1) El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con ángulos y funciones trigonométricas. 2) Incluye problemas sobre posición de ángulos, conversiones entre grados, radianes y grados sexagesimales, cuadrantes y valores de funciones trigonométricas. 3) También contiene ejercicios sobre identidades trigonométricas.

1. 1lJediria <J;'.irig;;1.:s
I lj:i
Ejercicic'rs - N:Iedidas ángulos
6.1
de
A- Coloque cada ángulo en posición eslánclar v rleterrrine al menos dos ángulos
coterrnin¿tles ¡>osit.ivos dos negativos
-i'
2n
5
17¡
,
l. 650
6 --
_
34
3. -5 0 "
it
4. 346"
7. -E-
4
8 5¡
B, Det,elminela nredicla
en
equivalente radianesclec¿da uno cle los siruientes
ángulos
1. 315" 2. 15"
4 . -7 2
3 90 0 "
(l{-l
C- Detcrrrine [a r¡reclid¿r
cn
equivzrlertte gr';rrl{)s c¿rdaunc¡ de los siguierrtes
ángukts
*7
iT
1-
T2
L.
l9zr
-_
J.
4. I
.?
D- Deterr¡rirrc c-uaclrante tlue ¡iertenc:ceel l,¡rclo
el
al
tcrln_inalde los siguierrtes
ángulos
t. 335"
- l4;r
"
rJ-
-
l(
r '-,
.
lla
2 7gA
3
6 -5"
7. -2444', 8. -5,12"
I
6
E. Defernrinccu¿iles los sigtricnbcs
de
ár-rgrrlos cuadr¿rnLales
sorr
l. ¡150"
25¡r
2. 765"
- - :-
.t
') -
a - .Jtl
a
i . -360 001"' $. -E tO"
*ttt i-
T.
a
.i
E -5;r

2. 164
- f¡:rlid."¡ , fi- ,
F- Deterrnine Ia-nredida del ángulo de referencia de los siguientes rirrgukrs-
r. 23s"
- 4ir
5 ._
r
tt
2- 6s" 3
6- -5t¡
5"
67
7- -1100"
4.2n
8
-2o
G. Determine en cada casola informaciónsolicitadal- Un ángulo nega.tivo nredidaz en posiciónestárrdartiene su lado tenninal
de
en el cuarto cuadrante)/ sn ángulo de referenciaes de 45" ¿Cuál es el r.alor de
t?
2- Un ángulo posit.ivo medida r en posiciónestándar tiene su lado terminal
de
en el tercer cuadranta J'sr¡ ángulo de referencia es de 72.5. ¿Cuáles el ralor
de r?
3. Un ángulo negativode medida- en posiciónestándar tiene su lado terrnihal
r
en el segundocuadrantey su ángulo de referenci¿r de { ¿Cuil es el ralor de
es
,
r?
J
4- Un ángulo positivode inedida. en posiciónestá¡rdartiene su lado terminal
Í
en el tercer cuadra¡rte su ángulo de referencia de I radián ¿Cuál es el r.alor
y
es
de r?
5 Si ct es utt ángtrloen ¡rosición
cstándartal r¡uc 270" < cr < 360" determinir
-v'
un ángulo de refere¡rcia 20"-¿Cuáles l¿rnredida de ¿r?
de
6. Si cues un ánguloen j;osiciónestándartal que I E0" < a < 270" j, determina
un ángulo de refelencia 8".¿Cuál es la meclicla o?
de
de
7. Si o'es Lrnánguloen posiciónestánclar que -¡r ( o a -:
Lal
-v
deterrnina
un ángulo de referencia I iCtrál es Ia rnerJicla a?
de
cle
B. si a es u¡r ángulo po.].io., estándartal que -i . a < 0 y determinir
,,
"n
un ángulo de referenciade 1 radián ¿Cuál es la medicla de cu?
i

3. I I tÁ¡ ) n /) l) ;l
r i.t<
' t,t ,tn.:<!th':;
Ejercicios
Ra,zones rigonornétricas
t
A- Determineen cadaca.so infor¡nación
la
solicitacl¿.
l. Considereun triángulocon ángr-rlos
agtrdos y p v cafetosgon y l2c¡n El
a
ángrrloa es el menorde los ángulosdel triángulo Dctermi¡e las seis r¿zolres
trigonométricas ambosárrgulos
de
agudr_rs.
2- Considereun triángtrlorectánguloisósceles
con hipofenusaI Scrny un ángulo agudode 25"- DeLerrnine medidas los closcatetosy del otro ángulolas
de
Detenninesen25"- cos(90" 25"), t,an r. cot(90" - 25")
25"
3 considere Lrntriá'gulo rectánguloco' ángurosagudosa
"v0,
3
coscr:
determine otras cincorazones
las
brigonornétricas el ánguloapara
7;
Posteriormente.
determinelas seis razones
trigonométricaspara el ápgulo B
4 De{'ermineel valor exac[o de las seis razonestrigonornétricas
clel menor
ánguloagudode un fliár'rgLrlo
rectilngulr-r'ctr¡,¡,5 ¡niclerr
l¿rdos
3k.41"-.5A; e R.
k
5. Corrsidere Lriárrgulo
(tr)n
rrn
rectárrgr.rlo catetos 6rr ¡, Zrr. Det.ermiue
los
valtlres correspondierrtes las seis rirzorlesfrigorr1rrrrétric¿rsrnayor cle los
a
el
rírrgulos
agudos estetriángulo
de
6 Si csccr
det,er*ri*e cl
J
7. Si set:d:
J
'alor
e-x¿ctode t:oscr'.{.¿Lrl v sc.2a- + cos2o.
.,-
Calcr-rle r.alor nurnér'icooa
el
J
t:os2d - I
2t.an0
4
8- ¿Sepuede aceptar el ralor cor]lo rrn ¡rosiblevalor cle l¿rr¿zónseno
l)ara.
;
algún ángulo?
I Considereun triángulo r-cctángrrlo isósceles hi¡ro[enusa
e
cle
8 ,v ángulo
agudo a, Determineseca, col.a v I - r,os2
o.
l0 si á es un á.g'lo agr-rdo.1. :'#.
seng
'fi
f,
{¡
q
deter.rinecosg, r.a*g-

4. 170
R.azo nes t.ri gonornet.r'ic¿s cle áng ulos ap ¿l¡los
B- Determine el ntimero real eqtrivalente a cad¿r rrna de las siguiente-s exl)r-eslones.
'il
I
I
I
I
I
I
I
I
I
t
I
I
i
I
I
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9. 1/isec[ - t^"!
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4 (r/2sen - /3cos
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5.
sec-; *cos;
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1/( sen2¡ + cos' A)
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11. cos2 *ztan2 1
7t
csc * eo[.7
,
s ec a-s ec 5
6.
cot -
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sen"--cos--
r)33
-. f
J
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,Tf
.77
sen'-
.)
C- DeLermine valor del ángulo aguclo 0 en ca.da.
el
caso, seglrn l¿r infonuaciót-l
dada
t
b. t,anU l. cosg :!
la
2
VJ
.l
7 - s e c0 : 2
2- cscl :2
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I
I
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3sec; * cos-
t
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f
Tl
l. cos-*2t,an
46
3 - se c? :
2rt
J
8 - c o s0 : 2 -l
g
4 - se n : Jj
9 - t ¿ rn á : 1
5- cot.0: l
l0 csc0:
*

5. F
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L' í rt' t t I t'¡ t t j Bt t tt,t tnél r i to
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Ejercicios6-4. Círculo trigonométrico
t'
I))
A Considerelos pun[os daclos]' establezca cuadranteo el serniejeal c¡ue
el
pertenecen.
Posterionnente.
detelltrinesi los puntos pertenecen una circun¿
ferenciatrigonornétrica no Justiliqueo
5i
b;
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3 P{l,u }
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C. Del.ermilre coorclen¿d¿rs ¡>r-rnto irrtersección l¿rrlo'tcrnrin¿rl
l¿rs
dcl
de
de
del
ctrdaángulo en posicitirr
estárldarcon la.circunferencia,
trigorrorrrótrica
I.-
fite
dD
r0 )
qite P(.r,y) es Lul ¡>r.tnto la circunferencia
B Considere
de
trigtinonrólrica.
Deternrinelos valoresr o 3rsegúrrsc¿r caso,
el
*
Y
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4 P (_ 1 , -1 )
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3.
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5n
463
5,
3,1
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5.-
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0. .
7.-
-79n
^ 22n
^ l5;r
9. _+2^
+

6. **#"W'
r84
Ci r c t ú. t t 1ilt-rr ltt¡¡ ¡¡1¡¡ ¡ t,
D- Par¿rcad¿ ángulo del ejercicro ¿rnterior, determine el
de la razd¡¡r
'alor
trigonométricaseno,coseno.
tangente. cotirngerrtesecanter cosecante
del ángulo
E- Considerela circunferencia.
trigonométrica y determine el cuadrante en el
que se ubica el punto asociadoa cada uno de los siguientesángulos
r- rl 3
4. 2
7 . -3 L 4
2. -7n/8
5. 6
B . -6 . 3
3. 5n/1
6. -3
9. r1n19
F- Deter:mineel par ordenadode la circunferencia.
trigononrétrica asociacloa
cada uno de los siguientes
ángulos.
L- n/4
4. -r3r /2
7- 25n/6
2 . -2 rr 1 4
5. -29r /3
B. -8r /3 + 4n
3. a1r/4
6, *57n
9. -5r;n16
G- Calcule valorde las seisfuncionestrigonométricas
el
¡>aralos sigulentes
ángulos.
15r
23¡
l- ¿ - _
4 -t-- ,
4
-l7n
^
L-
?
L
¡-
-
6
-llr
J
-
5-¿: -
6- ú: -
t tl
l2
l5¡r
t2
I{- Deterlnine el ra.lor numérico de las siguientes ex¡:resiorres
r cos
(T)"* (i) + cos ) - tan(ff)
(f
,
J.
sen'? ) * sen(á) - t,an )
(f
(f
sen(T) cos(?) sec(Í)csc (*)
tan (f) cot (f)

7. It 1 t' ¡ t 1 r l,1 ,l¡ .;.
191
:
)
)
,.
)'
ESercicios
6.5 Ideni,idades trigonométricas
J
¡i
7
r!
,
Demtrestre las siguientes
}F
l?
iclentidaclestrigonorrréLricas
SCN Z
1
I.
t -cosT:csc¿*cotz
r:
-}
2- ¿ant * 2cosúcscú:
S€cfrsc I _FcoLl
Í
r
r
)
t
I
I -cos2¿
r - cos.lt
_ coso
I -scn;
i
_l
+ Llseno = 2 s e c 0
- l*o-
]
co.sa(2r) sen2(2:;)
+
: cos2l2r)* se¡<(2r)
c o f,¿
_ cscf - |
c s c l I J -;tJ _ rf
l glugfscn :
fsen rf
l.alta :¡r -. se6,l:,r :
I _ 2.set,2.u
¡
y
-sen co.s + cos:r senV
t:()-s COS - Sen Í
y
-L*
Sen.lJ
csc 2
a+ csq
.:
-
cscz
a- csc;
t¿n:r * t.irny
I - t.¿tn:¿, y
t,¿rn
: 2.sec2
e
tan ¿' --=---- sen.? __ sec¿
ScnJ:?.:
I +c.oSr
t 2 . tan(r - +) : l;a¡rz I
z
talru * I
r'?
ItJ
(.osr
I senr)2 : I *se'(2e)
scn(2ó)
I l- ..*€1,
= ta¡r ó

8. I d e n t i d ad x
l5
t _-*t,-
-
l + a"rt,
Trigrrn<xnct r i:er
:2t'anr'^ sec'
r6
sec2o r-;srr2 : Sec2 + cscZa
¿t
cr.
17.
cosr cotz
cot.r - cmz
tR
'"-
sen(62)
sen(22)
cosr * cot r
cos z c o t s
cos(6r)
- ,
cos(Zz) '
19. secz sec(90 r) - ta n (g 0 - z ) : [ a n ¡
*
20. cos2(90" o) cor,(90" q(t+
'/
r.ar12(90" *))
-
B- Para cada 1:aso
detennine el valor exacto_
tl::,:':
I
I
* cot(r *
sen?.
r,anr,sen
t corr { 0. Derermine:
(r.;),cos(22),
!
ii).secz
2cosr*
,
*ut r > 0. Determine: r, S ranr, ."r, (2, cos
ran(2r),
: tan(22)
ll::": * zr),-; ,,
;),
- csc(I
* 3 cosz.
3. Si t:os, : ] y cscr < o Determir sen
-re: (5n * r
-5t
/so1
' I
c ot, .
(:: ;
(?,) + 2 ( x + n )
),"0,,
lr
+ 3' cos(2r)'
) 'ran(Zx)
4. Sisen : -f , ,o.z) 0.o",":1,:".
'"or(, T)
cos(22) 3 serr
Jx,5 -cos(2u),
ly
"." tl
- 3 co s( z- t)
c- l)aclos
senr-r: f dondeo es un ángurodel cuarto eua.drante cosl3:
y
do¡rde es un ángulodel tercercuadrante-calcule sen(c+ gi, tan(a + #
d
l)gué
pertenece + l?
¿.A' ctradrante
a
D. S i o y ¡? so nd má n g u los
agudmtalesqueltana: I ycot g:3_
" .
que talesángulos
.i
curnplen * 0: 45"a
N,lues tr e

9. I
I
)
I
I
l'.,1¡
f.
trigonoméfricas
Ejercicios6-6- Ecuaciones
de
en
solución cada ectración [0,2r[
el
A- Determine conjurrto
l ,2 cosz*l-0
2. cost:-5
1l
3 cotr*l:0
4- 2sen
":
J3
t.an
5- sent tan ú : sentz¿) ¿
/
6 2 se rrrta n(r ,
/
,)
¡
: l /3 tan +
tt
r
,J
7t
7 t
5/
7 . 2r:os{32*:l:-,rosn
x
8 3 scrr :-, : 2 cos2
9. lan:u : - t,an2:r
t/)
:
t0 + <:os{(2t) (:s(:?(2t) cot.2(
11 . -
(?)
'l:os' - rsc'(?) *
6 : -l
t2 sen ?: : serr(2r)
1 'l
l:
-++s etr2r
sec-a-
14 . 4cosa(z' *;)
:.""
(;)
l5 2cor(2r)sen(2r) + Jcot(2r:) : g
16 3sen2r-5settr*2:0
t7
'""
(;)
+ r,6cos(á) : t

10. l:-15
B. Detennirre IR el c;onjunto
en
soluciónde cada ecr-ración
I
1
SCC T
2. sec2z-4:0
.1 ,
t.anzcsctr cscr :0
+
n
4-
2 t,an(r+ 2) - sec2(r* 2) : g
r_l_
3senr : 2cos2
r
6. 4sen.tcosf :3cosr
*
7. sen(2c)csc(2o.) 2sen(2 a ): 0
p
8. 2sen3,6+sen2 *2se¡' r, 6- I - 0
I
(tanz - 1)(2sen - n): 0
x
10 16cosaa 9:0
i i. 2senz*cosz,-7
2
12. L2c:os(20) 5cos(29)- 2 : 0
l3 cot2r+2csc2r-5:0
14. - cos2z:S senr - 13
lE
IJ-
lD-
t7
-5cos(2e) *4cosz:8
sen2z secs -l sec, _-- t¿rn
2
e
3 ta.nr - l.arr3
r
I -3tan2¡
- t.art r: 0
18 cos(2r) cos(4r) - -3
19. sen(2r) : r/3s"r,r
2A . 2se,r2r- 2cos2r - I :0
2 L.2<:os2r-3sen:::0
22 2:
v6sen%'+2

11. G ¡ á lic,r.s <J ftt n c:o n es t r igo rto nt é t:r i c a-s
e
i
t
)_'
Ejercicios
It
;)
í)
Gráfi cas de funcionestrigonorrlétricas
A. Dctermine arnpl
la
itud y el ámbitode lassiguientes
funciones1 . /:R -ft
5 f, IR- - -lR
" f('r) : -l *co sr
J' @) :- cosr *2
2. .f . R IR
.2
:;*
6. f ,lR ---'lR
(,)
.f :,""(i) _,
sen:i:
J r)
tt
3 J. , lR---IR
/-c
[(r' lo:.u,t f ,"t
-
.i)
6 ./ ,lR --' lR
4./:iR-'lQ
.JJ
7. f . IR lR
f (r): -4 s e n r
ta
f {,) - e-"o, ,_
(r" T)
/(r) -- -;*;senJ
Jil
B- Pat'¡rc¡}cl¿l
¡-lIl¿1de sigtricntcs furtciones,clet,erlnine pelioclo la
las
el
a¡rplii;trcl
de la orlt-l¿r ulr interr,alo qr-recottteugir r-rn
v
¡rerioclo completo de selo o c:osr3¡o
seglirr c,orresponcla
_
I l :[t*l R
5.J,¡ [3- - - IR
f ( ' ) : o. o, r r - + )
(
)
l ': R -- ¡g
:
./(:r,) *4 se n ¿ *3 7t
/:R --'R
,
ll
5
-n
J lx) : sen(_¿c +
3)
/:l R -*Ifr
r
f (.¡) :6,* cos
:
/(¿) _ cos _
(; T) .'_,
6.f , [t-*P
f (r): 9 J -Z s e n
(: 2
-
T)
/': R *- IR
f (.r): -r*" (í)
*2tr
/: IR -" lQ
.
/ '- r -
J @) : - 2c os lt + |) +2"

12. 2t).
G r á fi c ;ts d e lit n c i o n e.i f rrgr )i ¡{rri rer r,j.,-¿..:
C Deterrnine la arn¡:litud- el periodo, el tlesplazanrientocle fase y las intersec
ciones con los ejes de cada funciótr- -h'¿ir,etles onda.s conr¡rletas cle la gr-áfica
7 '{tF.-lR
I J',[R-IR
l ? ):2
| cu s(r
an)
f ( t) : - cos ( : - *) o t
¿ ,/
'1
2 . f ,l R -- IR
f {'): -3 co sz
8 "f' [R- lR
f ( 2) : - l + cos( 2r* r )
3 f ,lR.---'IR
f(t):-co sz*2
9. "f ,lR - ' lR
f ( t) :4cos2r
4. f ,lR --- IR
f (t) :2 co s(2 n r -t n)
10,/: IR---,
IR
5. I ,lR --, IR
f(r) :2 +2 co sr
II f :lR '* IR
l@' :2sc,, l3r - 1)
4/
6. f , iR -- IR
f (r : - sen(!l'
12. f : iR IR
: - 3cos ( r , - I
.f( ' )
t
2/
'
tl
f ( t) : - cos( 22 7i + T
+
a--

13. Frrll, iorle.s t rig,,¡¡ tn1¡'¡trr¿s rnr crs¿s
ft-i
Iijercicios 6.8. Funciones trigonor-néfricas irlversas
Calcule valor exacto de
el
l. s e n -l (;)
10. csc-t(.o.
2- s e n -t (-1)
Il. tan-t(t)
3- l .a n -l
.
(,""(+))
l2
sen(sen-t 0)
('"" (-;))
r3 ,u . ( r co s- ,( j) )
('""
(T))
I4
_l
4. S e n
_7
¡_ selr '
6 cos t(l)
7, cos
(-;))
1 5 . ,,or ( r ,,,r - ' ( t)-
'( -j
9. co { ,-I (,."
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17.
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18
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