para
algún”, “para al menos un”, “existe algún”, “existen algunos”
De esta forma la proposición simple b se simboliza de la siguiente
manera: 21,  xx
3) El cuantificador “existe un único” se denomina cuantificador particular y
se los simboliza como: !
De esta forma la proposición simple c se simboliza de la siguiente manera:
21,!  x
4) El cuantificador “para ningún” se denomina cuantificador nulo y se
simboliza como ││
De esta forma la proposición simple d se simboliza de la siguiente
manera:
││ 2,  xx

44. 44
Observación: A fin de poder formalizar correctamente proposiciones simples
con cuantificadores, revisaremos brevemente algunos subconjuntos entre los
números │R y su notación.
Z+
= ...4,3,2,1 Conjunto de los números enteros positivos
N= ....3,2,1,0 Conjunto de los números naturales
Z-
= 1,2,3,4...  Conjunto de los números enteros negativos
Z= ...3,2,1,0,1,2,3...  Conjunto de los números enteros
Q= 0:  bba
b
a
Conjunto de los números racionales
D= 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 Conjunto de los números dígitos decimales
Ejercicio: Formalizar las siguientes proposiciones simples y encontrar su valor
de verdad.
1) existe un único entero para todo entero tal que su suma da cero
0,!:  yxyxp V(p)= V
2) cada número natural es mayor que cero
0;:  xNxq V(q)= F
3) existen números reales menores que cero
0x,R: xr V®=V
4) existe un único x para que x+1=-3
31,!:  xxs V(s)= V
5) Para algunos x (x es entero), x+0=0
00,:  Xxt V(t)= F
Nota: Existen otras formas de proposiciones simples cuantificables
frecuentes en las matemáticas que se estructuran de acuerdo al
siguiente ejemplo:
Sean los predicados: T(x): x es tiburón
F(x): x es feroz
1)      xx FTxp : . Se lee todos los tiburones son feroces
2)       xF~:  xTxq Se lee ningún tiburón es feroz
3)       xx FTxr : Algunos tiburones son feroces
4)       xx FTxs ~!:  Algunos tiburones no son feroces

45. 45
Ejercicio: Formalizar las siguientes proposiciones simples y por simple
inspección calcular su valor de verdad
R(x): x es número real
N(x): x es número natural
1) Todos los números reales son naturales
      xx NRxp : V(q)= F
2) Ningún número natural es real
      xx RNxq ~:  V(q)= F
3) Algunos números naturales son reales
    xx RNxr : V(r)=V
4) Algunos números naturales no son reales
      XR~:  XNxs V(s)= F
Ejercicio:
Formalizar las siguientes proposiciones utilizando cuantificadores y encuentre
en cada uno sus valores de verdad
1) Todo hombre es mortal
  xP x es hombre
  xQ x es mortal
      xx MPxp : V(p)= V
2) El cuadrado de un número par es también par
CX: x es un número par
Px: x2
es un número par
      xx PCxq : b V(q): V
3) Ningún número puede dividirse por cero
CX: x es un número
Dx: x puede dividirse por cero
      xP~:  xCxr

46. 46
Teorema de Morgan
Los cuantificadores  y  pueden negarse de la siguiente manera
1) p:    xpAx , ~p:  xp~,Ax
2) p:    xpAx , ~p:  xp~,Ax
Ejercicio: Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones compuestas cuantificadas y luego niéguelas
1) 1,1,  
xZxxNx
p: 1,  xNx V(p)= F
q: 1,  
xZx V(q)= F
~(p→q)
~(~p  q) Otras Leyes
p  ~q Ley de Morgan
1,1,  
xZxxNx
2) 3,v3,
-
 xxxx
p: 3,  xx V(p)=V
q: 3,  xx V(q)= F
~(p
-
v q)
p↔q Equivalencia lógica
3,3,  xxxx
p → q
F V F
p
-
v q
V V F

47. 47
3) 0,1, 2
 xxxx
p: 1, 2
 xx V(p)=F
q: 0,  xx V(q)= V
~(p  q)
~p ~q Otras Leyes
0,1, 2
 xxxx
4) xxxxx  2,0,
p: 0,  xx V(p)=F
q: xxx  2, V(p)=V
~(p↔q)
p

v q Equivalencia Lógica
xxxvxx 

2,0,
5) 4xpositivo,esx,!~ 2
 p: 4xpositivo,esx,!~ 2
 V(p)= V
4xpositivo,esx,!~ 2

6) ( x , x es entero,x2
=4)  3=4
p: x , x es entero,x2
=4 V(p)= F
q:3=4 V(q)= F
~(p ~q)
~p  q Ley de Morgan, Otras Leyes
x , x es entero,x2
=4  3=4
p  q
F F V
p ↔ q
F F V
~ P
F V
p  ~ q
F V V F

48. 48
Teorema de Morgan ampliado
Si p:  ),(, yxpBAyx ~p: y)p(x,~,BAyx 
Ejercicio: negar las siguientes proposiciones simples
1) p: 0,  yxZyZx
~p: 0,  yxZyZx
2) q: ),,(, zyxpzxy 
~q: ),,(~, zyxpzxy 
3)r: (q(z))~)(;  ypzy
~r: (q(z)))~)((;  ypzy
~r: (q(z)))(~;  ypzy
Métodos de Demostración de Teoremas
Las proposiciones de las demostraciones de una teoría matemática se
clasifican en dos tipos: Las aceptadas sin demostración que son los axiomas y
las que se demuestran llamadas teoremas.
La demostración de un teorema es un procedimiento en el que se enlaza o
combinan 2 o más proposiciones utilizando ciertas reglas lógicas.
La valides de la demostración de un teorema resulta de la valides de las
proposiciones y reglas que en ella interfieren
Por lo general en el enunciado de un teorema incluye explícitamente las
proposiciones de partida, a estas las denominaremos H “hipótesis del teorema”.
Si partiendo de la Hipótesis se puede “deducir” otra proposición esta es
llamada T “tesis”; en otros términos debemos verificar si H→T es verdadera:
Los siguientes métodos de demostración son los más usuales:
Método Directo:
De acuerdo a la tabla de verdad del condicional, para demostrar que la
proposición H→T es verdadera, es suficiente demostrar que se la proposición
H es verdadera, entonces T es verdadera.
Así
Ejercicio: por el método directo demostrar el siguiente teorema
H → T
V
H → T
V V V

49. 49
1) Si n es un número entero impar entonces n2
es impar H: n es un
número entero impar V(H)= V T: n2
es un número impar
    ZyyxxxxxZxx  ,12122214412,12 222
Método de deducción al absurdo
De acuerdo a la tabla de verdad del condicional, para demostrar que la
proposición H→T es verdadera es suficiente deducir de la hipótesis: H es
verdadera y T es falsa un resultado imposible, es decir 2 contradicciones.
Ejercicio: Demostrar que
0
1
no es un número real
Supongamos que
0
1
es un número Real a, es decir que
0
1
=a se sigue
entonces que 1=0; 1=0 lo cual es un absurdo puesto que 01  . Este absurdo
se obtiene por haber supuesto que
0
1
es un número real luego lo correcto es
que
0
1
no es un número real. LQQD
Método Indirecto:
Este método de demostración también se llama método contra recíproco o
método de contradicción de la tautología (p→q)↔(~q→~p) o lo que es lo
mismo que la equivalencia lógica p)~q(~q)(p  se sigue que para
demostrar que q es verdadera sabiendo que p’ es verdadera basta con
demostrar que ~q→~p es verdadera.
p → q  ~ q → ~ p
V V V V
Ejercicio: por el método indirecto demostrar que: a2
es impar→ a es impar
1) a2
es impar→ a es impar
a2
no es impar→ a es par
→ *
,2 kka 
→ a2
=(2k)2
→ a2
=4k2
→ a2
=2(2k2
)
→ a2
=2t; *
Zt 
→ a2
es par

50. 50
→ a2
no es impar LQQD
2) a2
es par→ a es par
a2
no es par→ a es impar
→ a=2k+1, *
Zk 
→a2
= (2k+1)2
→a2
= 4k2
+4k+1
→a2
= 2(2k2
+2k)+1
→a2
=2t+1, kkTZt 22 2
 
→a2
es impar
→a2
no es impar LQQD
Método de inducción:
Este método de demostración de teoremas no se ve en el presente programa.
Contraejemplos:
Este método de demostración consiste en dar un ejemplo que no cumple la
tesis, demostrando así que la tesis es falsa.
Ejercicio: demostrar si es verdad o falso o que 115,  xRx F
Si x=1→1+5=11 F
6 11
CONJUNTOS
Intuitivamente se dice que conjunto es una reunión o colección de objetos a los
que se les denomina elementos.
Se representan los conjuntos por las letras A, B, C… y a sus elementos se los
representa por a, b, c…
La relación de pertenencia de un elemento a un conjunto se nota con el
símbolo "" y se lee pertenece a, o es elemento de
Ejemplo:
Aa 
 La no pertenencia de un elemento a un conjunto se denota con: “”, y se
lee no pertenece a, o no es elemento de.
Ejemplo:
Ab

51. 51
Numerosidad de un conjunto:
Se define como el número de elementos de un conjunto se lo representa como
“n(A)” se lee “numerosidad del conjunto A” o “número de elementos del
conjunto A”.
Ejemplo: Sea A= 4,2,1 ; n(A)= 3
B= dcba ,,, ; n(B)= 4
Formas de Expresar un conjunto:
Existen 2 formas de expresar en conjunto.
1) Por Extensión, enumeración o tabulación: Esta forma de expresar en
conjunto se manifiesta si están escritos o indicados todos los elementos que
forman al conjunto.
Ejemplo: Sea A={al conjunto de las vocales}, a quedaría expresado por
extensión: A={a, e, i, o, u}
Sea P={al conjunto de los números dígitos} exprese P por extensión
P={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2) Por comprensión:
Esta forma de expresar un conjunto se manifiesta si se menciona la
propiedad común que satisface los elementos que forman el conjunto.
Ejemplo: Sea A={a, e, i, o, u} este conjunto quedaría expresado por
comprensión de la siguiente manera A= {x  letras, x es vocal}
Ejercicio: expresar los siguientes conjuntos por comprensión
A={1, 2, 3} A={xZ+,
31  x }
B={-3, -2, -1} B={x Z-
, 13  x }
C={0, 1, 2, 3, 4, 5} C={xN, 50  x }
D={-1, 0, 1} D={xZ, 11  x }

52. 52
Clases de Conjuntos:
1) Conjunto Universo: Es el conjunto formado por la totalidad de los elementos
de una discusión o presentación matemática particular al conjunto universo
se lo representa con la letra U o E
Ejemplo: Sean las siguientes presentaciones matemáticas particulares
determinar su conjunto universo:
 31,  
xZxA →U=Z+
 13,  
xZxB → U= Z-
 50,  xZxC → U= Z
 11, xZxD  → U=Z
Observación: En una presentación de conjuntos siempre se supone definido
un conjunto universo pese a que no conste el universo en la representación del
conjunto
Ejemplo:
A={x letras; x es vocal}
→A={x; x  es vocal}, U= Letras
2) Conjunto Vació o Nulo: 1 conjunto es vacío si no tiene elementos. El
conjunto vacío se simboliza o nota como “  ” o como “{ }”
Ejercicio: En forma comprensiva escriba 5 ejemplos de conjuntos vacíos:
1)  xxZx  ,
2)  13;  xNx
3)  12;  xNx
4)  023; 2
 
XxZx =(X+2)(X+1)=0;x=-2  x=1
5)  2;  
xZx
3) Conjunto Unitario: Es aquel que tiene 1solo elemento Ejercicio: Construir en
forma comprensiva 3 conjuntos unitarios:
 453;  xNx
 5;  xRx
 4; 2
 
xZx
4) Conjunto Finito: Son aquellos que tienen un número determinado de
elementos es decir sus elementos se pueden contar.

53. 53
U= Letras
A F
BB H
K
L D…..
Ejemplo:
 9;  xNxA
   1,2,33;  
xZxB
    12);1)(2(;23;23; 22
 xxxxxxxxRxC
5) Conjunto Infinito: Son aquellos conjuntos en los que no es posible acabar de
contar sus elementos.
Ejemplo:
 0;  xRxA
 9;  xNxB
 43;  xRxP
Diagrama de Venn
Son representaciones de conjuntos mediante áreas planas, cerradas de forma
arbitraria, dentro de las cuales se disponen con elementos del conjunto que se
representa.
Observación: Si un conjunto se representa por diagrama de Venn entonces
este siempre vendrá referido al universo.
Ejercicio: Representar en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos
U={x; x es número dígito decimal}
A={1, 5, 7, 9}
B={3, 5, 6, 8, 9}
C={2, 4, 5}
D={6, 8}
a e
i o
u
uuuuu

54. 54
Ejercicio: Representar en un diagrama de Venn los siguientes enunciados
 123;  xNxU
A={2, 3, 4}
B={4, 5, 6}
C={6, 7, 8}
 100;  xZxD
 5;  xRxF
Relación de Conjuntos
Sean A y B 2 conjuntos cualesquiera de un universo cualesquiera:
1) Equivalencia:
Se dice que A y B son conjuntos equivalentes si solo si n(A)=n(B)
Si A y B son “equivalentes” esto se simboliza como A=B o A  B
Ejemplo:
Sea:
A={x; x es vocal}
 6;  
xZxB
n(A)=5=n(B) → A  B
1) Equivalencia:
1.1) Subconjunto:
Se dice que A es subconjunto de B si solo si todo elemento de A es también
elemento de B
Si A es subconjunto de B esto se simboliza como “AB”
En términos más rígidos:  BxAxUxBA  ;
Ejemplo:
Sea
A={1, 2, 3} AB 
B={2, 3, 1} AC 
C={1, 2, 3} AD 
D= AE 
E={2}

55. 55
1.2) Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si solo si
BA  y BA 
A es subconjunto propio de B se simboliza como BA 
en otros términos. Definición: BABABA 
ejemplo:
A={1, 2, 3} AB 
B={2, 3, 1} AC 
C={1, 2, 3} AD 
D= AE 
E={2}
2.3) Súper conjunto: Si BA  , también se dice que B contiene a A y esto
significa que B es súper conjunto de A y esto se simboliza como AB  .
En otros términos. Definición: ABBA 
Observaciones Generales:
1) Todo conjunto es subconjunto de si mismo
2) El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto
3) El conjunto Universo es súper conjunto de todo conjunto
4)           xxxx qpBAqxBpxA  ::
Ejemplo:
Si  xEETxA ,
 EEEPNxB :
Aquí se ve claramente que BA  →”x EETEEEPN”
3) Disyunción o Desigualdad
Se dice que 2 conjuntos A y B son “disjuntos” si no tienen elementos comunes.
Ejemplo:
Sean
A={1, 2, 3}
B={4, 5, 6}
C={3, 4, 5}
Se tiene que
A y B son disjuntos
A y B no son disjuntos
C y B no son disjuntos
4) Igualdad o Identidad
2 conjuntos A y B son iguales si solo si BA  y AB 
A igual B se simboliza como A=B, en otros términos significa:
Definición: ABBABA 
En términos más rigurosos tenemos la siguiente definición:
BxAxUxBA  ,
Ejemplo:
Sea A={1, 2, 3}

56. 56
B={2, 3, 1}
BAABBA 
Observación: Si          xxxx qpBAqxBpXA  ;;
Ejemplo:
Si A={x: x es vocal}  B={x: x es una vocal de la palabra murciélago }
Aquí evidentemente A=B → “x es una vocal” es lógicamente equivalente a x es
una vocal de la palabra murciélago
Operaciones entre Conjuntos
Sean los conjuntos A y B definidos en un Universo (U)
1) Complemento: El complemento de un conjunto A con respecto a U es el
conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.
El complemento de A con respecto de U se simboliza como c
AAA ,,'
En términos más rigurosos
Definición:    AxxAxUxxAc
 ::
En un diagrama de Venn Ac
quedaría representado por:
Ejercicio: Determinar el complemento de los siguientes conjuntos
1)  4:  xNxA  4:  xNxAc
2)  4:  xNxB  4:  xNxBc
3)   xpxC :  xp~:xCc

2) Unión o disyunción: La unión de dos conjuntos A, B es el conjunto cuyos
elementos pertenecen a A o B.
A unión B se simboliza como BA
En otros términos:
 BxAxUxBA  :
Ejercicio:
Representar mediante un diagrama de Venn BA y  c
BA para los casos A
y B disjuntos. A y B no disjuntos
A y B disjuntos
BA  c
BA
A y B no disjuntos

57. 57
BA  c
BA
A  B
BA  c
BA
Ejercicio: Dados los conjuntos
U=Z+
A={1, 2, 3, 4}
B={4, 5, 6}
C=
D={5, 6, 7}
Calcular:    C
DCBA 
AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6}
CUD={5, 6, 7};  C
DC  = {8, 9, 10…}
   C
DCBA  ={1, 2, 3,4 ,5 ,6 ,7 ,8, 9, 10…}
Definición: Si A={x; p(x)}  B={x; q(x)}→AUB={x; p(x)U q(x)}
3) INTERSECIÓN O PRODUCTO:
La intersección o producto de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos
elementos pertenecen a A y también a B. A intersección B se simboliza como
BA y en otras palabras:  BxAxUxBA  ;
Ejercicio: en un diagrama de Venn representar BA y BA c
para los
siguientes casos: 1) A y B son disjuntos 2) A y B no son disjuntos 3) A
subconjunto de B.
A y B disjuntos
BA = { }  C
BA = U
A y B no disjuntos

58. 58
BA  C
BA
A  B
BA =A  c
BA = { }
Dados los conjuntos
A={1, 2, 3, 4}
B={4, 5, 6}
C=
D={5, 6, 7}
Calcular:    cc
DCBA 
Bc
={1, 2, 3, 7, 8…}
 c
BA = {1, 2, 3}
 DC  = { };  DC  c
=U
{1, 2, 3}U U= U
Def: Si A={x; p(x)}  B={x; q(x)}→  BA = {x; p(x)  p(x)}
Ejercicio: Calcular los elementos de los siguientes conjuntos:
 55,  xxZx
={5, 6, 7, 8…} {4, 3, 2, 1…}={ }
4) Diferencia: La diferencia entre A y B es el conjunto de los elementos de U
que pertenecen a A pero no a B.
A diferencia de B o A menos B se simboliza como A y en otras palabras:
A-B={ Ux │ BxAx  }
Ejemplo: En un diagrama de Venn raye (A-B), (A-Bc
) para los siguientes casos:
1) A y B disjuntos 2)A y B no disjuntos 3) BA 

59. 59
A y B disjuntos
A-B (A-B)c
A y B no disjuntos
A-B (A-B)c
A  B
A-B ( A-B)c
Ejercicio: Dados los conjuntos calcular:       cc
CBCDBA  
U=N
A={1, 2, 3, 4}
B={4, 5, 6}
C=
D={5, 6, 7}
(A-B)={1, 2, 3}
(D-C)={5, 6, 7}, (D-C)c
={1, 2, 3, 4, 8…}
 CB  ={4, 5, 6};  c
CB  ={0, 1, 2, 3, 7, 8…}
      cc
CBCDBA   =
[{1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 8…}] {0, 1, 2, 3, 7, 8…}
{1, 2, 3} {0, 1, 2, 3, 7, 8…}
{0, 1, 2, 3, 7, 8…}

60. 60
5) Diferencia Simétrica:
La diferencia Simétrica entre A y B es el conjunto formado por los elementos de
la unión de A y B con excepción de los elementos de la intersección de A y B.
A diferencia simétrica se simboliza como: BA y en otras palabras:
    BAxBAxUxBA   ;
   BABABA  
En un diagrama de Venn se puede comprobar que    BABABA  
Ejercicio: En un diagrama de Venn rayar BA para los siguientes casos:
1) A y B son disjuntos 2)A y B no disjuntos 3) A  B
BA  C
BA
No Disjuntos
BA
A  B
BA  C
BA
Ejercicio: Dados los conjuntos:
A={1, 2, 3, 4}
B={4, 5, 6}
C=
D={5, 6, 7}
 C
BA

61. 61
      ABCDBA
c
 
BA ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
 CD  = { };  c
CD  = U
(B-A)={5, 6}
      ABCDBA
c
  =
=[{1, 2, 3, 4, 5, 6}-U]U{5, 6}
={1, 2, 3, 4, 5, 6}U{5, 6}
={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Definición: A={x; p(x)}  B{x; q(x)}→           xxxx qpqpxBA  ~;
=     xx qvpx

;
Esa definición implica una definición diferente:
Def:  BxvAxUxBA 

;
Ejercicio: Calcular en forma extensiva los siguientes conjuntos.
 3044; 


xvxZx
=   2,13,2,1 
={3}
Comparación de Conjuntos
Definición: 2 conjuntos son comparables si cualquiera de ellos es subconjunto
del otro, esto es:
BAABBA  son comparables
Conjunto de Partes de un conjunto:
Un conjunto puede ser elemento del otro conjunto
Ej:
Sea A={5, {6, 7}, 8, 9}
{6, 7} se llama elemento conjunto
Definición: El conjunto de partes de un conjunto A está formado por todos los
subconjuntos que pueden formarse a partir del conjunto A. se lo nota por p(A) y
se lo llama también conjunto potencia de A el conjunto vacío forma parte de
p(A).
Ejercicio: A={1, 2, 3} calcular p(A):
={{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3}}
Intervalos
Sabemos que Z=Z-
U{0}UZ+
Conjunto de los números reales






 0; bZba
b
a
Q = Conjunto de los números racionales
Ejemplos de números racionales:
666666,1
3
5 
 …

62. 62
4,0
5
2

0,5
1
5
5 
Un número racional se caracteriza porque su representación decimal o bien
termina o es periódica.
A parte de los números racionales existe otro tipo de números los irracionales.
Que son cuya representación racional no es periódica ni termina.
Ej:
...4142,12 
...14159,3
...718,2e
El conjunto de los irracionales se los representa con Q’
o con I y precisa que
QUQ’
=R
El conjunto de los números reales se lo puede asimilar a una línea recta porque
en ella se pueden representar todos estos números. Ya que existe una
correspondencia biunívoca. Los puntos de la recta y los números reales. Es
decir a cada punto de la recta le corresponde de un único número real y
viceversa.
Los Intervalos: Precisamente son subconjuntos de los números reales,
expresables en la recta numérica como segmentos.
Los intervalos se clasifican en finitos e infinitos.
Intervalos Finitos: Son aquellos en que están identificados sus extremos o
límites. Y se clasifican en los siguientes:
1) Abiertos A: Son conjuntos que no incluyen a los extremos: Ejemplo:
Rxx :
a b
 bxaRxA  ;
=(a, b)=]a, b[
2) Cerrados C: Son los conjuntos que se incluyen en los extremos.
Rxx :
a b
 bxaRxA  ;
= [a, b]
3) Semiabiertos o Semicerrados S: Son conjuntos que incluyen uno de los dos
extremos.
Rxx :
a b
 bxaRxA  ;
=[a, b)= [a, b[
Rxx :
a b
 bxaRxA  ;
=(a, b]=]a, b]

63. 63
Intervalos Infinitos: Son aquellos cuando al menos uno de sus límites va o
tiende al infinito. Y constituyen los siguientes.
1) Abiertos A:
Rxx :
 a 
 axRxA  ;
  a, (  ,a[
Rxx :
 a 
 axRxA  ;
=(  ,a] =]  ,a]
2) Cerrados C:
Rxx :
 a 
 axRxA  ;
=[a,  )= [a,  [
Rxx :
 a 
 axRxA  ;
=[a,  )=[a,  [
3) Infinito Total: Este intervalo constituye todos los números reales
Rxx :
 
 RxxA  ;
=(  ,  )=]  ,  [
Nota: Un intervalo cualesquiera también se lo expresa en la recta numérica por
encima o por debajo de la recta numérica.
A
A Rxx :
 -3 4 
Ejercicio: Determinar los elementos de los siguientes conjuntos:
1)  43;  xRx = (-3, 4]
Rxx :
 -3 4 
2)  14;  xRx = [-4, 1)

64. 64
Rxx :
 -4 1 
3)  43;  xRx = [-3, 4]
Rxx :
 -4 1 
4)  5112;  xxRx =[-2, 1]U(-1, 5]=[-2, 5]
Rxx :
 -2 -1 1 5 
5)  5112;  xxRx =   5,11,2  =(-1, 1]
Rxx :
 -2 -1 1 5 
6)  5112; 

xvxRx =[-2, -1) [1, 5]
Rxx :
 -2 -1 1 5 
7)  5112; 

xvxRx =(-2, -1)  [1, 5]
Rxx :
 -2 -1 1 5 
8)     1,13,3;  xRx = [-1,1]

65. 65
Rxx :
 -3 -1 1 3 
9)  5112; 

xvxRx =(-2,1)  [-1,5)
Rxx :
 -2 -1 1 5 
Leyes del Álgebra de conjuntos
Estas leyes constituyen las siguientes igualdades notables entre conjuntos.
1) Leyes de Idempotencia 2) Leyes Conmutativas
AAA  ABBA  
AAA  ABBA  
3) Leyes Asociativas 4) Leyes Distributivas
   CBACBA        CABACBA  
   CBACBA        CABACBA  
5) Leyes de Complemento: 6) Ley Involutiva
UAA '
 AA '
'
'
AA
'
U
U'

7) Leyes de Morgan 8) Ley de Identidad
  ''' BABA   UUA 
  ''' BABA   AUA 
AA 
 A
9) Leyes de Absorción 10) Otras Leyes
  ABAA  'BABA 
  ABAA 
Observaciones:
1) Estas Leyes se “comprueban” utilizando diagramas de Venn

66. 66
Ejercicio: Comprobar mediante diagramas de Venn las leyes del álgebra de
conjuntos.
1) Leyes de Idempotencia
AAA  AAA 
2) Leyes Conmutativas
ABBA  
3) Leyes Asociativas
   CBACBA      CBACBA  
4) Leyes Distributivas
     CABACBA        CABACBA  
5) Leyes de Complemento
ABBA  

67. 67
UAA '
 '
AA
'
U U'

6) Ley Involutiva
AA '
'
7) Ley De Morgan
  ''' BABA     ''' BABA  
8) Leyes de Identidad
AUA 
UUA 

68. 68
 A
9) Leyes de Absorción:
  ABAA    ABAA 
10= Otras Leyes
'BABA 
2) Estas Leyes se demuestran utilizando métodos de demostración de
teoremas.
Ejemplo: Demostrar la siguiente ley:
  ''' BABA   ↔   ''', BAxBAxUx   desigualdad de conjuntos
Demostración
del teorema 1 por el método directo:
 'BAx 
 BAx  Complemento de un conjunto
  BAx~  Cambio De Notación
 BxAx~   Definición de Unión de Conjuntos
AA 
     

  

21
''',''',
teoremateorema
BAxBAxUxBAxBAxUx 

69. 69
BxAx   Ley de Morgan
'' BxAx   Complemento de un conjunto
'' BAx  Intersección de Conjuntos L.Q.Q.D
Demostración del teorema 1 por el método directo:
'' BAx 
'' BxAx   Definición de Intersección de conjuntos
BxAx   Complemento de un conjunto
 BxAx~   Ley de Morgan
  BAx~  Definición de unión de conjuntos
 BAx  Cambio de Notación
 'BAx  Complemento de un conjunto
3) En las leyes de conjuntos en lugar de A, B ponemos otros conjuntos
compuestos respectivamente la igualdad original precede.
Ejemplo: Dada la ley de conjuntos
AA '
'
   BABA  ''
Ejercicio: Comprobar la ley utilizando diagramas de Venn
   BABA  ''
Este principio llámese principio de substitución de las leyes de conjuntos.
4) Las leyes de conjuntos con su principio de sustitución sirven para demostrar.
“otras igualdades entre conjuntos”
Ejercicio: Utilizando leyes y principios de sustitución demostrar la siguiente
igualdad.
       c
BAAAABBA   '
''
         c
BAAAABABA  ''''
 Ley conmutativa. Otras leyes y
Morgan
     c
BAUABBA  '''
 Ley distributiva. Ley de Complemento
  c
BAAUA  ''
 Ley de Complemento. Ley de Identidad
 ''
AA  Ley de identidad. Ley de absorción
A=A Complemento de un conjunto
Ejercicio: Demostrar las siguientes las siguientes igualdades por el principio de
substitución. “Estas igualdades son llamadas igualdades notables
complementarias y constituyen las siguientes.
1) BABA  ''
   ABBAABBA   )('')''( Def. Diferencia simétrica

70. 70
       '''' ABBAABBA   Otras Leyes. Ley involutiva
       BAABABBA  ''''  Ley Conmutativa
       ABBAABBA  ''''  Ley Conmutativa
2) ABBA 
       BAABABBA   Def. Diferencia Simétrica
       '''' BAABABBA   Otras Leyes
       '''' ABBAABBA   Ley Conmutativa.
3) AA 
    AAA    Def. Diferencia Simétrica
    AAA ''   Def. Otras Leyes.
  AUA  Def. Ley de Complemento. Ley de Identidad
AA  Ley de Identidad
A=A Ley de Identidad
4) AA
     AAAA  Def. Diferencia Simétrica
  Diferencia de Conjuntos iguales
  Ley de Idempotencia
5) ABBA  ''
   '' ABBA   Otras Leyes. Ley involutiva
   BABA  ''  Ley Conmutativa
4) Las Leyes de conjuntos con su principio de substitución sirven para
simplificar otros conjuntos.
Ejercicio: Simplificar el siguiente conjunto
1)    
c
BBA 
   
c
BBA  ' Otras Leyes
   
c
ABB ' Ley Asociativa
   
c
A Ley de Complemento
 ' Ley de Identidad
U Complemento del vacío
 'U Otras Leyes
 UU  Complemento del Vacío
U Ley de Idempotencia
2)      cc
CBACBA  
     cc
CBACBA  ''  Otras Leyes
     cc
CBACBA ''''   Morgan. Otras Leyes
     cc
ACBCBA  ''''  Ley Asociativa

71. 71
     cc
CBACBA ''''   Ley Conmutativa
'' DD  Principio de Substitución
'
'' DD  Otras Leyes
DD ' Ley Involutiva
 Ley de Complemento
3)      CBACCBA
c
 
      'CBACCBA
c
  Ley Asociativa Otras Leyes
      '' CBACCBA
c
  Otras Leyes
        ''' CBACCCBA
c
  Ley Distributiva
      '' CBACBA
c
  Ley de Complemento
     ''' CBACBA   Unión de Conjuntos
x’-x Principio de substitución
'' xx  Otras Leyes
  'CBA  Principio de Substitución
4)      BACBAC  
     '' BACBAC  Otras Leyes
Ley Distributiva
Ley de Morgan
5) BABA   son comparables
Si BABABABA  
BABA  
• Existe una similitud entre las leyes de las proposiciones y las leyes del
álgebra de conjuntos pudiendo cada proposición estar constituida por conjuntos
los operadores se pueden reemplazar por una operación de conjuntos. Así:


c
~
Ejercicio: Transformar la siguiente equivalencia lógica en un ejercicio de
conjuntos y demostrar la igualdad.
    '' BABAC 
    c
BABAC 

72. 72
     rq~pr~q~  pp
     c
rqpprqp  '' Sustitución de operadores lógicos por operadores
de conjuntos.
     c
CBAACBA  '' Cambio de Variables
     '''' CBAACBA   Ley de Morgan
       ACBAACBA  ''''  Ley Distributiva

73. 73
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1) Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de
calidad
. las fallas en el resto fueron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y se representan
del modo siguiente. Artículos con fallas del tipo A y del tipo B: 8. artículos con
solo fallas del tipo A: 12. Artículos con fallas de los 3 tipos: 3. Artículos del tipo
A y C: 5. Y artículos con solo fallas del tipo B: 2. El número de artículos que
tuvieron una sola falla del tipo C o de tipo B fue el mismo. Cuántos artículos
tuvieron fallas del tipo B y cuántos artículos tuvieron 1 sola falla.
100U
40CBA 
  60
c
CBA 
8BA
  12 CBA 
3CBA 
5CA
    xCABBAC  
12+5+x+3+2+2+x=40
2x+24=40
x=8
    xCABBAC  
B=5+3+2+8
B=18
        :





 BACCABCBA 
12 + 8 + 8 =28
• Determine los elementos de los conjuntos A, B y C, sabiendo que estos
cumplen al mismo tiempo las siguientes condiciones
1) A y B disjuntos
2) B y C no son disjuntos
3)    10,5,4':  AxBxx
4)   CCxAxx :
5)       8,6,3,2,1' BACBA 
6)  10,9,8,6,5,4,3,2,1CB 
7)       10,8,6,5,3,2,1 ACBBC 
1+2+4 1+2+3+4
5)     'BACBA 

74. 74
  BAC  
    8,6,3,2,1 BAC 
1+2+3+4+5+8
BC    ACB 
    ACBBC   1+2+3+4+5+6+7
A={9}
B={4, 5, 10}
C={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

75. 75
-1 1
2/
2/
2/
PRODUCTO CARTESIANO
Definición: El producto cartesiano de 2 conjuntos A y B, es el conjunto de
elementos de la forma (a,b), tales que BbAa  . A x B se lee “Producto
Cartesiano de A y B” o simplemente “A cruz B”. Es decir:
    BbAabaAxB  :),(
Los elementos de la forma (a,b) se llaman pares ordenados o parejas
ordenada.
Ejercicio: Dados los conjuntos:
A={1, 2}
B={2, 3, 6}
C={1}
Hallar: AxB, BxA, AxA=A2
, BxB=B2
, AxC, CxA, BxC, CxB, CxC=C2
.
AxB={(1,2), (1,3), (1,6), (2,2), (2,3), (2,6)}
BxA={(2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (6,1), (6,2)}
AxA=A2
={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
BxB=B2
= {(2,2), (2,3), (2,6), (3,2), (3,3), (3,6), (6,2), (6,3), (6,6)}
AxC={(1,1), (2,1)}
CxA={(1,1), (1,2)}
BxC={(2,1), (3,1), (6,1)}
CxB={(1,2), (1,3), (1,6)}
CxC=C2
={(1,1)}
Gráfica del producto Cartesiano
El producto cartesiano AxB se representa en el plano cartesiano, de la
siguiente manera. Procedimiento.
Paso 1: En el eje horizontal del plano se marcan los elementos de A.
Paso 2: En el eje vertical del plano se marcan los elementos de B.
Paso 3: Se proyectan al plano los elementos marcados en los pasos
anteriores.
“Nota”: Estos elementos se proyectan utilizando líneas de proyección (líneas
perpendiculares a los ejes entrecortados.
Paso 4: Se localizan y se marcan en el plano los puntos de intersección de las
líneas de proyección trazadas en el paso anterior. Estos puntos de intersección
constituyen la gráfica del producto cartesiano AxB.
Ejercicio: Dados los conjuntos:
A={-1, 0, 1}
B= 2/,2/ 
C={1}
Hallar AxB, BxA, A2
, B2
, AxC, BxC, AxC, CxA, C2
AxB
Rxx :
Ryy :

76. 76
-1
1
2/2/
-1
1
1-1
-1
-1
2/
2/
2/
2/
BxA
A2
B2
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

77. 77
-1
1
1-1
-1
1
12/ 2/
-1
1
1
-1
AxC
BxC
CxA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

78. 78
2/
2/
1
-1
1
1
-1
b
a
P(a,b)
CxB
C2
Conclusión: Si       baAxBbBaA ,; 
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

79. 79
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4-1-2-3-4
4
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4-1-2-3-4
4
Ejercicio: Dados los conjuntos
   4,143;  xNxA
   4,343;  xRxB
1C
AxB
BxA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

80. 80
-1
2
1
1
-4
1 3 4-4
-1
3
2
1
1
-4
1-4
4
2
3
2
1
1 1 3 4-1-2-3-4
4
AxC={(0,1)1 (1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}
CxA
BxC
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

81. 81
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4-1-2-3-4
4
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4-1-2-3-4
4
CxB
                             
                    






4,4,3,4,2,4,1,4,0,4,4,3,3,3,2,3,1,3,0,3
,4,2,3,2,2,2,1,2,0,2,4,1,3,1,2,1,1,1,0,1,4,0,3,0,2,0,1,0,0,02
AxAA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

82. 82
-1-4
-1
2
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
1 3 4-1-2-3-4
4
1
1
B2
=BxB
AxC
C2
=CxC
Ejercicio: Dados los conjuntos
 RxxA  :
 4,3B
 4225: 

xvxRxC
Realizar los gráficos AxB, BxA, AxC, CxA, BxC, CxB, BxC’
, C’
xB, A2
, B2
, C2
  ,A
 4,3B
        4,22,54,22,5 C
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

83. 83
-1
3
1
-4
-4
4
-1
1
-4
3 4-4
AxB
BxA
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

84. 84
4
2
2
-2
-5
42
2-2
-5
-5
4
2
2
-2
-5
3
2
4
2
AxC
CxA
BxC
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

85. 85
4
3
2
-5
2
2
-2-5 4
2
4
2
2
-2
-5
3
2
4
2
CxB
BxC’
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

86. 86
4
3
2
-5
2
2
-2-5 4
2
-5
4
3
2
3 4
2
C’xB
C’xB
B2
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

87. 87
4
2
2
-2
-5
2
2
4
2
32
2
2
3
2
BxC2
   55; xxZxA
B=[-3, 3]
C=]-1,1[
D={2, 3}
Realizar el gráfico de DxA, AxD, BxB-CxC
BxD
AxD
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

88. 88
-3
3
2
3
-3
-1
1
2
1
-1
-3
3
2
3
-3
B2
CxC=C2
BxB-CxC=B2
-C2
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :
Rxx :
Ryy :

89. 89
Observaciones:
1)     dbacdcba  ,,
2)    dbba ,,  excepto si a=b
3)      mnAxBBA nn ·
4) Si uno de los conjuntos es vacío entonces AxB será vacío.
5) Si uno de los conjuntos es infinito y el otro no es vacío entonces AxB será
infinito
6) En general BxAAxB  a menos que A=B o que uno de ellos sea vacío.
7) Si R es la recta real entonces RxR=R2
=   RyRxyx ;, , R2
forma el
plano cartesiano o plano real.
8)  CcBbAacbaAxBxC  );,,( de donde RxRxR=R3
forma el espacio
cartesiano o espacio real.
NÚMEROS REALES
Al fin de vincular al lector, lo antes posible con el conocimiento de los números
reales, se presentará el sistema de los números reales, denotado por R, como
un conjunto en el cual se cumplen ciertas leyes, esto es, de una forma
axiomática. Se tratará los números naturales, enteros, racionales, e irracionales
como subconjuntos del sistema de los números reales.
Entre los conjuntos de los números indicados anteriormente se tiene la
siguiente relación: RIRQN  Z
El sistema de los números reales constituye el conjunto “dotado” de 2
operaciones binarias. La adición, y la multiplicación, en el cual satisfacen los
axiomas de identidad, de campo, de orden, y el axioma de completes los
elementos de R se notarán con las letras minúsculas: a, b, c,…, x, y, z. la suma
de los números reales x e y se designa por x + y. el producto de los números
reales x e y se designa por xyyxyx ·
Axiomas de Identidad:
Rzyx  ,, , se tiene
T1: Reflexivo: x=x
T2: Simétrico: xyyx 
T3: Transitivo: zxzyyx 
Ejercicio: Comprobar los axiomas de Identidad
Reflexivo:
Si x=3→3=3
Simétrico: 3333
3
3






y
x
Transitivo: 333333
3
3
3









z
y
x

90. 90
Axiomas de Campo:
DE LA SUMA
S1: Clausurativa:
  RyxRyx  ;,
S2: Asociativa:
   zyxzyxRzyx  ;,,
S3: Conmutativo:
xyyxRyx  ;,
S4: Existencia del neutro aditivo: xxeexRxRe  ,
S5: Existencia del inverso aditivo: exyyxRyRx  ;
Observaciones:
• El número de S5 es el mismo que de S4, esto es e=0
• El inverso de x se denota como y; y=-x
Ejercicio: Componer los axiomas del campo de la suma
S1:   RRRyx  1385;, V
S2:     10105528235235;,,  Rzyx V
S3: 553223;,  Ryx V
S4: 555005,  RxRe V
S5:     005555;  RyRx V
DEL PRODUCTO:
P1: Clausurativo:   RyxRyx  ·;,
P2: Asociativo: )··()··(;,, zyxzyxRzyx 
P3: Conmutativa: xyyxRyx ··;, 
P4: Existencia del “Neutro Multiplicativo”:    xxeexRxRe  ··;
P5: Existencia del inverso multiplicativo: exxyyxRyRx  
;··;
Observaciones:
• El número e de P5 es el mismo que el de P4, esto es:
e=1
-El inverso multiplicativo de 0, xx si 1
, 
 xyy
• R+
es igual a los reales menos el cero: R-{0}
Ejercicio: Comprobar los axiomas del producto
P1:   RRRyx  63·2;, V
P2: 2424)4·3·(24)·3·2(;,,  Rzyx V
P3: 662·33·2;,  Ryx V
P4:    222·11·2;  RxRe
P5: 112·
2
1
2
1
·2;  
RyRx

91. 91
Relaciones entre la suma y producto:
Rzyx  ,,
Sp1: Distributiva por la Izquierda:
x(y+z)=xy+xz
Sp2: Distributiva por la derecha:
(x+y)z=xz+yz
Ejercicio: Comprobar las relaciones entre la suma y el producto
Sp1: 4(3+2)=4·3+4·2;4(6)=12+12;24=24
Sp2: (5+1)3=5·3+1·3;6·3=15+3;18=18
Propiedades de Campo:
1) El elemento cero, neutro aditivo, es único
2) El elemento –x, inverso aditivo de cada número real x es único
Corolario
Para todo número real -x el inverso aditivo de –x es x
  xxRx  ,
3) Ley Cancelativa de la Suma: Sean x, y, z números Reales tal que
x+y=x+z→y=z
Comprobación:
1+2=1+2→2=2 V
3=3 V
4) el elemento 1, neutro multiplicativo es único.
5) el elemento x-1
inverso multiplicativo de cada número real x, 0x es único
6) Ley Cancelativa del producto: Sean x. y, z números Reales, 0x Si
x·y=x·z→y=z
Comprobación:
x·y=x·z→y=z
2·3=2·3→3=3 V
6=6 V
7) En x un número cualesquiera →0x=0
00,  xRx
Definición: )(;, yxyxRyx 
Definición: 1
·;0,, 
 yx
y
x
yRyx
Definición: xxZnRx   1
;
nnn
xxxxx 
·11
8) Sean x,y números reales  Ryx ,
i) (-x)y=x(-y)=-(xy)→(-3)(2)=3(-2)=-(3·2)→6=6
ii) –x(-y)=xy;(-3)(-4)=3·4→12=12
9)   000;,  yxxyRyx
Axiomas de Orden: Seguramente el lector podrá distinguir con facilidad si un
número es positivo o negativo. Sin embargo es posible que le resulte
complicado definir con exactitud. Existe un subconjunto de Reales en los
Reales, entre los reales positivos. R+
, en el que se satisface los siguientes
axiomas conocidos como axiomas de orden:
O1:     
 RyxRyxRyx ·,;,

92. 92
O2: Rx satisface 1 solo 1 de las 3 condiciones siguientes:
a) 
 Rx
b) 
 Rx
c= x=0
Ejercicio: Comprobar estos axiomas de orden
O1:     
 RRRR 653·232
O2: 
 Rxx 2;2
En los axiomas de orden se permitirá determinar si un número dado es “mayor”
que otro o “menor” que otro
Ryx  , El número real x es menor que y se notará como x<y
Un número y mayor que x se denota por y>x si xzy
Son muy usuales las notaciones siguientes: < se lee “menor que”, > se lee
“mayor que“. : se lee “menor o igual que”,  se lee: “mayor o igual que
TEOREMA: Sea x un número real:
1) 
 Rxx 0 x es positivo
2) x<0↔x es negativo
3) x>0↔-x<0
4) x<0↔-x>0
Ejercicio: Comprobar este teorema
1) 4>0↔4 es positivo
V
2) -3<0↔-3 es negativo
V
3) 2>0↔-2<0
V
4) -5<0↔5>0
V
TEOREMA: Rwzyx  ,,,
1) zxzyyx 
2) zyzxyx 
3) wyzxwzyx 
4) zyzxzyx ··0 
5) yzxzzyx  0
6) ywxzwzyx  000
Ejercicio: Comprobar este teorema
R 5,4,3,2
1) 424332  V
2) 76434232  V
3) 8653425432  V
4) 1284·34·20432 
5) 128)4(3)4(20432  V
6) 15805·34·20540320  V
• Las siguientes propiedades son similares a las anteriores excepto que la
dirección de la desigualdad se invierta
Rwzyx  ,,,
1) zxzyyx 

93. 93
2) zyzxyx 
3) wyzxwzyx 
4) zyzxzyx ··0 
5) zyzxzyx ··0 
6) ywxzwzyx  000
Ejercicio: Comprobar este teorema
1) 242334  V
2) 56232434  V
3) 4613241234  V
4) 682·32·40234  V
5)   682·3)2·(40234  V
6) 03801·32·4012034  V
OTRAS PROPIEDADES
1) 0·00  yxyx
2) 0·00  yxyx
3) 00 2
 xx
4) 00 1
 
xx
5) 11
00 
 xyyx
6) 00 11
 
xyyx
7) nnnnnn
yxyxyxZnyxRyx 
 11
,,,
8) Se cumple 1 y solamente 1 de las siguientes relaciones:
yxvyxvyx 

9) yzxRzyxRyx  ,;,
Ejercicio: Comprobar las propiedades anteriores:
R 5,4,3,2
1) 0120)4)·(3(0403  V
2) 01204)·3(0403  V
3)   090303 2
 V
4)   0
3
1
0303
1


V
5)    
3
1
4
1
0340430
11


V
6)     0
4
1
3
1
043034
11


7)
9
1
16
1
73,1294163434342,34,3,4 22212122
 
ZR V
8) 4343434,3 

vvR V
V F V
9) 543,453;5,3  RR V

94. 94
Axiomas de Identidad:
Rzyx  ,, , se tiene
I4) x=y→x+z=y+z
I5) x=y→x·z=y·z
Comprobando esas propiedades
x=1 x+z=y+z x·z=y·z
y=1 1+2=1+2 1·2=1·2
z=2 3=3 V 2=2 V
Leyes de Exponentes
Teorema: QrsRrx  ;,
1) xs
·xr
=xs+r
2) (xr
)s
=xr·s
=(xs
)r
3)(x·y)r
=xr
·yr
4) r
rr
y
x
y
x






5) sr
s
r
x
x
x 
 “siempre y cuando las expresiones representen
números reales”
Ejercicio: demostrar este teorema
1) xs
·xr
=xs+r
x=2
23
·21
=23+1
8·2=24
16=16
2) (xr
)s
=xr·s
=(xs
)r
x=2
(21
)2
=21·2
=(21
)2
22
=22
=22
4=4=4
3) (x·y)r
=xr
·yr
x=2; y=3
(2·3)2
=22
·32
36=36
4) r
rr
y
x
y
x






x=2, y=1
2
22
1
2
1
2






4=4
5) sr
s
r
x
x
x 

x=2

95. 95
23
2
3
2
2 
 x
2=21
2=2
Valor Absoluto:
El valor absoluto de un número real. Rx , se define como:









0
0,
xsix
sixx
x
Ejercicio: Calcular los siguientes valores absolutos
1010 
33 
2121 
00 
  313131 
 
TEOREMA: Rx , se cumple que:
1) 0x
2) 00  xx
3) 22
xx 
4) xx 2
5) xxx 
6) xx 
Ejercicio: Comprobar este teorema:
1)   03;333 
2) 00 
 
    
99
)3(3
33
33)3
22
22
22




4) 442

416 
44 
5) 333 
  333 
333 

96. 96
3333 
33333333 

vv
3 < 3

v 3 = 3  3 < 3

v 3 = 3
F V V V F V V
TEOREMA: 0,,,  bRbax , se cumple que
1) bxbbx 
2) bxbbx 
3) baxbbax 
4) baxbbax 
5) bxbxbx 
6) bxbxbx 
7) bxbxbx 
TEOREMA
1) La desigualdad triangular:
babaRba  ;,
babaRba ··;, 
b
a
b
a
Rba  ;,
COROLARIOS AL ÚLTIMO TEOREMA
1) babaRb,a 
2) babaRba ,
3) 0;,  bbabaRba
Ejercicio: Comprobar el teorema y sus corolarios.
1) 2121 
213 
33 
3 < 3

v 3 = 3
F V V
2) 2·12·1 
2=1·2
2=2 V

97. 97
3)
2
1
2
1

2
1
2
1
 V
Corolario:
1) 1212 
121 
31
1 < 3

v 1 = 3
F V V
2) 1212 
112 
11
1 < 1

v 1 = 1
F V V
3) 1212 
121 
11
1 > 1

v 1 = 1
F V V
Observación:
Geométricamente el valor absoluto de un número representa una distancia: en
efecto, cuando los números reales se representan geométricamente sobre el
eje real x se llama distancia de x a cero (0).
En general ba  es la distancia entre a y b.
En la figura siguiente se representa tal ejemplo:

98. 98
Sabemos: 10)10(10155 
10=distancia
Rxx :
 5 15 
Expresión Algebraica
Definición: Expresión algebraica es toda combinación de números y letras
mediante las operaciones fundamentales de la aritmética (suma, resta,
multiplicación, división, y elevación a potencia)
Ej:
 
  12
32
2


xyx
yxa
Definición: Cuando una expresión algebraica se involucra solo operaciones de
multiplicación o división entonces dicha expresión adquiere el nombre de
términos.
Ej:
9
1
132 2
 xa
las expresiones:
9
1
,1,3,2 2
xa son términos:
Definición: En consecuencia una expresión algebraica puede estar constituida
de – o + cuando esta viene constituida de un solo término se denomina
monomio y cuando esta viene constituida de uno o más términos se denomina
polinomio. Al polinomio constituido de 2 o más términos se denomina binomio
y al polinomio constituido de 3 términos se denomina trinomio.
Ej:
012... 21
1 axaxaxananx nn
 
 → n+1 términos
Polinomio de n+1 términos
Definición: Sea la expresión algebraica 2
r ; si r= radio de la circunferencia
entonces la expresión 2
r calcula el área del círculo respectivo y esto se
denota por: 2
rA 
Esta fórmula establece una relación entre los símbolos, A, r,  . En esta
relación  conserva su valor numérico específico= 3,1416. Sea cual sea el
tamaño del radio del círculo. Símbolos como este que representan una
cantidad fija se llaman constantes de relación o simplemente constante de la
expresión algebraica A.
Definición: Con respecto a la definición anterior los valores numéricos de A y
V variarán el uno en dependencia del otro según el tamaño que adopte el
círculo. A símbolos como estos que pueden adoptar diferentes valores en una
relación se llaman variables de la relación o variables de la expresión A. el
hecho que en esta relación el valor numérico del símbolo “A” varía en función
del valor numérico atribuido al símbolo de r. en términos algebraicos en vez de
f(r) se utiliza cualquier letra del alfabeto acompañado de (r).

99. 99
En P(r) y P(r) representa la representación de la expresión 2
r en una expresión
algebraica representada siempre existe una variable independiente y una
variable dependiente.
Ejemplo: Dada la expresión algebraica:
A= P(r)= 2
r
R es la variables independiente y A es la variable dependiente.
Definición: En una expresión las constantes representan por números o por
las letras del alfabeto. Tanto que las variables se representan por las últimas
letras del alfabeto.
Ej: 012... 21
1 axaxaxananx nn
 

La constante a que aparece en el polinomio P(x) se denomina a su vez
constante independiente y representa el término independiente que no tiene
ninguna variable.
Observación: La variable independiente puede ser una letra o una
combinación de letras:      XPXx  1121
2
=  1xP
Ejercicio: Dado el polinomio:
X4
+x2
+1 se puede representar como P(x)=
P(x
2
)=(x2
)2
+(x2
)1
+1
Definición: Se denomina coeficiente a la expresión que acompaña a otra como
factor. Cuando el coeficiente está representado por números o por las letras del
alfabeto se llaman coeficientes numéricos.
Ejemplo: En el polinomio anterior   012... 21
1 axaxaxananxP nn
x  

an= coeficiente de xn
xn
= coeficiente de an
an= coeficiente numérico de xn
Definición: Denomínese de un monomio al resultado de la suma de las
expresiones de las variables que intervienen en todo el monomio. El grado de
un monomio siempre es mayor o igual que cero ( )0 Zx 
Ejemplo:
Dado el monomio:
-3x2
y4
2
5
w
x
2+4=6→ grado el monomio 5-2=3→ grado del monomio
Definición: Denomínese al grado de un polinomio al grado de términos de
mayor grado de ese polinomio siempre y cuando dicho polinomio esté
representado en función de una sola variable.
Ejemplo: el grado del polinomio: 012... 21
1 axaxaxanxa nnn
 
 es igual a
an.
Definición: Se denomina el valor numérico de una expresión al valor numérico
que adquiere esta al representar las letras por números asignados como datos.
Ejercicio: Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones.

100. 100
1) x3
+x2
+x+1 si x=-1
P1(1)=(-1)3
+(-1)2
+(-1)+1
P1(1)=-1+1-1+1
P1(1)=0
2) x3
+y3
+z3
si x=y=z=2
P2(2,2,2)= x3
+y3
+z3
** caso especial
P2(2,2,2)= (2)3
+(2)3
+(2)3
P2(2,2,2)=8+8+7
P2(2,2,2)=24
3)(x+1)2
-(x+1)+1 si x=
P3( )=(x+1)2
-(x+1)+1
P3( )=(3,1416+1)2
-(3,1416+1)+1
P3( )=(4,1416)2
-(4,1416)+1
P3( )=13,99
2 polinomios son iguales si los coeficientes de cada uno de sus respectivos
términos son iguales.
Ejercicio: Para qué valores de a,b,c esos polinomios son iguales
P1(x)=ax2
+b(x-1)+c
P2(x)=-x2
+4x-4+1=-x2
+4(x-1)+1
Términos:
   xx PP
cx
bx
ax
21
1)(
4)1(
1
0
2









Observación: El ejercicio anterior también puede resolverse de la siguiente
manera P1(x)= ax2
+b(x-1)+c= ax2
+bx-b+c= ax2
+bx+(c-b)x0
P2(x)= -x2
+4x-4+1=-x2
+4x-3=-x2
+4x-3x0
   xx PP
ccbcenx
benx
aenx
21
1343:
4
1:
0
1
2









Un polinomio se podrá ordenar y completar en función de una sola variable de
la que depende el polinomio ya sea en forma ascendente o descendente, el
tipo de variable de la que depende el polinomio se denomina variable de
operación o letra directiva del polinomio.
Ejercicio: Ordenar y completar en forma ascendente y descendente los
siguientes polinomios:
P1(x)=x4
+x5
-1
Ascendente: Descendente:
-1x0
+0x1
+0x2
+0x3
+x4
+2x5
2x5
+x4
+0x3
+0x2
+0x1
-1x0
P2(x)=x3
+y3
+z3
-3xyz
P2(x)=x3
+0x2
-3yzx1
+(y3
+z3
) x0

101. 101
Todo polinomio para ser operable con otro deberá representarse y completarse
al igual del otro en función de una misma variable y en un mismo sentido.
-Operaciones en y con Polinomios:
1) Reducción de Términos semejantes en un polinomio:
Para el efecto entiéndase por términos semejantes a los términos constituidos
por los mismos factores y/o divisores elevados a los mismos exponentes.
Ejercicio: Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones
1) P1(x)= 2xy+3xz-x= x(2y+3z-1)
2) P2(x)=a2
x+ax2
+a=a(ax+x2
+1)
3) P3(x)=
xxxxx
24321

4) P4(b)= (x+b)2
-(x+b)=(x+b)[(x+b)-1]
5) P5(y)= 2222
12
3
21
yyyy

6) P6(a)=a2
b+ab2
-a2
=a(ab+b2
-a)
7) P7(x)=1+2+3-4+5=7
Es decir al reducir términos semejantes en un polinomio es sacar factor común
de dichos términos del polinomio.
2) Suma de Polinomios: Sumar varios polinomios es formar un nuevo polinomio
cuyos términos son todos los términos de los polinomios sumados.
Ejercicio: Dados los polinomios:
1)
P1(x)=x2
-2x3
+1
P2(x)=x3
-x+1
P3(x)=4x4
-1
Calcular: 2 P1(x)+ P2(x)- 3P3(x)
-4x3
+2x2
+2
X3
-x +1
-12x4
+3
-12x4
-3x3
+2x2
-x +6
2)
P1(y)=y2
+y-1
P2(y)=y5
P3(y)=x3
+y3
+z2
-xyz+1=y3
+0y2
-xzy1
+(x3
+z2
+1)x0
Calcular P1(y)- P2(y)+3[P3(y)+1]
0 y5
0 y4
0 y3
+y2
+y -1
-y5
-0 y4
+0 y3
0 y2
0 y 0
0 y5
+0 y4
+3y3
+0y2
-3xzy 3x3
+3z2
+3+1
-y5
+0 y4
+3y3
+y2
+(1-3xz)y +3x3
+3z2
+3

102. 102
3) Resta: La resta es una operación de adición en que a uno de los polinomios
se lo cambia de signo según como se enuncie en el ejercicio en efecto se
enuncia:
1) De P1(x), Restar P2(x)=P1(x)-P2(x)
2) Restar P1(x) de P2(x)=-P1(X)+P2(x)=P2(x)-P(1)(x)
Ejercicio:
1) Restar P(a)=a4
-a2
+1 de Q(a)=2a2
+4
P(x)= 2a2
+4a0
Q(x)= -a4
+0a3
+a2
-1 a0
-a4
+0a3
+3a2
3
2) De P(b)=a3
+b3
restar Q(b)=a+b
P(b)= b3
+0b2
+0b +a3
b0
Q(b)= -b -ab0
b3
+0b2
-b +(a3
–a)b0
4) Multiplicación de Polinomios: La multiplicación de un polinomio por otro se
fundamenta en la aplicación del axioma a(b+c)=ab+ac v (a+b)c=ac+bx
Nota: Para multiplicar un monomio por otro, primero se multiplican los signos,
luego se multiplican sus constantes y por último se multiplican las variables,
conforme a los axiomas y leyes dados anteriormente.
Ejercicio:
Multiplicar
1) P1(x)=x2-
x3
+1
P2(x)=x2
+2
P1(x)= -x3
+x2
+0x1
+1x0
P2(x)= +x2
+2x0
-x6
+x4
+x3
+x2
-2x3
+2x2
+0x1
+3
-x6
x4
-2x3
+3x2
+0x1
+3
2)P1(x)=x3
+y3
+z3
-2xyz
P2(x)=x+y+z
P1(x)= x3
+0x2
-2yzx +(y3
+z3
)x0
P2(x)= x (y+z)x0
x4
+0x3
-2yzx2
(y3
+z3
)x
(y+z)x3
+0x2
-2yz(y+z)x +(y3
+z3
)(y+z)
X4
+(y+z)x3
-2yzx2
[(y3
+z3
)-2yz(y+z)]x +(y3
+z3
)(y+z)
3) P1(x)=a3
+ba+b3
P2(x)=a-b
P1(x)= a3
+0a2
+ba1
+b3
a0
P2(x)= +a1
-ba0
a4
+0a3
+ba2
+b3
a1
-ba3
-0ba2
-b2
a1
-b4
a0
a4
-ba3
+ba2
+(b3
-b2
)a1
-b4