Ejercicios detallados del obj 5 mat ii 178 179-

Capitulo II
Matemática II
Objetivo 5. Aplicar las derivadas de orden superior a uno a problemas de
optimización, a la representación gráfica de una función o a la aproximación de
funciones mediante funciones polinómicas.
Ejercicio 1
Dada la función f :ℝ®ℝ definida por:
4 3
x x
f ( x ) = + - x 2 + 1
.
12 6
a. Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y
convexidad.
b. Representar aproximadamente la gráfica de f (x) .
Solución
Justificación: Primero quiero dejarte claro amiga y amigo estudiante con
las palabras concavidad y convexidad en Matemática, ya que a mi juicio hay
que dar 2 palabras y no una, al hablar de este aspecto, observa lo siguiente:
Como puedes ver una curva puede ser cóncava y convexa, de manera,
que si se te pide, diga cuando una curva es cóncava o convexa, no será
suficiente información ya que una curva tiene ambas características. Ahora
bien, ¿cómo resolver esta situación?
Se resuelve así:

Cuando la curva este así:
Y cuando la curva este así:
Observa como el problema se soluciono, solo con mencionar si la
característica es hacia arriba o hacia abajo. En el resto de esta guía cuando

hable de concavidad y convexidad, hablare de cóncava hacia arriba o hacia
abajo según sea el caso ó de convexa hacia arriba o hacia abajo, según sea el
caso.
Ahora comenzaré a dar respuesta al ejercicio número 1.
a. Los puntos de inflexión son aquellos donde la curva cambia de
cóncava hacia arriba a convexa hacia abajo ó de cóncava hacia abajo a
convexa hacia arriba.
Estos puntos (x, y) de inflexión, SIEMPRE se consiguen de la siguiente
manera:
Para conseguir las abscisas de los puntos, es decir, las coordenadas
equis, se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación
generada, así:
4 3
= + - 2
+
- -
4 1 3 1 3 2
( ) 1
12 6
4 3
-
= + - + ® = + -
era ' 2 1 ' 1
1 derivada: ( ) 2 0 ( ) 2
12 6 3 2
3 3 - 1 2
2 -
1
-
= + - ® = + - = + -
da '' 1 1 '' 2 1 0 2
2 derivada: ( ) 2.1 ( ) 2 2
3 2
x x
f x x
x x x x
f x x f x x
x x
f x x f x x x x x x
Ahora igualaremos a cero:
- ± 2 - - ± 2
- - + - = ® = = =
- ± + 2
b b ac
 - + = - ± = = = = - ± =  1


 = - - = - = - 2
4 1 1 4.1.( 2) 1 1 8
2 0
2 2.1 2
1 3 2
1
1 9 1 3 2 2
2 2 1 3 4
2
2 2
x x x
a
x
x
x
Una vez obtenidas las abscisas, se consiguen las ordenadas, es decir,
las coordenadas yes, con la función original, así:
Para 1 x =1:
4 3 4 3
= + - + ® = + - + = + - + = + = =
2 2 1 1 1 1 6 12 18 1
x x
( ) 1 1 1 1 1
f x x y
12 6 12 6 12 6 72 72 4
El primer punto de inflexión es:
1
1,
4
 
 
 

Para x2 = -2 :
4 = x + x
3 4 3
- 2 + ® = ( - 2) + ( - 2) - - + = 4 - 8 2 - + = 4 - 16
- = - - = -
( ) 1 ( 2) 1 4 1 3 1 3 4
f x x y
12 6 12 6 12 6 12
El segundo punto de inflexión es: (-2,-4)
Después de conseguir estos puntos de inflexión, pasaremos a conseguir
los intervalos donde la curva es cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo y
cóncava hacia abajo ó convexa hacia arriba.
El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba ó convexa hacia
abajo SIEMPRE se obtiene así:
f '' (x) > 0
Curva así: È
Y el intervalo donde la curva es cóncava hacia abajo o convexa hacia
arriba es:
f '' (x) < 0
Curva así: Ç
Resolveré f '' (x) > 0 , es decir, x2 + x - 2 > 0 . Sabemos del objetivo 3 de
Matemática 1, donde se explico en detalle la resolución de inecuaciones, que
debemos factorizar este polinomio para resolver la inecuación; pero, Para
factorizar este polinomio debemos conseguir las raíces, es decir, x2 + x - 2 = 0 ,
pero éstas raíces ya las conseguimos, cuando calculamos las abscisas de los
puntos de inflexión, y son: 1 x =1 y 2 x = -2 , por lo tanto nuestro polinomio
factorizado queda: x2 + x - 2 = (x -1)(x + 2) , así nuestra inecuación queda:
+ - >
- + >
2 2 0
x x
x x
( 1)( 2) 0
Para resolver esta inecuación, estudiare los signos de este producto a
través del siguiente cuadro (LA EXPLICACIÓN DETALLADA DE LA
CONSTRUCCIÓN DE ESTE CUADRO SE ENCUENTRA EN EL OBJETIVO 3
DE MATEMÁTICA 1):
En la parte superior se ubican ordenadamente las raíces 1 x =1 y 2 x = -2 ,
como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte izquierda
con menos infinito y en la parte derecha con más infinito.

En la parte izquierda del recuadro se colocan las expresiones
factorizadas (x -1) y (x + 2) . SigI Significa, signo de la inecuación.
Ahora bien, primero se resuelve la primera fila del recuadro a través de:
(x -1) > 0® x >1
Esto indica que para toda equis mayor que uno la expresión (x -1) es
positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se
encuentra el 1 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es
decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Procedemos de igual forma para:
(x + 2) > 0® x > -2
Esto indica que para toda equis mayor que menos dos la expresión
(x + 2) es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde
se encuentra el -2 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto,
es decir, a la izquierda de esa misma línea signos negativos.
Finalmente, se multiplican verticalmente, columna por columna, los
signos para obtener la última fila, donde se encuentra la notación SigI .
De esta manera se obtiene el siguiente cuadro:
Ahora observa el siguiente esquema explicativo:

Por lo tanto la función es cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo, en
el intervalo:
(-¥,-2)È(1,¥)
arriba en el intervalo:
(-2,1)
b. Gráfica aproximada:
Para hacer esta representación gráfica aproximada, dibujamos los
puntos de inflexión y con el conocimiento de los intervalos donde es cóncava
hacia arriba ó convexa hacia abajo, se tiene:

Gráfica 1
Respuesta: Los puntos de inflexión son:
1
1,
4
 
 
 
y (-2,-4). La función es
cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo, en el intervalo: (-¥,-2)È(1,¥) y
cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en el intervalo: (-2,1)
La gráfica aproximada es la representada en la gráfica 1.
Ejercicio 2
Supongamos que el rendimiento r en % de un estudiante UNA en una
prueba parcial de Matemática II que tiene una duración de 3 horas viene dado
por: r = t.(3- t) , donde 0 < t < 3 es el tiempo en horas. Determinar:
a. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b. ¿En qué momento el rendimiento es nulo?
c. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

Solución
Justificación: Para:
a. En este caso nos están pidiendo donde la función crece y donde
decrece, a saber:
· La función crece cuando r' (t) > 0
· La función decrece cuando r' (t) < 0
Por lo tanto, calculamos la primera derivada, pero antes de calcularla,
efectuare la propiedad distributiva en la función original para que sea más
fácil el proceso de derivación:
r = t.(3- t) = 3t - t 2
Derivando:
r = t.(3- t) = 3t -t 2 ®r' = 3- 2t
Por lo tanto la función crece cuando:
' 3
( ) 0 3 2 0 3 2
2
r t > ® - t > ® > t ®t <
De esta última conclusión se deduce que la función decrece cuando
3
2
t > .
Como la función esta definida en: 0 < t < 3, la función crece en el
intervalo:
3
0
2
< t <
Y decrece en el intervalo:
3
3
2
< t <
b. El rendimiento es nulo cuando r = 0 , es decir:
0
0
3
.(3
 =
0
)
3
r
t
t
t t
t
-
- =
= = 
 =
Por lo tanto en t = 0 y t = 3 el rendimiento se anula.
c. El mayor rendimiento se obtiene en la abscisa máxima, y para
calcularla primero se consiguen los puntos críticos a través de la igualdad:
r' = 0
Es decir:

' 3
3 2 0 2 3
2
r = - t = t = t =
Para verificar la naturaleza de este valor, es decir, si es máximo o
mínimo, se procede a verificar con la prueba de la segunda derivada, a saber:
· Si al evaluar la segunda derivada en la abscisa crítica resulta positiva
concluimos que tenemos un mínimo.
· Si al evaluar la segunda derivada en la abscisa crítica resulta negativa
concluimos que tenemos un máximo.
La segunda derivada en este caso es:
r' = 3- 2t ®r'' = -2
Como la derivada es siempre negativa, al evaluarla en la abscisa
3
2
t =
nos dará negativa, por lo tanto se concluye que
3
2
t = es un máximo.
El valor de la función, es decir, del rendimiento en este punto es:
3 3 3 3 6 3 3 3 9
. 3 . .
2 2 2 2 2 2 2 4
r
     -      =  -  =   =   =
       
Respuesta:
a. El rendimiento aumenta en:
3
0
< t < y disminuye en:
2
3
0
2
< t <
b. En t = 0 y t = 3 el rendimiento es nulo.
c. El mayor rendimiento ocurre en
3
2
t = y tiene por valor
3 9
2 4
r
    =
 
.
Ejercicio 3
Se desea construir una caja abierta sin cara superior y de base cuadrada
con 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la
caja para que el volumen sea máximo?
Solución
Justificación: Primero dibujamos la caja, para ayudarnos con dicha
imagen:

Observa algo muy importante, hay que darle nombre a las dimensiones,
en este caso por ser la base cuadrada, le di a su base la longitud x , y a la
altura, y . Observa que NO TIENE TAPA, de tenerla la hubiese destacado en
rojo.
Ahora bien, en este tipo de problema es clave que identifiques
SIEMPRE 2 funciones, a saber:
· Función condición.
· Función a optimizar. (esta función es la que se derivará y se le buscaran
las abscisas máximas o mínimas según el caso)
La función condición es la que se plantea en el enunciado y la función a
optimizar, se forma con lo que se pregunta, así:
Función condición
Cuando en el enunciado se menciona: 108 pulgadas cuadradas de
material, esto permite plantearse, que en material, es decir, el área de las caras
laterales más la base cuadrada debe ser igual a 108 pu lg2 , y el área de las
caras laterales, son áreas de rectángulos, base por altura, en este caso:
. una cara A = x y
Como la caja tiene 4 caras laterales, el área total lateral será:

Alateral = 4x.y
Como también se gasta material en la base, debemos pues calcular el
área de la base, que como es un cuadrado, será:
2
base A = x
Por lo tanto el área total de TODA LA CAJA, es decir, GASTO TOTAL
DE MATERIAL, será:
2
= +
4 . 108
total A x y
2
4 x . y
108
x
x
=
=
+
Es de esta función condición donde se despeja una de las variables,
para sustituirla en la función a optimizar, evidentemente la variable más fácil de
despejar en ésta ultima ecuación azul obtenida, es la variable ye, por lo tanto:
= -
108 2
4
x
y
x
Función a optimizar
Cuando se pregunta: ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que
el VOLUMEN SEA MÁXIMO?, Nos da la clave de que la función a optimizar es
el volumen de la caja, y sabiendo que el volumen de una caja es el producto
del área de la base por su altura, se tiene:
V = x2.y
Una vez conseguidas ambas funciones (condición y a optimizar) y haber
despejado una de las variables de la función condición, enseguida se procede
a sustituir dicho despeje en la función a optimizar, para tener una función con
una sola variable, observa:
= - x 2
= x
x
2
. 2.
108
4
V y
x
por lo tanto la función QUE SE DERIVARÁ y se le conseguirán los
puntos críticos y la naturaleza de los mismos (máximos o mínimos) es:
 - 2
 =  ® =
2 2 108
.
4
x
V x V x
x
 
 -
  -    =  
   
108 2
.
4
x
x
( )
2
3
108
.
4
1
108
4
x
x
= -
V x x

Derivando esta última función:
( 3 ) ' ( 3 1 ) ( 2 ) 1 1 1
V = x - x ®V = - x - = - x
108 108 3 108 3
4 4 4
Nota: para derivar se aplico: ( )' 1 xn = n.xn-
Para ubicar el ó los puntos críticos, se iguala a cero ésta última derivada
y se procede a despejar equis:
' ( 2 ) 2 2 2 1 108
V = - x = ® - x = ® x = ® x = = x = =
108 3 0 108 3 0 3 108 36 36 6
4 3
Para conocer la naturaleza de este punto crítico, se procede a aplicar la
prueba de la segunda derivada, a saber:
V = - x ®V = - ´ x - = - x = - x
' ( 2 ) '' ( 2 1 ) ( ) 1 1 1 3
108 3 3 2 6
4 4 4 2
Evaluando en la segunda derivada el punto crítico x = 6 , obtenido se
tiene:
V = - = - <
'' ( ) 3
6 .6 9 0
2
Como da menor que cero, es decir, negativa, se tiene que el punto x = 6
es un máximo, que es precisamente lo que se quería, mayor volumen de la
caja.
Como se nos pide las dimensiones de la caja, y ya tenemos una, la
dimensión de la base: x = 6 , faltaría la dimensión de la altura, es decir ye, para
obtenerla, hacemos uso de la función condición despejada:
= -
108 2
4
x
y
x
Sustituyendo x = 6 , se tiene:
108 - 62 108 - 36 72
y
= = = =
3
4.6 24 24

Por lo tanto:
Respuesta: Las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo
son: x = 6 y y = 3 .
Ejercicio 4
Realizar el estudio completo y la representación gráfica de la función
4
= +
2
1
( )
x
f x
x
Solución
Justificación: Para realizar el estudio completo de la función, procederé a
analizar cada uno de los siguientes aspectos:
1) Dominio y Rango.
2) Continuidad.
3) Periodicidad.
4) Simetría.
5) Puntos de corte con los ejes coordenados.
6) Signo de la función.
7) Asíntotas.
8) Monotonía. Puntos máximos y mínimos e intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
9) Curvatura. Puntos de inflexión e intervalos donde la curva es cóncava
hacia arriba o convexa hacia abajo y cóncava hacia abajo o convexa hacia
arriba.
10) Gráfica de la función.
NOTA: OBSERVA QUE DESTAQUE EN AZUL ALGUNOS
ASPECTOS, PORQUE CON ÉSTAS SON SUFICIENTES PARA
GRÁFICAR, LAS DEMÁS QUE NO ESTAN DESTACADAS, IGUAL
LAS CALCULARE, PERO SON OPCIONALES SEGÚN SE TE
EXIJA EN LA PREGUNTA, POR LO GENERAL NO SON
NECESARIAS CALCULARLAS.
En este caso, se tiene:

1) Dominio: El dominio de la función, son los valores de la variable
independiente (equis) para los cuales la función existe; si observamos la
estructura de la función:
4
= +
2
1
( )
x
f x
x
Notaremos claramente que el numerador x4 +1 es un polinomio, y se
sabe que todo polinomio tiene como dominio todos los números reales, por otro
lado el denominador x2 también es un polinomio y su dominio son los reales,
pero, por estar presente en el denominador de la función dada, debemos
excluir los puntos donde éste polinomio se anula, es decir,
x2 = 0® x = 0
En conclusión el dominio de la función
4
= + son todos los
2
1
( )
x
f x
x
números reales menos el cero, matemáticamente esto se denota así:
Dom( f ) = ℝ -{0}
Rango: Antes de explicarte como calcularemos el rango de la función, es
importante mencionarte que el Rango es el mayor conjunto de llegada, que
debemos determinar completamente para graficar la función dada, porque
trabajaremos con todo el dominio ya calculado de la función; hago esta
aclaratoria porque a veces se restringe el dominio de la función, lo que causa
una restricción en las imágenes, causando pues obtener un conjunto de llegada
menor que el Rango.
Por ejemplo el dominio de la función f (x) = x +1 son todos los reales, y
el rango también, sin embargo, en un momento dado te podrías encontrar con:
f : [-2,7]®[-1,8] / f (x) = x +1
Fíjate como el conjunto de llegada esta dado por el intervalo [-1,8] que
es menor que el rango que son todos los reales ℝ = (-¥,¥).
Hecha esta aclaratoria, procederé a conseguir el rango de la función
dada:
4
= + .
2
1
( )
x
f x
x

Para conseguir el rango de una función se acostumbra buscar el dominio
de la función inversa, sin embargo, hay que tener cuidado a la hora de analizar
dicho Intervalo, observa:
Calculare la función inversa, esto se logra intercambiando las variables y
luego despejando ye en función de equis, así:
4 4
= + ® = +
x 1 y 1
y x
2 2
x y
Ahora despejare ye en función de equis:
( ) 2
2 4 4 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4(1)(1)
1 1 0 1 0
x x
2(1)
xy y y xy y xy y
- - + - -
= + ® - + = ® - + = ® =
Observa que se llego a una ecuación de segundo grado en función de
y2 , por ello se aplico la resolverte.
Es importante destacar que la resolvente se trabaja solo con el signo +,
no con el ± , la razón de esto es que se esta buscando una FUNCIÓN inversa,
no una RELACIÓN inversa. Continuando:
+ 2 - + 2 - + 2
= = = -
y y
2 x x 4 x x 4 x x
4
2 2 2
Por lo tanto la función inversa es:
+ 2
-
f - x = 1 x x
4
( )
2
Para conseguir el dominio de esta función se trabaja con las
restricciones que generan las raíces cuadradas, en este caso:
x + x2 - 4 ³ 0 y x2 - 4 ³ 0
NOTA: RECUERDA QUE LA SOLUCIÓN DE ESTAS INECUACIONES
CORRESPONDEN AL RANGO, ES DECIR A LAS IMÁGENES DE LA
FUNCIÓN ORIGINAL
4
= + .
2
1
( )
x
f x
x
Para resolviendo la primera inecuación: x + x2 - 4 ³ 0 , debemos
factorizar : x2 - 4 , así:
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) se aplico: a2 -b2 = (a -b)(a + b)
Ahora nuestra inecuación queda:

x + (x - 2)(x + 2) ³ 0
Observa que esta inecuación esta compuesta por la suma de 2
expresiones:
1era expresión: x
2da expresión: (x - 2)(x + 2)
y esta suma debe ser positiva, ya que nos indican que
x + (x - 2)(x + 2) debe ser mayor o igual que cero.
De aquí se desprende que x debe ser positiva para que al sumarse al
número positivo (x - 2)(x + 2) nos genere pues un número positivo.
Por lo tanto x ³ 0 y (x - 2)(x + 2) ³ 0.
La expresión x ³ 0 se cumple para el intervalo [0,¥) , mientras que la
expresión ( ) ( ) 2 2 (x - 2)(x + 2) ³ 0® (x - 2)(x + 2) ³ 0 ®(x - 2)(x + 2) ³ 0
Para resolver esta última inecuación, estudiare los signos de este
producto a través del siguiente cuadro (LA EXPLICACIÓN DETALLADA DE LA
CONSTRUCCIÓN DE ESTE CUADRO SE ENCUENTRA EN EL OBJETIVO 3
DE MATEMÁTICA 1):
En la parte superior se ubican ordenadamente las raíces 1 x = 2 y
2 x = -2 , como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte
izquierda con menos infinito y en la parte derecha con más infinito.
factorizadas (x - 2) y (x + 2) . SigI Significa, signo de la inecuación.
(x - 2) > 0® x > 2
Esto indica que para toda equis mayor que 2 la expresión (x - 2) es
(x + 2) > 0® x > -2

(x + 2) es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde
Por lo tanto la inecuación (x - 2)(x + 2) ³ 0, en el intervalo:
(-¥,-2)È(2,¥)
Ahora bien, por un lado tenemos que x ³ 0 se cumple para el intervalo
[0,¥) , y (x - 2)(x + 2) ³ 0 que se cumple en el intervalo (-¥,-2)È(2,¥) .
Interceptando estas 2 soluciones, se tiene:
Se observa claramente que la intercepción se da en el intervalo: (2,¥) .
La otra inecuación, x2 - 4 ³ 0 , no es necesario resolverla porque es
equivalente a la ya resuelta: (x - 2)(x + 2) ³ 0
Por lo tanto el rango de la función
4
= + 1
es el intervalo [2,¥) .
2
( )
x
f x
x

2) Continuidad:
La función
4
= + es continua en todo su dominio, porque esta
2
1
( )
x
f x
x
compuesta por funciones polinómicas, que por definición son continuas.
Entonces, el único punto de discontinuidad es donde la función no esta
definida, es decir, x = 0 .
3) Periodicidad:
En matemática, una función es periódica si los valores de la función se
repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado
período, o sea:
f (x) = f (x + P)
donde P es el período.
En nuestro caso:
4
= +
2
1
( )
x
f x
x
y
+ 4 + 4 + 3 + 2 2 + 3 + = = + 4
+
( x P ) 1 x 4 x P 6 x P 4 xP P
1
+ + +
2 2 2
( )
( ) 2
f x P
x P x xP P
Se observa claramente que la función no es periódica, ya que:
f (x) ¹ f (x + P)
4) Simetría.
Una función es simétrica respecto del eje de las ordenadas o eje ye, si
es par, es decir, si se cumple: f (-x) = f (x) .
Por otro lado, una función es simétrica respecto del origen, si es impar,
es decir, si se cumple: f (-x) = - f (x)
Veamos si nuestra función es par o impar.
Verificando si es par, se tiene:
4 4
- = ( - x ) + 1 = x
+ 1
=
( ) ( )
f x f x
2 2
( )
x x
-
Se observa que nuestra función es par.
Recuerda que base negativa, exponente par, el resultado siempre es positivo.

Verificando si es impar, se tiene:
4 4
- = ( - x ) + 1 = x
+ 1
= +
( ) ( )
f x f x
2 2
( )
x x
-
Se observa que: f (-x) ¹ - f (x) , por lo tanto nuestra función no es
impar.
De éste análisis concluimos que la función es simétrica respecto del eje
de las ordenadas.
Para conseguir el corte de la función
4
= + con el eje “Y” se
2
1
( )
x
f x
x
hace x = 0 .
4
= + con el eje “X” se
2
1
( )
x
f x
x
hace y = 0.
Calculo del corte de la función con el eje Y
4 = + 1 ® = 0 4
+ 1 = 1
= $
2 2
0 0
x
y y
x
Sabemos que la división entre cero no existe, por lo tanto la función no
corta al eje Y.
Calculo del corte de la función con el eje X
4
= + ® 4 + = ® 4 = - ® = 4
- = $
2
1
x
0 x 1 0 x 1 x
1
x
Sabemos que la raíz de índice par de un número negativo no existe, por
lo tanto la función no corta al eje X.
Saber los intervalos donde la función dada es positiva o negativa es muy
útil a la hora de graficar, sin embargo, como esta función no tiene cortes con el
eje “X”, quiere decir que siempre es POSITIVA o siempre es NEGATIVA. Esto
se sabe resolviendo la inecuación:
4
= + >
2
1
x
( ) 0
f x
x

Observamos que la solución de esta inecuación son todos los reales
menos el cero, porque todo número elevado a un exponente par, siempre es
positivo y al sumarle el 1 positivo, pues da positivo, en fin, la solución de esta
inecuación es: ℝ-{0} .
Esta información nos indica que la grafica de la función esta ubicada
toda por encima del eje de las equis.
7) Asíntotas.
Hay 3 tipos de asíntotas, a saber, vertical, horizontal y oblicua, veamos
cual de estas asíntotas tiene nuestra función:
4
= +
2
1
( )
x
f x
x
Asíntota vertical Asíntota horizontal Asíntota oblicua
Como su nombre lo indica
se representa en un
sistema cartesiano por
una recta vertical de
ecuación x = a , y debe
cumplirse:
lim f ( x
)
x a
®
= ¥
Para que exista asíntota
horizontal es condición
necesaria que el dominio
no debe estar acotado. En
este caso se trata de una
recta horizontal, cuya
pendiente es cero, y el
valor de dicha recta se
calcula:
lim ( )
y f x
x
®¥
=
Esta asíntota viene
representada por
y = mx + b , donde:
( )
lim
x
f x
m
®¥ x
=
y
lim( ( ) )
x
= -
b f x mx
®¥
Las condiciones necesarias
para que exista asíntota
oblicua son:
a) Al menos uno de los
extremos del dominio debe
ser infinito.
b) f (x)®¥ si x®¥
En nuestro caso se toma
x = 0 como asíntota
vertical, porque:
4 4
1 0 1 1
x
lim
x ® 0 x
2 0 2
0
+ = + = = ¥
En nuestro caso: En nuestro caso:
4
2
®¥ ®¥
4
3
1
( )
lim lim
1
lim
x x
x
x
f x x m
x x
x
x
®¥
+
= = =
+ = ¥

4
= = + =
2
®¥ ®¥
x x
4
+ +
4 4 4
2
= =
x x
4 2
1
lim ( ) lim
1 1
1
lim lim
1
1
1 1 0 1
1 0 0
x
y f x
x
x
x x x
x
x x
®¥ ®¥
+ + ¥ = = = ¥
¥
Si hubiera dado un
número real, esta sería la
asíntota horizontal.
Por lo tanto no hay asíntota
oblicua, si hubiese dado un
número real, hubiésemos
pasado a calcular b .
decrecimiento.
El crecimiento o decrecimiento de una función, se observa en la
gráfica cuando se recorre de izquierda a derecha.
Estos puntos (x, y) máximos y mínimos, SIEMPRE se consiguen de la
siguiente manera:
Primero se calculan las abscisas de los puntos críticos, es decir, las
coordenadas equis, igualando a cero la primera derivada y resolviendo la
ecuación generada (también se consideran puntos críticos donde la primera
derivada no existe), así:
= +
( ) ( )( )
+ - + - +
= = =
( )
( )
4
2
4 ' 2 4 2 ' 3 2 4
era '
2 2 4
5 - 5 - 5
- ( 4 )
= = = '
4 4
1
( )
1 . 1 4 . 1 2
1 derivada: ( )
4 2 2 2 2 2
( )
x
f x
x
x x x x x x x x
f x
x x
x x x x x x
f x
x x
x 1
x
4
- 2 ( x 4 1
)
3
x
-
=
( 4
) 4 ( 2 )( 2
)
2 1
3
0 1 0 1 1 0
x
x x x
x
-
= ® - = ® - + =

Acá se aplicó: 4 ( 2 )2 2 ( 2 )( 2 )
- 1 = - 1 ® - 1
+
- = - +
2 2
x x x
( ) )
1
(
x
a b a b a
b
Cuando un producto esta igualado a cero, ocurre:
( )( )

  x
=
 2 - = ® 2 = ® = ±  1
- + =  = - x 2 x 2
x
2
x x x
 2 + = ® 2
= - ® = ± - ®
1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1 No tiene solucion real
x x x
Una vez conseguidas las abscisas de los puntos críticos, se debe
estudiar la naturaleza de cada uno de ellos, es decir, si son máximos o
mínimos, para ello aplicaré la prueba de la segunda derivada, calculando dicha
segunda derivada primero, claro está:
( -
)
2 1
( )
x
f x
x
=
( ) ( )( )
 x - 1 . x - x - 1 x   4 x . x - x - 1 3
x
 =   =   =
2 derivada: ( ) 2 2
( )
( )
4
'
3
4 ' 3 4 3 ' 3 3 4 2
da ''
3 2 6
       
6 6 2 6 2 2
''
4 3 3 3 2
 - +   +  =   =   =
( ) 2 2
6 4
f x
x x
x x x x x x
f x
x x
   
( 4 )
x 3
x
6
+ 2 ( x 4 3
)
4
x
+
=
Como ya te mencioné, la naturaleza de los puntos críticos, se conocerá
aplicando el criterio de la segunda derivada, a saber:
( 4 )
''
2 3
4
( )
x
f x
x
+
=
Naturaleza del punto crítico 1 x =1:
( ) ( ) 4
''
2 1 3 2 1 3
(1) 2(4) 8
4
1 1
f
+ +
= = = = +
Por lo tanto 1 x =1 es la abscisa de un punto mínimo.
Naturaleza del punto crítico 2 x = -1:

(( ) )
( )
( ) 4
''
2 1 3 2 1 3
( 1) 2(4) 8
4
1 1
f
- + +
- = = =
-
= +
NOTA: Recuerda que base negativa, exponente par el resultado es positivo.
Por lo tanto 2 x = -1 es la abscisa de un punto mínimo.
Para 1 x =1:
4 4
= + 1 ® = 1 + 1 = 1 + 1 = 2
=
( ) 2
2 2
1 1 1
x
f x y
x
El primer punto mínimo es: (1, 2)
Para 2 x = -1:
( )
( )
4 4
= + 1 - 1 + 1 ® = = 1 + 1 = 2
=
( ) 2
2 2
1 1 1
x
f x y
x
-
El segundo punto mínimo es: (-1,2)
Después de conseguir estos puntos mínimos, pasaremos a conseguir los
intervalos donde la curva crece y decrece.
La función crece cuando: f ' (x) > 0
La función decrece cuando: f ' (x) < 0
Crecimiento de la función
2 ( 4 1
)
La primera derivada es: '
3
( )
x
f x
x
-
= , por lo tanto, planteando la
inecuación, se tiene:
( 4 )
2 1
3
0
x
x
-
>
Para resolver esta inecuación debemos factorizarla, en este caso se
aplica:
4 ( 2 )2 2 ( 2 )( 2 )
2 2
- 1 = x - 1 ® x - 1
x
+
- = ( - ) +
)
1
(
x
a b a b a
b
y

2 ( )( )
2 2 ( (
- ® - +
- = - +
1 1 1
x x x
a b a b a b
) )
Por lo tanto nuestra inecuación queda:
( - )( + )( 2 +
)
2 1 1 1
3
0
x x x
x
>
Para resolver esta inecuación, estudiare los signos de cada una de las
expresiones a través del siguiente cuadro (LA EXPLICACIÓN DETALLADA DE
LA CONSTRUCCIÓN DE ESTE CUADRO SE ENCUENTRA EN EL OBJETIVO
3 DE MATEMÁTICA 1):
En la parte superior se ubican ordenadamente las raíces de cada
expresión:
( ) 1 2 x -1 = 0® x =1
( ) 2 x +1 = 0® x = -1
x 3
= 0® x = 0
3 Como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte
factorizadas 2(x -1), (x +1), x3 y (x2 +1). SigI Significa, signo de la
inecuación.
2(x -1) > 0® x >1
Esto indica que para toda equis mayor que 1 la expresión 2(x -1) es
(x +1) > 0® x > -1
Esto indica que para toda equis mayor que menos uno la expresión
(x +1) es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde

Para:
x3 > 0® x > 0
Esto indica que para toda equis mayor que cero la expresión x3 es
La expresión (x2 +1) siempre es positiva por estar elevada al cuadrado
su variable y sumarse 1 positivo.
Cuadro número 1
Por lo tanto la función crece: f ' (x) > 0 , en el intervalo:
(-1,0)È(1,¥)
Decrecimiento de la función

2 ( 4 1
)
3
( )
x
f x
x
-
= , por lo tanto, planteando la
( 4 )
2 1
3
0
x
x
-
<
Del cuadro número 1 anterior, se tiene:
La función decrece: f ' (x) < 0 , en el intervalo:
(-¥,-1)È(0,1)
arriba.
Estos puntos (x, y) de inflexión, se calcularan de la siguiente manera:
generada, así:
( 4 )
2 3
'' 4 4
( ) 0 3 0 3
4
x
f x x x
x
+
= = + = ® = - = $
Recuerda que la raíz de índice par de un número negativo no existe, por
eso esta ecuación no tiene solución.
En este caso no hay puntos de inflexión, cuando esto ocurre es que la
curva siempre es cóncava hacia arriba ó convexa hacia abajo O cóncava hacia
abajo ó convexa hacia arriba.
Para averiguar que concavidad o convexidad posee nuestra función,
pasaremos a plantear la siguiente teoría:
El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba ó convexa hacia
abajo SIEMPRE se obtiene así:
f '' (x) > 0
Curva así: È
arriba es:
f '' (x) < 0
Curva así: Ç

2 ( 4 3
)
Resolveré f '' (x) > 0 , es decir, 4
0
x
x
+
> .
Pero esta inecuación es fácil de resolver, ya que todas sus variables
están elevadas a un exponente positivo, por lo tanto dichas potencias son
positivas, además se le suma un número positivo (+3) y esta multiplicada por
2 ( 4 3
)
un número positivo (2), por lo tanto la expresión 4
x
x
+
siempre es positiva,
2 ( 4 3
)
o lo que es lo mismo, siempre es 4
0
x
x
+
> , excepto claro esta donde ella
no existe, es decir, donde el denominador x4 se anula, y es fácil observar que
esto sucede cuando x4 = 0® x = 0 .
Por lo tanto la función siempre es cóncava hacia arriba ó convexa hacia
abajo, es decir, en todo el dominio de la función, a saber:
ℝ -{0}
Ahora con la información obtenida, podremos hacer la gráfica explicativa
de la función:
A continuación encuentras todo el resumen de lo calculado.

Respuesta:
1) Dominio: ℝ -{0} y Rango: [2,¥)
2) Continuidad: Discontinuidad en el punto x = 0
3) Periodicidad: No es periódica.
4) Simetría: Simétrica respecto del eje “Y” por ser par.
5) Puntos de corte con los ejes coordenados: No tiene cortes con ningún
eje coordenado.
6) Signo de la función: Siempre es positiva.
7) Asíntotas: Posee solo asíntota vertical y es la recta x = 0 .
decrecimiento: Posee sólo 2 puntos mínimos, a saber: (1, 2) y (-1,2) . Además
crece en el intervalo: (-1,0)È(1,¥) y decrece en el intervalo: (-¥,-1)È(0,1)
arriba: No posee puntos de inflexión, la curva siempre es cóncava hacia arriba
o convexa hacia abajo.
10) Gráfica de la función:

Ejercicio 5
Realizar el estudio completo de la siguiente función
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
Solución
1) Dominio y Rango.
2) Continuidad.
3) Periodicidad.
4) Simetría.
7) Asíntotas.
decrecimiento.
arriba.
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
Cuando tenemos una raíz de índice par, como la que se nos presenta en
el ejercicio que es cuadrada, SIEMPRE se genera la restricción:

x2 -1³ 0
Como esta raíz cuadrada está en el denominador, y sabemos QUE EL
DENOMINADOR SIEMPRE DEBE SER DISTINTO DE CER, se escribe:
x2 -1 > 0
Normalmente se resuelve esta inecuación, factorizándola así:
- = - +
- = - +
2 2
x 1 ( x 1)( x 1
)
a 2 b 2
a b a b
( )( )
Y luego sustituyendo queda:
(x -1)(x +1) > 0
Puedes resolverla así (x -1)(x +1) > 0 , y analizas el signo de cada
expresión tal como lo he venido haciendo, sin embargo, en esta ocasión
resolveré esta inecuación x2 -1 > 0 , con el conocimiento que tienes de
derivada, porque el análisis es muy sencillo.
Esta función y = x2 -1 es una parábola que abre hacia arriba, porque el
coeficiente de x2 es positivo.
Al derivar esta función, se tiene el punto mínimo: y' = 2x = 0x = 0 ,
sustituyendo en la ecuación original se tiene: y = x2 -1 = 0 -1 = -1, por lo tanto
el mínimo que es el mismo vértice de la parábola es (0,-1) , además se
igualamos a cero la función original y = x2 -1 = 0 , encontraremos sus cortes con
el eje equis, así: x2 -1 = 0x2 =1x = ± 1 = ±1, por lo tanto la gráfica de esta
parábola es:

En ésta gráfica se observa claramente que x2 -1 > 0 , es decir, x2 -1 es
positiva en el intervalo:
(-¥,-1)È(1,¥)
Como ya resolvimos la inecuación generada por buscar el dominio de la
función
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
, podemos decir, que dicho dominio es:
Dom f (x) : (-¥,-1)È(1,¥)
Rango: Para conseguir el rango de una función se acostumbra buscar el
dominio de la función inversa, sin embargo, hay que tener cuidado a la hora de
analizar dicho Intervalo, observa:
2 2
x y
= - ® = -
2 2
y x
- -
2 2
1 1
x y
2 2
y y
= - 2 ® + 2
=
x x
- -
2 2
1 1
y y
Para eliminar la raíz cuadrada se eleva al cuadrado ambos miembros:

4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2 2 2 4
+ = ® + - = ® + - + =
2 2 2 1 2 2
1
y
x x y y x y x y
y
-
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 y - x + 2 y + x + 2 = 0
Haciendo el cambio de variable: w = y2 , se tiene:
( ) ( ) w2 - x + 2 2 w+ x + 2 2 = 0
Ecuación de segundo grado, que se resuelve con la fórmula
- ± - , RECORDANDO QUE SE USA O EL SIGNO `O EL SIGNO
2 4
2
b b ac
a
MENOS EN LA RAÍZ, es decir,
- + - , porque se busca es la función
2 4
2
b b ac
a
inversa, no la relación inversa.
Entonces:
( ) (( ) ) ( )
2 2 2 2
b b 2
ac x x x
4 2 2 4(1) 2
2 2(1)
2 2 4 2 2 2 4 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 2 4 2
2 2
w
a
x x x x x x
w
- + - + + + - + = =
+ + + - + + + + - +
= =
Como w = y2 , finalmente se tiene que la función inversa es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 2 4 2
+ + + - + + + + - +
2 2 4 2 2 2 4 2
x x x x x x
= ® =
y y
( ) ( ) ( )
2
2 4 2
1
2 2
2 2 4 2
( )
x x x
2
f - x
+ + + - +
=
Ahora procedemos a buscar el dominio de esta función:
( ) 2 ( ) 4 ( ) 2
( ) ( ) ( )
2 4 2 2 2 4 2
0 2 2 4 2 0
x x x
2
x x x
+ + + - +
³ ® + + + - + ³
( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ( ) ( ) )2 2 2 4 2 2 4 2 x + 2 ³ - x + 2 - 4 x + 2 ® x + 2 ³ - x + 2 - 4 x + 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 4 4 2 x + 2 ³ x + 2 - 4 x + 2 ® x + 2 - x + 2 + 4 x + 2 ³ 0
( )4 x + 2 ( )4 - x + 2 ( ) ( ) 2 2 + 4 x + 2 ³ 0®4 x + 2 ³ 0
La solución de esta inecuación ( )2 4 x + 2 ³ 0 son todos los reales, ya que
la expresión esta elevada al cuadrado, así:
Solución de la inecuación ( )2 4 x + 2 ³ 0 es: ℝ = (-¥,¥)

Ahora observemos nuestra función original para saber si ciertamente las
imágenes son todos los reales:
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
Estudiando el signo de la función original, veamos cuando:
 
2 2 2 4
x x x x
( )
2
= - ³ ® ³ ®  ³ ® ³ ® ³ - ®
( ) 2 0 2 2 4 4 4
f x x x
- -  -  -
1 1 1 1
x x x x
( )
2 4 2
2 2 2 2
4 2 2 2
- + ³ ® - ³
4 4 0 2 0
x x x
Esta última expresión nos indica que la función original siempre es
positiva, es decir, nunca es negativa, ya que todo número elevado al cuadrado
siempre es positivo, por lo tanto de este estudio se tiene:
La función siempre es positiva, es decir las imágenes de la función estan
en el intervalo:
[0,¥)
Interceptando este último hallazgo con el dominio de la función inversa,
se tiene:
Por lo tanto el rango de la función
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
es donde se
interceptan ambos intervalos anteriores, es decir, el intervalo [0,¥) .
2) Continuidad:
La función
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
es continua en todo su dominio, porque
esta compuesta por funciones polinómicas, que por definición son continuas.
Sin embargo, en los puntos donde el denominador se anula es
discontinua, es decir:
( ) ( ) 2
 = = - = ® - = ® - = ® = 
2 2 2 2 2 1
= - = - 
2
1 1
1 0 1 0 1 0 1
1 1
x
x x x x
x

Así pues, la función presenta dos puntos de discontinuidad, uno
en x1 =1 y el otro en 2 x = -1.
3) Periodicidad:
período, o sea:
f (x) = f (x + P)
En nuestro caso:
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
y
( ) ( +
)
+ = -
( )
2
2
2
1
x P
f x P
+ -
x P
f (x) ¹ f (x + P)
4) Simetría.
- = ( - x )
2 - = x
2
- =
( ) 2 2 ( )
f x f x
- 2 - 2
-
( x ) 1 x
1
Se observa que nuestra función es par.
( - x )
2 - = - = x
2
- = ¹ -
( ) 2 2 ( ) ( )
f x f x f x
- 2 - 2
-
( x ) 1 x
1

impar.
De éste análisis concluimos que la función es simétrica respecto del eje
de las ordenadas.
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
con el eje “Y” se
hace x = 0 .
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
con el eje “X” se
hace y = 0.
2
0 0
f ( x ) = - 2 = - 2
= $
0 2
1 1
- -
No existe porque la raíz de un número negativo no esta definido.
x 2 x 2 = - ® - x
2
- = ® - - = ® = - ®
- -
= - ® = - ® = - ® - + = ®
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 4 2 4 2 4 2
- + = ® = - ± 2
- ± - = =
± - 2 2 2 2
= ± = = = ±
2 2
2 1
0 2 0 2 1 0 2 1
1 1
2 1 4( 1) 4 4 4 4 0
4 4 16 4(1)(4) 4 16 16
4 4 0
2 2(1) 2
4 0 4
2 2
2 2
x x x x
x x
x x x x x x x x
b b ac
x x x
a
x x x
Por lo tanto hay dos cortes con el eje equis, uno en x = 2 y el otro en
x = - 2 .
útil a la hora de graficar.
Estudiando el signo de la función original, vemos que:

 
2 2 2 4
x x x x
( )
2
= - ³ ® ³ ®  ³ ® ³ ® ³ - ®
( ) 2 0 2 2 4 4 4
f x x x
- -  -  -
1 1 1 1
x x x x
( )
2 4 2
2 2 2 2
4 2 2 2
- + ³ ® - ³
4 4 0 2 0
x x x
Esta última expresión nos indica que la función original siempre es
positiva, es decir, nunca es negativa.
7) Asíntotas.
2
= -
( ) 2
2
1
x
f x
x
-
Como su nombre lo indica se
representa en un sistema
cartesiano por una recta vertical
de ecuación x = a , y debe
cumplirse:
lim f ( x
)
x a
®
= ¥
Para que exista asíntota
horizontal es condición
necesaria que el dominio no
debe estar acotado. En este
caso se trata de una recta
horizontal, cuya pendiente es
cero, y el valor de dicha recta
se calcula:
lim ( )
x
y f x
®¥
=
Esta asíntota viene
representada por y = mx + b ,
donde:
( )
lim
x
f x
m
®¥ x
=
y
lim( ( ) )
x
= -
b f x mx
®¥
Las condiciones necesarias
para que exista asíntota
oblicua son:
a) Al menos uno de los
extremos del dominio debe
ser infinito.
b) f (x)®¥ si x®¥
En nuestro caso se toman los
puntos donde la función no
existe, es decir:
Para: 1 x =1 se tiene:
2 2
1
x
- = -
lim 2 2
x ® x
1 1 1
- -
1 2 2
En nuestro caso:
2
= lim - 2
=
2
2
2
1
2
1
x
x
y
®¥ x
-
= ¥ - = ¥
¥ - ¥
Eliminando la forma
indeterminada:
En nuestro caso:

1
= - 2 = ¥- 2
= ¥
0
Para: x2 = -1 se tiene:
2 2
1
x
- = -
lim 2 2
( )
®- x
- - -
1
1 2 2
1 1 1 x
= - 2 = ¥- 2
= ¥
0
2
= lim - 2
=
2
2
2
®¥
2
4 4
2 4
2 4
1
lim 2
1
1
lim 2
1 1
1 1
2 2
1 1 0 0
1
2 2
0
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x x
x x
®¥
®¥
-
- =
-
- =
-
- = - =
- -
¥ ¥
- = ¥- = ¥
Si hubiera dado un número
real, esta sería la asíntota
horizontal.
2
2
2
2
2
2
lim 1
2
x
lim
1
x
lim
x
x
m x
x
x
m
x x x
x
m
®¥
®¥
®¥
-
= - =
= - =
-
=
x 2
lim lim
2
lim 0
2
2
1
1
1
2 2
2
lim
2
2 2
lim
1
1 1
lim
1 1
1 1
1
1
1 0
x
x x
x
x
x
x x
x
m
x
x
m
x
x
m x
x
x x
m
x
m
®¥
®¥ ®¥
®¥
®¥
®¥
- =
-
= - =
- ¥
= - =
-
= =
-
= = =
- -
¥
= =
-
Por lo tanto pasamos a
calcular b:
( )
= -
b f x mx
2
2
2
2
2 2
2
lim ( )
lim 2
1
lim 2
1
1
lim 2
1
x
x
x
x
x
b x
x
x
b x
x
x x x
b
x
®¥
®¥
®¥
®¥
 
=  - - 
 - 
 
=  - - 
 - 
 - -  =  - 
 -   
Terminare de calcular b, fuera del cuadro, porque los cálculos no caben
dentro de la última columna:

 2 = - 2 - 1   2 2 - = - -  1  2 + 2
- 1
  lim  2  lim   - 2
 =
x ®¥  2 - 1      x
®¥
2  - 1  2 + 2
- 1
   
  - -    = -  =  - +    -   =  - + -   - + - 
( )
( ) ( )
4 2 2 4 4 2
1
lim 2 lim 2
®¥ ®¥
x x
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2
lim 2
( )
2 2 2
1 1
x
x x x x x x x x x
b
x x x x x
x x x x x x
b
x x x x x x x x
x
b
x x x x
®¥
   
 
  =  -  =  - + - 
2
2
2 2 ( 2
)
  2 2
   
   
   
 -  =  -  =
  2
    -  
        - +        
       
   
   
lim 2
1 1
1
lim
x
x
x
x
x x x x
x x
b
x
®¥
®¥
 
 
 
 -  =
  - -     +      
   
=
2
x 1
x
2
+ ( 2 )
- x
x 1
x
2
- x
( )
=  -  =  -  = x     x
  - + -    - + -               
= - = ( ) - = ( - = - = - = -
 ¥ - +¥ -  ¥ +¥ - ¥ - )
¥   ¥  
2
2
2
2 2
2
1
2 lim 2
1
1
1 1
lim 2 lim 2
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 0 2 2
1 0 0 1
x
x
x
b
x x x x
x x x
b
®¥
®¥ ®¥
Por lo tanto la asíntota oblicua es: y = x - 2
decrecimiento.
siguiente manera:

x
= -
( ) 2
1
f x
x
-
( ) ( )( )
x x x x x x x
f x x
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 '
' ' 2 2 2 2 2 2
2
era '
2 2
x 2
x
x x x x x
x
3 2 3
2 2 2
x x x x x
2 2 2
f '
x x x x
2 2 2
1
. 1 1 2 1
1 derivada: ( ) 2 1
1 1
2 2 4 ( 1) 2
2 1 2 1
( ) 2 1 2 1 2 1
1 1 1
x x x
-
- - - - - = = - =
- -
- - - - - -
= - = - = - =
- - -
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 3 3 3
= - - = - - = - =
'
4 ( 1) 2 4 4 2 2 4
x x x x x x x x
2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2
3
'
3
2 2
( )
2 1 1 2 1 1 2 1
2 2 2
( )
2 1
f x
x x x x x
x x
f x
x
+
- - - - -
-
= =
-
( 3 2 )
2
x - x
= x 3
-
2
x
( ) ( )
2 3 2 3
- -
1 1
x x
- = ® - = ® - =  =   -  - = ® =  = - 
x x
( )
( )
x
= 1

3
3 2
x x x x x
3 2 2 2 2
3
0
2
0 2 0 2 0 2
1 2 0 2 2
x x x x
La ecuación tiene 3 soluciones, pero solo dos de ellas son puntos
críticos ¿Por qué? Respuesta: Porque el punto 1 x = 0 , NO PERTENECE AL
DOMINIO DE LA FUNCIÓN DADA, recuerda que el dominio de la función que
estamos analizando es: Dom f (x) : (-¥,-1)È(1,¥) , en cambio, los puntos
2 3 x = 2 y x = - 2 si pertenecen al dominio de la función. En conclusión hay
SOLO 2 PUNTOS CRÍTICOS, a saber: 1 2 x = 2 y x = - 2
Una vez conseguidas las abscisas de los puntos críticos, se debe
estudiar la naturaleza de cada uno de ellos, es decir, si son máximos o
mínimos, para ello aplicaré la prueba de la segunda derivada, calculando dicha
segunda derivada primero, claro está:

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
(( ) )
( )
( )
( )
3
'
2 3
'
3 ' 2 3 3 2 3
da ''
2
2 3
3 ' 2
2 2 3 3
2 3
''
2 3
2
''
2
( )
1
2 . 1 2 1
2 derivada: ( )
1
1
3 2 . 1 2
2 1
( )
1
2 3 2
( )
x x
f x
x
x x x x x x
f x
x
x
x x x x
x
f x
x
x x
f x
= -
-
  - - - -  - 
  = =
   - 
 
-
- - - -
-
= =
-
-
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 1
2 1
x x x x
x
x
( )
( 1
)
( )( ) ( )( )
2 3 2 1 3 2 1 2
x x x x x x
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2 3 3 2 2 2 '
2 3
2 3
2 2 3 3 2 2
''
2 3 2 3
3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2
''
3 3
2 2 3 2 3 2 2
( )
2 1 1
2 3 2 1 6 2 1 2 1 3 2 1 3 2
( )
2 1 1 2 1
f x
x x
x x x x x x x x x x x x
f x
x x x
+
- - - - -
-
-
- - - - -
=
- -
- - - - - -  - - - -    = =
- - -
( )
2 2 4 2 2 4 2
2 x - 1  3 x - 2 x - 3 x + 2 - 3 x + 6
x
=
 ( )
''
9
2 2
( )
2 1
f x
x
-
''
2
f (x) =
3x4 - 2x2 - 3x2 + 2 -3x4 + 6 x 2
 
2
( )9
- -
2 2 x 1 2
2 2
x x
= =
( ) ( )
''
5 5 2 2 2
( )
- -
1 1
f x
x x
NOTA: es conveniente simplificar la primera y segunda derivada a su mínima
expresión para resolver de manera más sencilla las ecuaciones e inecuaciones
que con ellas se resuelve.

2
( )
''
2 5
( )
1
x
f x
x
=
-
Naturaleza del punto crítico 1 x = 2 :
( ) ( )
2
2 2
f = = = +
2 2
(( ) )
''
2 5
2 1
2 1
-
-
Como el resultado es positivo, entonces 1 x = 2 es la abscisa de un
punto mínimo.
Naturaleza del punto crítico 2 x = - 2 :
( ) ( )
2
2 2
2 2
(( ) )
''
2 5
2 1
2 1
f
-
- = = = +
-
- -
NOTA: Recuerda que base negativa, exponente par el resultado es positivo.
Por lo tanto 2 x = - 2 es la abscisa de un punto mínimo.
Para 1 x = 2 :
( ) ( )
2 2 2
f = - = - = - = - =
2 2 2 2 2 2 0
( )
2
2
1 2 1
2 1 - -
El primer punto mínimo es: ( 2,0)
Para 2 x = - 2 :
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0
( )
2
2
1 2 1
2 1 f
-
- = - = - = - = - =
- - -
El segundo punto mínimo es: (- 2,0)

La primera derivada es:
3
= -
2
x x
( )
'
2 3
( )
1
f x
x
-
, por lo tanto, planteando la
3
- 2
>
-
x x
x
( )
2 3
0
1
Para resolver esta inecuación debemos factorizarla, en este caso:
- - - + = =
- - - - - +
2 2 ( 2)( 2)
1 1 1 1 1 1
x x x x x x x
x x x x x x
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
3 2
2 3 2 2 2 2
Aquí se aplicó:
Primero, factor común:
x3 - 2x = x2x - 2x = x(x2 - 2)
Luego:
2 ( )( )
2 2 ( (
- ® - +
- = - +
2 2 2
x x x
a b a b a b
) )
Luego:
2 ( )( )
2 2 ( (
- ® - +
- = - +
1 1 1
x x x
a b a b a b
) )
Y finalmente, la propiedad: a2 = a en ( 2 )2 2
x -1 = x -1
Por lo tanto nuestra inecuación queda:
- + >
- - +
( 2)( 2)
x x x
x x x
2 ( )( )
0
1 1 1

expresión:
x = 0
x - 2 = 0® x = 2
x + 2 = 0® x = - 2
La expresión x2 -1 SIEMPRE es positiva en todo el dominio de la función, por
estar operada con el valor absoluto o módulo
x -1 = 0® x =1
x +1 = 0® x = -1
Como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte
factorizadas x, (x - 2), (x + 2), x2 -1 , (x -1) y (x +1) . SigI Significa,
signo de la inecuación.
x > 0
Esto indica que para toda equis mayor que 0 la expresión x es positiva,
por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se encuentra el cero
en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es decir, a la
izquierda de esa misma línea signos negativos.
(x - 2 ) > 0® x > 2
Esto indica que para toda equis mayor que raíz de dos la expresión
(x - 2 ) es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde
se encuentra el 2 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto,
Para:
(x + 2 ) > 0® x > - 2
Esto indica que para toda equis mayor que menos raíz de dos la
expresión (x + 2 ) es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la

derecha, donde se encuentra el - 2 en la parte superior, se ubican signos
positivos y de resto, es decir, a la izquierda de esa misma línea signos
negativos.
La expresión x2 -1 siempre es positiva, por lo que ya te mencioné.
Para:
(x -1) > 0® x >1
Esto indica que para toda equis mayor que uno la expresión (x -1) es
Para:
(x +1) > 0® x > -1
Esto indica que para toda equis mayor que menos uno la expresión
(x +1) es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde

Cuadro número 2
(- 2,-1)È(0,1)È( 2,¥)
Recuerda que el intervalo (0,1) no pertenece al dominio de la función,
Dom f (x) : (-¥,-1)È(1,¥) , por lo tanto la función crece en:
(- 2,-1)È( 2,¥)
La primera derivada es:
3
= -
2
x x
( )
'
2 3
( )
1
f x
x
-

3
- 2
<
-
x x
x
( )
2 3
0
1
(-¥,- 2 )È(-1,0)È(1, 2 )
Recuerda que el intervalo (-1,0) no pertenece al dominio de la función,
Dom f (x) : (-¥,-1)È(1,¥) , por lo tanto la función decrece en:
(-¥,- 2 )È(1, 2 )
arriba.
generada, así:
2
= = = ® =
'' 2
( ) 0 0 0
( )
2 5
1
x
f x x x
x
-
Recuerda que cero no pertenece al dominio de la función, y como es la
única solución de la ecuación f '' (x) = 0 , se concluye que no hay puntos de
inflexión, lo que quiere decir que la curva o siempre es cóncava hacia arriba o
cóncava hacia abajo:
El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba SIEMPRE se
obtiene así:
f '' (x) > 0
Curva así: È
Y el intervalo donde la curva es cóncava hacia abajo es:
f '' (x) < 0
Curva así: Ç

Resolveré f '' (x) > 0 , es decir,
2
( )
2 5
0
1
x
x
>
-
.
Analicemos esta inecuación. Como el numerador de esta inecuación
consta de una variable elevada al cuadrado, ocurre que siempre dicho
numerador es POSITIVO, por lo tanto, para que
2
( )
2 5
0
1
x
x
>
-
, es suficiente
con que ( )2 5 x -1 > 0 , y la solución a ésta inecuación es:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
  - > ® -  > ® - > ® - > ® - >
2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0
 
Esta inecuación ya la habíamos resuelto en este mismo ejercicio.
x2 -1 > 0
Esta función y = x2 -1 es una parábola que abre hacia arriba, porque el
coeficiente de x2 es positivo.
Al derivar esta función, se tiene el punto mínimo: y' = 2x = 0x = 0 ,
sustituyendo en la ecuación original se tiene: y = x2 -1 = 0 -1 = -1, por lo tanto
el mínimo que es el mismo vértice de la parábola es (0,-1) , además se
igualamos a cero la función original y = x2 -1 = 0 , encontraremos sus cortes con
el eje equis, así: x2 -1 = 0x2 =1x = ± 1 = ±1, por lo tanto la gráfica de esta
parábola es:

En ésta gráfica se observa claramente que x2 -1 > 0 , es decir, x2 -1 es
positiva en el intervalo:
(-¥,-1)È(1,¥)
Observa que la solución de la inecuación x2 -1 > 0 coincide totalmente
con el dominio de la función, por lo tanto f '' (x) > 0 en todo el dominio se la
función, en fin, la curva siempre es cóncava hacia arriba.
de la función:

Respuesta:
1) Dominio: (-¥,-1)È(1,¥) y Rango: [0,¥)
2) Continuidad: Tiene 2 puntos de discontinuidad, a saber x = -1 y x =1
4) Simetría: Simétrica respecto del eje “Y” por ser par.
5) Puntos de corte con los ejes coordenados: No tiene cortes con el eje
“ y ” y posee 2 cortes con el eje x , a saber: x = - 2 y x = 2 .
6) Signo de la función: Siempre es positiva.
7) Asíntotas: Posee 2 asíntotas verticales: x = -1 y x =1, y una asíntota
oblicua de ecuación: y = x - 2 .
decrecimiento: Posee sólo 2 puntos mínimos, a saber: ( 2,0) y (- 2,0).
Además crece en el intervalo: (- 2,-1)È( 2,¥) y decrece en el intervalo:
(-¥,- 2 )È(1, 2 ) .

arriba: No posee puntos de inflexión, la curva siempre es cóncava hacia arriba
o convexa hacia abajo, en todo su dominio (-¥,-1)È(1,¥) .
Ejercicio 6
1 1
= +
Realizar el estudio completo de la siguiente función f (x)
2
x x
Solución
1) Dominio y Rango.
2) Continuidad.
3) Periodicidad.
4) Simetría.
7) Asíntotas.

decrecimiento.
arriba.
1 1
2
f (x)
= +
x x
Podemos ver fácilmente que existe para todo número real, ya que no
tiene restricciones de raíces de índice par ni logaritmos, se trata de funciones
polinómicas, claro está que la función no existe únicamente en x = 0 , porque
para éste valor la función no tendría existencia, por lo tanto el dominio es:
Dom f (x) :ℝ -{0}
Rango: Para conseguir el rango de una función se acostumbra buscar el
dominio de la función inversa, sin embargo, hay que tener cuidado a la hora de
analizar dicho Intervalo, observa:
1 1 1 1
= + ® = +
y x
2 2
x x y y

2 2
   
1 1 1 1 1 1
= + ® = +   ®  + - =
x x x 0
2
y y y y y y
   
Llegamos a una ecuación de segundo grado en función de
1
y
, entonces:
2 2 2
  - + - - + - - - + +   + - = ® = = =
 
1 1 1 4 1 1 4(1)( ) 1 1 4
= - + + ® =
1
0
b b ac x x
2 2(1) 2
1 1 1 4 2
2 1 1 4
2
( )
1 1 4
x
y y y a
x
y
y x
f x
x
-
- + +
=
- + +
El dominio de esta función se basa en 2 restricciones, a saber:
a)
( ) ( ) 2 2 -1+ 1+ 4x ¹ 0® 1+ 4x ¹ 1® 1+ 4x ¹ 1 ®1+ 4x ¹ 1®4x ¹1-1®4x ¹ 0x ¹ 0
Solución a: ℝ -{0}
y
b)
x x x
+ ³ ® ³ - ³ -
1
1 4 0 4 1
4
-  ¥ 

Solución b: 1
,
4
Interceptando los resultados obtenidos, se tiene:
1 1
= + es donde se interceptan
Por lo tanto el rango de la función f (x)
2
x x
- È ¥  

ambos intervalos anteriores, es decir, el intervalo ( ) 1
,0 0,
4
.
2) Continuidad:
1 1
= + es continua en todo su dominio, porque esta
La función f (x)
2
x x
compuesta por funciones polinómicas, que por definición son continuas.

Sin embargo, en los puntos donde el denominador se anula es
discontinua.
Así pues, la función presenta el único punto de discontinuidad en:
x = 0
3) Periodicidad:
período, o sea:
f (x) = f (x + P)
En nuestro caso:
1 1
2
f (x)
= +
x x
y
1 1
( + ) = ( ) +
( )2
f x P
+ +
x P x P
f (x) ¹ f (x + P)
4) Simetría.
1 1 1 1
- = + = - + ¹
( ) ( )
f x f x
2 2
- -
( ) ( )
x x x x
Se observa que nuestra función no es par.
1 1 1 1
- = + = - + ¹ -
( ) ( )
f x f x
2 2
- -
( ) ( )
x x x x

impar.
De éste análisis concluimos que la función no tiene simetría.
1 1
= + con el eje “Y” se hace
Para conseguir el corte de la función f (x)
2
x x
x = 0 .
1 1
= + con el eje “X” se hace
Para conseguir el corte de la función f (x)
2
x x
y = 0.
1 1
f = + = $
2
(0)
0 0
No esta definida la división entre cero, por lo tanto la curva no corta al
eje Y.
2
= + ® x + x  x
= = ® 2 + = ® + =  1
2 3
 + = = -
2
1 1 0
0 0 0 ( 1) 0
1 0 1
x x x x
x x x x x
Recuerda que 1 x = 0 no pertenece al dominio de la función, por lo tanto,
este NO es un punto de corte con el eje X. La otra solución, 2 x = -1 si
pertenece al dominio de la función, por lo tanto la curva corta al eje X en un
solo punto, a saber: 2 x = -1.
útil a la hora de graficar.
Estudiando el signo de la función original, vemos que:
1 1
+ >
2
0
x x
1
x
Analizando esta inecuación, se observa que el término 2
siempre es
positivo, por tener en el numerador un uno positivo y en el denominador la

1 1
+ > , se cumplirá
variable elevada al cuadrado, entonces la expresión 2
0
x x
cuando:
1
0
x
>
Y esto se cumple cuando x > 0 .
Este resultado nos indica que en el eje equis positivo la curva tiene sus
imágenes positivas, es decir, esta por encima del eje equis.
Por otro lado se tiene que puede suceder:
2 + ( + )
( )
+ < ® < ® < ® 1 1 1
x x x x x
0 0 0
2 3 3
x x x x
+ ( )
x 1
x
3
+
< ® <
2
1
x
x
0 0
( +
)
Como el denominador siempre es positivo, la única manera que x 1
x
2
sea negativa o menor que cero es que se cumpla:
x +1< 0® x < -1
Este resultado nos indica que en el eje equis negativo, en el tramo
x < -1, es decir, (-¥,-1) la curva tiene sus imágenes negativas, es decir, esta
por debajo del eje equis.
Observa que el dominio son todos los reales menos el cero,
ℝ -{0} = (-¥,0)È(0,¥) , esto nos deja ver hasta ahora, que tenemos
información acerca del signo de la función solo en parte de dominio, porque en
el primer análisis encontramos que es positiva para x > 0 y del segundo
análisis encontramos que es negativa para x < -1®(-¥,-1) , pero que pasa en
el tramo de [-1,0) , que pasa con el signo de nuestra función en ese intervalo,
veamos:
De [-1,0) el término
1
x
1
x
es negativo, y el término 2
es positivo,
entonces nos encontramos con la suma de 2 números con signo contrario y
necesitamos saber: ¿Con que signo va el resultado?, pues recuerda la regla de
los signos que se encuentra en la asesoría 2 de conocimientos
preuniversitarios fundamentales para Matemática, alli te recuerda que una de
las reglas dice:

Signos diferentes se coloca el signo del mayor y se restan los
valores absolutos.
Pues, ésta regla de los signos nos da la clave para saber si nuestra
suma algebraica con
1
0
x
1
< y 2
0
x
> en el intervalo [-1,0) genera como
resultado un valor negativo o positivo; apliquemos ésta regla:
Si tomamos valores absolutos de las expresiones, se tiene que ambas
son positivas:
1 1
x x
1 1
x x
= y =
2 2
Ahora bien, en el intervalo [-1,0) ¿cuál de las dos expresiones es
siempre mayor?
1
x
Respuesta: La expresión 2
siempre es mayor que
1
x
en el intervalo
[-1,0) . Si aun no lo ves mira lo siguiente, para demostrarte que lo que te afirmo
es cierto:
> ® 2
<
1 1
2
x x
x x
Y como los valores en el intervalo [-1,0) son fracciones todas menores
que uno, se tiene que su cuadrado será menor, observa algunos valores para
que termines de comprender:
 x 2
< x -  = Î [ - )
® - =    2 ® 1 1
®  ®   <   
= 0,
1
0, 25
1 1 1 4 1,0 1 1 1 2 2 2
25 0
0,
2
2 5
,5
2
4
2
<

<
Y lo mismo sucede con cualquier valor en el intervalo [-1,0) , por lo
tanto, aplicando la regla de los signos mencionada, el signo del resultado es
positivo, por lo que en el intervalo [-1,0) la función es positiva, es decir, esta
por encima del eje de las equis.
7) Asíntotas.

1 1
2
f (x)
= +
x x
En nuestro caso se toman los
puntos donde la función no
existe, es decir:
Para: x = 0 se tiene:
1 1 1 1
   +  = + = ¥+¥ = ¥
 
lim
x® 0 x x 2
0 0
En nuestro caso:
  =  +  =
2
2
1 1
lim
1 1
0 0 0
x
y
®¥ x x
 
+ = + =
¥ ¥
Por lo tanto la asíntota
horizontal es y = 0.
En nuestro caso:
1 1
  +  
=  2
 =
  =  +  =
2 3
lim
1 1
lim
1 1
0 0 0
x
x
x x
m
x
m
x x
®¥
®¥
 
+ = + =
¥ ¥
Por lo tanto pasamos a
calcular b:
( )
= -
b f x mx
  =  +  =
2
lim ( )
1 1
x
lim 0
x
b
x x
®¥
®¥
 
Indica una recta de
pendiente cero, es decir la
asíntota horizontal, en
conclusión, no hay asíntota
oblicua.
decrecimiento.
siguiente manera:

1 1
2
( )
= +
' ' '
era '
      - =  +  =   +   = -
     
1 1 1 1 1 2
2 2 2 3
1 derivada: ( )
f x
x x
f x
x x x x x x
- - 3 - 2  - 2
= ® = - = ® = ®- - = ®- + = 
1 2 x 2 x x 0 x
0
3 2 2 1
2 3 5
 + = ® = -
2
0 0 2 0 ( 2) 0
2 0 2
x x x x
x x x x x
La ecuación tiene 2 soluciones, pero solo una de ellas es punto crítico
¿Por qué? Respuesta: Porque el punto 1 x = 0 , NO PERTENECE AL DOMINIO
DE LA FUNCIÓN DADA, recuerda que el dominio de la función que estamos
analizando es: Dom f (x) :ℝ -{0} , en cambio, el punto 2 x = -2 si pertenece al
dominio de la función. En conclusión hay UN PUNTO CRÍTICO, a saber:
2 x = -2 .
Una vez conseguida la abscisa del punto crítico, se debe estudiar la
naturaleza de cada uno de ellos, es decir, si son máximos o mínimos, para ello
aplicaré la prueba de la segunda derivada, calculando dicha segunda derivada
primero, claro está:
'
= - -
1 2
2 3
' ' '
da ''
( )
 -   -    =  -  =   -   = +
     
1 2 1 2 2 6
2 3 2 3 3 4
2 derivada: ( )
f x
x x
f x
x x x x x x
''
2 6
= +
3 4
f (x)
x x
Naturaleza del punto crítico 1 x = -2 :
f - = + = + = - + = - = = +
2 6 2 6 4 6 6 4 2 1
( ) ( )
''
- 3 - 4
-
( 2)
2 2 8 16 16 16 16 16 8

Como el resultado es positivo, entonces x1 = -2 es la abscisa de un
punto mínimo.
Una vez obtenida la abscisa, se consiguen la ordenada, es decir, las
coordenada ye, con la función original, así:
Para 1 x = -2 :
f
- = + = - + = - + = - = -
( )
1 1 1 1 4 2 2 1
( )2
2
- -
2 2 2 4 8 8 4
El punto mínimo es:
1
  - 2,
- 
 
4
= - 1 - 2
2 3
f (x)
x x
- 1 - 2
>
2 3
0
x x
Para resolver esta inecuación debemos operar y factorizar, en este caso:
- 1 2 - x 3 - 2 x 2 - x 2 ( x + 2
) - x
2
( )
- > 0 ® > 0 ® > 0
® 2 3 5 5
x x x x
x 2
x
5
+ - ( +
)
> ® >
3
2
x
x
0 0
( ) ( )
- + +
2 2
x x
x x
> ® <
0 0
3 3
expresión:
x + 2 = 0® x = -2
x3 = 0® x = 0

Como si estuvieran en el eje real, y siempre se completa en la parte
factorizadas x + 2 y x3 . SigI Significa, signo de la inecuación.
x + 2 > 0® x > -2
x + 2 es positiva, por lo tanto a partir de la línea vertical a la derecha, donde se
encuentra el -2 en la parte superior, se ubican signos positivos y de resto, es
x3 > 0® x > 0
Esto indica que para toda equis mayor que cero la expresión x3 es
Cuadro número 3
(-2,0)

( +
)
OJO: Recuerda que: 3
2
0
x
x
<
= - 1 - 2
2 3
f (x)
x x
- 1 - 2
<
2 3
0
x x
(-¥,-2)È(0,¥)
arriba.
generada, así:
4 + 3  3
= = = + = ® = ® + = ® + = 
2 6 2 x 6 x 2 x 0 x
0
( )
'' 4 3 3 1
3 4 7
 + = = -
2
( ) 0 0 2 6 0 2 3 0
3 0 3
f x x x x x
x x x x x
Recuerda que cero no pertenece al dominio de la función, por lo tanto el
único punto de inflexión es: 2 x = -3 .
La ordenada ó coordenada ye, de este punto de inflexión, se calcula
sustituyendo 2 x = -3 en la función original, así:
f
- = + = - + = - + = - = -
( )
1 1 1 1 9 3 6 2
( )2
3
- -
3 3 3 9 27 27 9
Por lo tanto el punto de inflexión se ubica en:
 - - 2
 3,

 
9
El intervalo donde la función es cóncava hacia arriba SIEMPRE se
obtiene así:
f '' (x) > 0
Curva así: È

Y el intervalo donde la curva es cóncava hacia abajo es:
f '' (x) < 0
Curva así: Ç
2 6
+ > .
Resolveré f '' (x) > 0 , es decir, 3 4
0
x x
Para resolver esta inecuación, operamos y factorizamos, así:
4 + 3 3 ( + ) 3
( )
+ > ® > ® > ® 2 6 2 6 2 3 2
x x x x x
0 0 0
3 4 7 7
x x x x
x 3
x
7
+ 2 ( 3
)
0 0
4
x
x
+
> ® >
Esta inecuación es sencilla de resolver, porque el denominador siempre
es positivo, porque esta elevado a un exponente par: x4 , por lo tanto, el signo
2 ( x 3
)
de 4
x
+
2 ( 3
)
, viene marcado por el numerador, es decir, para que 4
0
x
x
+
> ,
se debe cumplir:
2(x + 3) > 0®(x + 3) > 0® x > -3
Por lo tanto en el intervalo (-3,¥) la función es cóncava hacia arriba.
2 6
Ahora, resolveré f '' (x) < 0 , es decir, 3 4
+ < 0
.
x x
Para resolver esta inecuación, operamos y factorizamos, así:
4 + 3 3 ( + ) 3
( )
+ < ® < ® < ® 2 6 2 6 2 3 2
x x x x x
0 0 0
3 4 7 7
x x x x
x 3
x
7
+ 2 ( 3
)
0 0
4
x
x
+
< ® <
Esta inecuación es sencilla de resolver, porque el denominador siempre
es positivo, porque esta elevado a un exponente par: x4 , por lo tanto, el signo
2 ( x 3
)
de 4
x
+
2 ( 3
)
, viene marcado por el numerador, es decir, para que 4
0
x
x
+
< ,
se debe cumplir:
2(x + 3) < 0®(x + 3) < 0® x < -3
Por lo tanto en el intervalo (-¥,-3) la función es cóncava hacia abajo.
de la función:

Respuesta:
1) Dominio: ℝ -{0} y Rango:
-  ¥ 

1
,
4
2) Continuidad: Tiene 1 punto de discontinuidad, a saber x = 0
4) Simetría: No tiene simetría.
5) Puntos de corte con los ejes coordenados: No tiene cortes con el eje
“ y ” y posee 1 corte con el eje x , a saber: x = -1.
6) Signo de la función: Es positiva en: [-1,0)È(0,¥) y negativa en:
(-¥,-1).
7) Asíntotas: Posee 1 asíntota vertical: x = 0 y una asíntota horizontal
y = 0.

decrecimiento: Posee un punto mínimo, a saber:
 - - 1
 2,

 
4
. Además crece en el
intervalo: (-2,0) y decrece en el intervalo: (-¥,-2)È(0,¥) .
arriba: Posee un punto de inflexión en
 - - 2
 3,

 
9
, es cóncava hacia arriba o
convexa hacia abajo, en (-3,¥) y cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba
en: (-¥,-3) .
Ejercicio 7
Al usar el método de Newton para hallar una aproximación de 5 ,
tomando como primera aproximación 0 x = 2 , se obtiene el valor:
a. 1 b. 2 c.1,5 d.2,25
Solución

Justificación: El método de Newton se utiliza para conseguir las raíces
aproximadas de una función, es decir, dar solución aproximada a: f (x) = 0 ,
siempre que la función f (x) sea derivable.
En este caso nos dan la aproximación de la raíz, 0 x = 2 , cuando no
tenemos esta información, debemos aplicar el Teorema de Bolzano para
conseguir un intervalo lo suficientemente pequeño donde la función tenga la
raíz para aplica luego el método de Newton ó se puede graficar la función, claro
de ser posible graficarla, y visualizar donde pudiera estar la raíz.
En nuestro caso nos piden una aproximación de 5 , por lo tanto
debemos construir una función, que igualada a cero ( f (x) = 0 ), nos genere
este valor. Debe estar igualada a cero, porque lo que ya te mencione, que el
método de Newton de aplica para conseguir las raíces de una función.
Si tomamos la función x2 -5 = 0 , observamos que al despejarla
obtenemos:
x2 - 5 = 0® x2 = 5® x = 5
Por lo tanto la función f (x) = x2 - 5 nos permite aplicar el método de
Newton bajo las condiciones dadas en el ejercicio.
Ahora bien, el método de Newton utiliza la siguiente fórmula iterativa:
( )
( )
= -
+ 1 f '
x n
n n
n
f x
x x
Necesitamos la primera derivada para evaluar tanto la función original
como esa derivada en: 0 x = 2 , así:
f (x) = x2 - 5® f ' (x) = 2x
Aplicando el método de Newton para hallar una aproximación, sabiendo
que n = 0 (porque nos dan como dato 0 x = 2 ), se tiene:
( )
( )
f x + = -
0
0 1 0 '
0
f x
x x
2
1
2 5 4 5 1 1 8 1 9
2 2 2 2 2, 25
2 2 4 4 4 4 4
x
- -  -  + = - = - = -  = + = = =
i  
Respuesta: Opción d.
Ejercicio 8

Sea f : (2,7)®ℝ una función tal que su derivada viene dada por la
expresión:
' cos
( )
x
( )
ln 1
f x
x
=
+
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y los
puntos máximos y mínimos.
Solución
Justificación: Estos puntos (x, y) máximos y mínimos, SIEMPRE se consiguen
de la siguiente manera:
Igualando a cero:
cos
x
' ( ) 0 cos 0
= = ® =
f x x
( )
ln x
1
+
Debemos ubicar los puntos donde el coseno de equis se anula, es decir,
donde corta al eje equis, pero que estén dentro del intervalo (2,7) que es el
dominio de la función, para ello observa la gráfica del coseno, en este intervalo
(2,7):

Se observa claramente que cos x = 0 solamente en el punto
x
= p que
3
2
pertenece al intervalo (2,7)
Y los puntos donde la primera derivada no existe, es donde el
denominador se anula, es decir:
ln(x +1) = 0®eln( x+1) = e0 ® x +1 =1® x =1-1x = 0
Pero este punto no pertenece al dominio de la función (2,7).
En conclusión tenemos un solo punto crítico, a saber:
x
= p
3
2
Una vez conseguida la abscisa del punto crítico, se debe estudiar su
naturaleza, es decir, si son máximos o mínimos, para ello aplicaré el criterio de
la segunda derivada, calculando dicha segunda derivada primero, claro está:

( )
( ) ( ) ( ( ))
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
'
'
' '
da ''
2 2
''
2
cos
( )
ln 1
1
ln 1 cos
cos ln 1 cos ln 1 1
2 derivada: ( )
ln 1 ln 1
1
ln 1 cos
1
( )
ln 1
x
f x
x
x
senx x x
x x x x x
f x
x x
senx x x sen
x
f x
x
=
+
 + 
- + -  
+ - +  +    = =
+ +
  - + -   -  +  = =
+
( )
( )
( )
( )
2 2
( )
( )
''
2
cos ( 1) ln 1 cos
ln 1
1 1
ln 1 ln 1
( 1) ln 1 cos
( )
( 1) ln 1
x x senx x x
x x
x x
x x
x senx x x
f x
x x
+ + +
+ -
+ = - +
+ +
+ + +
= -
+ +
( )
( )
''
+ + +
( 1) ln 1 cos
x senx x x
2
( )
( 1) ln 1
f x
x x
= -
+ +
Naturaleza del punto crítico
x
= p :
3
2
''
p p p p
3 3 3 3
 +         1  sen
  ln  + 1  + cos
 
3 2 2 2 2
2 3 3 1 ln 1
    = -
           +      2
 + 
      = - - +   +  +      +     ®   ''
= -       =
      =    +  2
      +        
2 2
   
3 3 3 3 1 1 ln 1 0 1
2 3 2 2 2
3 2 3 3 cos 0 1 ln 1
2 2 2
f
sen
f
p
p p
p p p p
p
p p p
+
      + 
  
p p
   +  2
 +   
   
p
3
ln 1
2
3 3
1 ln 1
2 2
El resultado es positivo porque
 3
p  +  1

 
2
es positivo y
 3
p +   
 
ln 1
2
también
es positivo, porque el argumento del logaritmo es mayor que uno, y los
logaritmos mayores que uno son positivos, y por último en el denominador se
observan las mismas estructuras ya comentadas, por ende la segunda
derivada evaluada en el punto crítico es POSITIVA.

NOTA: Puedes usar la calculadora y observaras que el resultado
ciertamente es POSITIVO.
Como el resultado es positivo, entonces
x
= p es la abscisa de un
3
2
punto mínimo.
Una vez obtenida la abscisa, se consigue la ordenada, es decir, la
coordenada ye, con la función original, así:
NOTA: En este caso no calcularemos la ordenada del punto mínimo
porque no contamos con la función original, solo con su derivada, ya hasta
ahora (Estudias Matemática II) no se tiene conocimiento para hallar la primitiva
de la derivada, ya que esto es un problema de integrales que veras en
Matemática III, o cálculo según sea tu carrera.
Después de conseguir este punto mínimo, pasare a conseguir los
Crecimiento y decrecimiento de la función
' cos
( )
x
La primera derivada es: f x
ln ( x
1
)
=
+
cos
x
x
( )
0
ln 1
>
+
Para resolver esta inecuación debemos analizarla. En el denominador
tenemos la función ln (x +1) que siempre es positiva porque la variable equis
pertenece al intervalo (2,7) que es el dominio de la función, por ende el
argumento (x +1) de la función logaritmo es siempre mayor que uno, lo que
nos lleva a concluir que la función ln (x +1) siempre es positiva en el dominio
de la función original, ya que el logaritmo de números mayores que uno
SIEMPRE ES POSITIVO.
Por otro lado, la función coseno en el intervalo (2,7) si cambia de signo,
tal como se observa en la siguiente gráfica:

Por lo tanto el cos x > 0 , es decir, positivo en el intervalo:
 3
p 
,7
2
 

y
negativo ó cos x < 0 en el intervalo
 3
p 
 2,
  
2
. Este análisis nos lleva a concluir
que:
cos
x
x
( )
0
ln 1
>
+
en
 3
p 
,7
2
 

y
cos
x
x
( )
0
ln 1
<
+
en
 3
p 
 2,
  
2
Por ende crece en:
 3
p 
,7
2
 

Y decrece en:
 3
p 
 2,
  
2
Respuesta:
Intervalos de crecimiento:
 3
p 
,7
2
 


Intervalo de decrecimiento:
 3
p 
 2,
  
2
Punto mínimo:
x
= p
3
2
Ejercicio 9
Determine el valor de la constante "a" para que la función ( ) 2
a
f x x
x
= +
tenga un mínimo relativo en x = 2 .
Solución
Justificación: En este caso, no nos indican el dominio de la función, y
como ya hemos observado, éste es importante para determinar los puntos
críticos, porque a veces sucede que dichos puntos no están en el dominio de la
función, por ende no se toman como tales.
En este caso, el dominio de la función son todos los reales, por tratarse
de una función polinómica, sin embargo, se debe excluir el cero únicamente,
porque tenemos la variable equis en el denominador, y sabemos que la división
entre cero NO EXISTE O NO ESTA PERMITIDA O NO ESTA DEFINIDA.
Por ende el dominio de la función planteada es: Domf (x) = ℝ-{0}
Ahora bien, sabemos que todo punto mínimo o máximo es crítico, por
ende se debe cumplir que la primera derivada sea nula:
f ' (x) = 0
Por lo tanto, al calcular la derivada de la función dada, se tiene:
a a
= 2 + ® '
= -
2 ( ) ( ) 2
f x x f x x
x x
Al igualarla a cero:
= - = ® 2
3
- = ® - = ® = ® = =
a x a a a
' 3 3 3 3
( ) 2 0 0 2 0 2
f x x x a x a x x
2 2
2 2
x x
Como el mínimo relativo es x = 2 , se tiene:
 
a a a
( )
3
3
= = ®  = ® = = ´ =
3 2 3 2 8 8 2 16
2 2 2
x a
 
Ahora debemos verificar que ciertamente este valor de "a" genera un
mínimo, para ello calculamos la segunda derivada:

a a
= - ® = +
' ''
2
( ) 2 ( ) 2
f x x f x
2 3
x x
Evaluando esta derivada para x = 2 y a =16 , se tiene:
2 ( 16
) ''
f = + >
(2) 2 0
3
2
Se observa claramente que la segunda derivada es mayor que cero, es
decir, positiva, por lo tanto el punto x = 2 para el valor a =16 es un mínimo tal
como se pide en el ejercicio.
Respuesta: El valor de a es 16.
Ejercicio 10
Calcular el Polinomio de Taylor de grado 3 de la función
( )
3
f x = x2 , alrededor del punto c = 4 .
Solución
Justificación: El polinomio de Taylor de grado 3 viene dado por:
'' ( ) ( )( ) ( )( ) 2 ''' ( )( ) 3
'
3 ( )
f c x c f c x c
2! 3!
T x f c f c x c
- -
= + - + +
Por lo tanto debemos calcular hasta la tercera derivada, así:
( )
( )
( )
( )
3
2
=
= =
3 1
f x x
3 -
3
2 2
1 3 3
2 2 4
1 3 3
2 4 8
' 1 2 2
f x x x
1 1
- -
'' 1 2 2
= =
f x x x
1 3
- - -
i
''' 1 2 2
= - = -
f x i
x x
Evaluando en c = 4 , se tiene:
( )
( )
3
2 3
4 4 4 64 8
1
3 3 3 3
' 2
4 4 4 2
2 2 2 2
f
f
= = = =
= = = i = i 2
1
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3
'' 2
1
2
3
3
( ) ( ) ( )
''' 2
3 3
2
4 4
4 4 4 4 2 8
4 4
3 3 3 3 3
4 4
8 8 4 8 8 64 8 4
f
f
-
-
=
= = = = =
 
 
 
= - = - = - = - =
 
 
 

Sustituyendo en el polinomio de Taylor de grado 3, para c = 4 , se tiene:
'' ( ) ( )( ) ( )( ) 2 ''' ( )( ) 3
'
3
4 4 4 4
( ) 4 4 4
f x f x
2! 3!
T x f f x
- -
= + - + +
( ) ( ) ( )
2 3
= + - + - + -
T x x x x
( ) ( )
= + - + - + + - + -
T x x x x x x x
( )
( )
3
2 3 2 2 3
3
2
= - + - + + - + -
3 2 3
T x x x x x
3
x x
2
= - + - + + 3 - 2
+ -
T x x x x x
3
x x
2 3 2
3
3 3
( ) 8 3 4 8 4 64 4
2 6
3 3
( ) 8 3 12 8 16 3 4 3 4 4
16 64 6
3 24 48 1
( ) 3 4 12 48 4
16 16 16 64 2
3 3 1
( ) 3 4 3 12 48 64
16 2 128
3 3 12
= - + - + -
( ) 3 1
x x x x
16 2 128 12
T x x
i i i i
i
i
2 3 2
3
3
2
3
3 2 3 2
3
3 2 3 2
3
48
64
8 128
3 3 3 3
( ) 3 65
16 2 128 32 8
3 3 3 3
( ) 3 65
128 16 32 8 2
3 27 3 3 54 24
( ) 65 65
128 32 8 2 128 32 16
3 30 3
( ) 65
128 32 16 128 3
x
x x x x x
T x x
x
T x x x
x x x x
T x x x
x x x x
T x x
+ -
= + - + - + -
    = +  -  +  + -  -
   
   -  = + +  -  - = + +   -
   
  = + +   - = +
 
15
65
x + -
2 8
Respuesta:
3 2
T x = + + -
3
3 15
x x x
( ) 65
128 32 8
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Determinar los puntos críticos de la función m(x) = -ln (1- x2 ) en el
intervalo [-2, 2] y hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función.
Ejercicio 2
Construya la gráfica de la función f (x) = 2x3 - 3x2 -11x + 6 , calculando
previamente: a) intervalos de crecimiento y decrecimiento b) Máximos y
mínimos c) Puntos de inflexión e intervalos de concavidad.
Ejercicio 3
( 2
)
Usa la regla de L´Hôpital para calcular el límite: lim
x 2
( )
0
arctg x
® arcsen x
.
Ejercicio 4
Completa las siguientes afirmaciones:
a. En x = a la función f(x) tiene un posible punto de __________ siempre que
f ¢¢(a) = 0 o f ¢¢ ( a )________.
b. Si f ¢( a ) = 0 y f ¢¢( a ) > 0, entonces en x = a se alcanza un ________.
c. Si f ¢( a ) = 0 y f ¢¢( a ) < 0, entonces en x = a se alcanza un ________.
Ejercicio 5
Sea f (x) = x5 - 5x3 . Usar el criterio de la segunda derivada para
encontrar los máximos y mínimos locales de f, los puntos de inflexión, los
intervalos de concavidad y grafique f .
Ejercicio 6
Hallar si los tiene: máximos, mínimos relativos y puntos de inflexión para
la función f :ℝ+ ®ℝ tal que f (x) = x ln x .
Ejercicio 7
Grafica una función derivable f: [1 ,4]→IR que cumpla las siguientes
condiciones simultáneamente:
f ¢( x ) > 0 para todo xÎ(1 , 2)

f ¢( x ) < 0 para todo xÎ(2 , 3)
f ¢( 3 ) = 0 y f ( 4 )> 0.
Ejercicio 8
Hallar el estudio y la gráfica de la función f :ℝ -{-1,1}®ℝ , definida por
2 ( )
1
x
m x
x
=
-
.
Ejercicio 9
Haz el estudio y la representación gráfica de la función f : D Í ℝ®ℝ,
definida por:
f (x) = -x
Ejercicio 10
Sea g: IR®IR definida por g(x)=2 x -3x2+11x. Usa el Teorema de
Rolle para demostrar que existe x0 Î (0,4) tal que g¢(x0)=0.

Ejercicios detallados del obj 5 mat ii 178 179-

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