Este documento presenta una investigación sobre el Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio. Explica el Teorema de Valor Extremo, define el Teorema de Rolle y lo demuestra usando el Teorema de Valor Extremo. Luego define el Teorema del Valor Medio, lo interpreta geométricamente y lo demuestra como una generalización del Teorema de Rolle. Concluye que estos teoremas son importantes para determinar números críticos en el cálculo diferencial.

1. INGENIERIA DE SISTEMAS
TEMA:
Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
REALIZADO POR:
-Emilio Rodríguez
- Darwin Torres
PROFESOR:
-Ing. Guillermo Martínez
MATERIA:
-Análisis Matemático II
CURSO:
-Segundo

2. INDICE
Agenda de Contenidos
INDICE ......................................................................................................................................... 1
DEDICATORIA ........................................................................................................................... 2
AGRADECIMIENTO .................................................................................................................. 3
OBJETIVOS ................................................................................................................................ 4
OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................... 4
OBJETIVO ESPECIFICO ...................................................................................................... 4
INTRODUCCION ........................................................................................................................ 5
TEOREMA DE ROLLE .............................................................................................................. 6
TEOREMA DE VALOR EXTREMO ..................................................................................... 6
TEOREMA DEL VALOR MEDIO ............................................................................................. 9
CONCLUSION .......................................................................................................................... 11
REFERENCIAS ........................................................................................................................ 12
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3. DEDICATORIA
“Dedicamos el presente trabajo a todos aquellos que contribuyen a
nuestra educación tanto dentro como fuera de la Universidad, a nuestros
padres, familiares y amigos, quienes siempre nos han apoyado.”
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4. AGRADECIMIENTO
Queremos extender nuestro agradecimiento a toda la cátedra de profesores que
conforman la facultad de Ingeniería de la Universidad de Cuenca, a nuestros padres
por el apoyo incondicional que diariamente nos brindan.
Para finalizar nos gustaría agradecer igualmente a todas aquellas personas que de
una forma u otra contribuyen a nuestro crecimiento como seres humanos dentro y
fuera de la Universidad.
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5. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
 El principal objetivo propuesto en este trabajo es ampliar nuestros
conocimientos acerca del cálculo, conocer plenamente los conceptos
necesarios para el uso e Implementación del Teorema de Rolle y Valor
Medio, que posteriormente se aplicarán en el Cálculo Diferencial e Integral.
OBJETIVO ESPECIFICO
 Entender las condiciones que se requieren para que se puedan cumplir los
Teoremas de Rolle y Valor Medio.
 Tener la capacidad emplear los teoremas aprendidos en los ejercicios o
problemas que se presenten.
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6. INTRODUCCION
En los problemas matemáticos de la actualidad es importante conocer la forma
correcta de cómo graficar las funciones. La obtención de su dominio, rango, cortes,
números críticos, entre otros datos, es muy necesaria para poder realizar estimaciones
graficas más exactas de su comportamiento.
En el presente trabajo analizaremos dos teoremas imprescindibles para lograr dicha
tarea: El Teorema de Rolle, y su generalización, El Teorema del Valor Medio. Ambos
teoremas nos servirán para ampliar nuestros conocimientos en el cálculo diferencial.
Cada teorema abordado contara con su respectiva demostración y ejemplos
ilustrativos para mejor comprensión.
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7. TEOREMA DE ROLLE
Antes de definir el Teorema de Rolle, es necesario conocer otros conceptos como el
Teorema del Valor Extremo, el cual nos ayudara a demostrar posteriormente el
Teorema anunciado.
TEOREMA DE VALOR EXTREMO
ENUNCIADO:
Sea la función f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces la función tiene un
valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto en [a, b].
DESCRIPCION DEL TEOREMA:
El teorema nos dice que la continuidad de la función en un intervalo cerrado es una
condición suficiente pero no necesaria que nos garantiza que la función tiene valores
máximos (M) y mínimos (m) absolutos. Se plantea que dicha condición de continuidad
no es necesaria puesto que la función puede ser discontinua y aun así tener valor
máximos y mínimos absolutos, excepto en los puntos de discontinuidad.
Dicho esto se puede proceder a demostrar el Teorema de Rolle:
Estudiado y desarrollado por el matemático francés Michael Rolle, entre los años
1652 y 1719, este teorema se considera como uno de los más importantes dentro del
cálculo, ya que es utilizado para la demostración de otros teoremas.
ENUNCIADO:
Sea f una función definida en tal que:
1. es continua en el intervalo cerrado
2. es derivable en el intervalo abierto
3.
Entonces existe un número en el intervalo abierto tal que:
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8. Este teorema es válido, si y solo si, las tres hipótesis anteriormente mencionadas
se cumplen.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
El teorema asegura que, al cumplir con las condiciones del enunciado, existe al menos
un punto en el que la tangente a la curva es horizontal, es decir que
para ir de a , o bien tenemos una recta horizontal en él , lo cual ocasiona
que todos los puntos sobre ella sean críticos; o en al menos un punto la grafica de la
función produce un extremo relativo en el cual existe una tangente horizontal.
Para la correcta demostración de este teorema, utilizaremos el teorema del valor
extremo cuya hipótesis:
DEMOSTRACION:
Se consideran dos casos para la demostración de este teorema:
CASO 1: para toda en el intervalo cerrado .
Por lo que la derivada de siempre será cero para cualquier valor que tome
en el intervalo abierto , entonces cualquier numero entre y
puede tomarse como . Esto explica lo anteriormente dicho de que “todos los
valores son puntos críticos”.
CASO 2: es diferente de cero para algún valor que tome en el intervalo
abierto
Como ya conocemos el Teorema del Valor Extremo, tiene un valor
y absoluto en . Por hipótesis se conoce que
y que es diferente de cero para algún valor de en
. Como conclusión tendrá un valor máximo positivo absoluto en algún 1
o un valor mínimo negativo absoluto 2; es decir, para 1o 2, existe un
extremo absoluto en el punto interior del intervalo , lo que indica que el
extremo absoluto es un extremo relativo y por hipótesis existe, y
finalmente .
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9. Figura 1
Como podemos observar en la grafica (figura 1) en el intervalo [a, b] la grafica
no es continua por lo tanto no se cumple el Teorema de Rolle.
Figura 2
En este ejemplo (figura 2), se observa que la función es continua en el intervalo y
diferenciable en ; además y son iguales a cero; lo que implica que se
cumple el teorema de Rolle, puesto que .
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10. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
ENUNCIADO:
Sea f una función definida en , tal que:
1. f es continua en el intervalo cerrado .
2. f es derivable en el intervalo abierto .
En estas condiciones existe un punto del interior del intervalo 0 c( ) tal que
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:
Este teorema expresa la existencia de un punto en tal que la recta tangente en
es paralela a la cuerda de extremos y , ya que las
pendientes respectivas coinciden tal que:
Figura 3
En la gráfica (figura 3) observamos que si se hace coincidir el con la recta se
cumpliría el Teorema de Rolle, por lo tanto se puede concluir que, el Teorema del
Valor Medio es una generalización o expansión del Teorema de Rolle.
DEMOSTRACION:
Conocemos por definición que una recta que pasa por (figura 3) es:
Despejando :
Si consideramos a como la distancia vertical de la grafica de la función y un punto
correspondiente a la secante que pasa por entonces:
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11. Ahora procedemos a demostrar que esta función cumple con las tres hipótesis del
Teorema de Rolle:
I. es continua en el intervalo puesto que es la suma de con un
polinomio lineal, los cuales sabemos, son continuos ahí. Por ello la condición
Nro. 1 se cumple.
II. Además se sabe que la función es diferenciable en por lo que se cumple
la condición Nro. 2.
III. Por último, como se planteó anteriormente, si se toma a la recta secante
como el entonces . Con esto quedaría demostrado el
Teorema de Rolle.
Si procedemos a derivar la función obtendremos:
Puesto que el Teorema de Rolle llega a la conclusión de que en un intervalo
entonces reemplazamos por , así:
Que es lo que queríamos demostrar inicialmente.
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12. CONCLUSION
Al culminar el presente trabajo de investigación, se pudo comprender que dentro del
Cálculo Diferencial, tanto el Teorema de Rolle como del Valor Medio son muy
importantes para determinar la existencia de un numero crítico.
Además, las especificaciones de los teoremas, sirven para ser capaces de realizar
cualquier tipo de ejercicios o problemas que impliquen el encontrar Valores.
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13. REFERENCIAS
WEB:
TITULO: TEOREMA DE ROLLE Y VALOR MEDIO
http://www.sectormatematica.cl/media/diferenciado/FRACCIONES%20PARCIALES.doc.
FECHA DE ACCESO: 12/10/10
TEXTOS:
LOUIS LEITHOLD, “EL CALCULO 7ma. Edición”, Editorial Litográfica Ingramex, S.A
de C.V, México D.F. México, 2002.
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