Algebra Lineal

2. INTEGRANTES:
*Andrango Darío
*Melo Jennifer
*Mendez Emilia
*Montaluisa José
*Perez Daniel
*Ruíz David
GR-5 / Aula: 403
*FACULTAD: INGENIERÍA
ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
*

3. *PROPIEDADES DE LA TRANSPUESTA
TEOREMAS
Para todo A,B∈Mmxn:
(A+B)t = (A)t + (B)t
(At)t = A
Para todo A∈Mmxn , Para todo B∈Mnxp
(AB)t = Bt At
Para todo 𝛼 ∈K , Para todo A 𝛼 ∈Mmxn
(𝜶𝑨)t = 𝜶𝑨t

4. Matriz Idempotente
Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛
decimos que A es matriz idempotente
ssi A = A2 =A.A .
La idempotencia hace referencia a una
operación que, si se repite, produce el
mismo resultado que si se llevara a cabo
una sola vez.
Es decir An = A2 = A

5. Ejemplo:
𝑺𝒆𝒂 𝑨 =
𝒂 𝒂 − 𝒂 𝟐
𝒂 − 𝒂 𝟐 (𝟏 − 𝒂)
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝑨 𝟐
=
𝑎 𝑎 − 𝑎2
𝑎 − 𝑎2 1 − 𝑎
𝑎 𝑎 − 𝑎2
𝑎 − 𝑎2 1 − 𝑎
=
𝑎2 + 𝑎 − 𝑎2 𝑎 𝑎 − 𝑎2 + (1 − 𝑎)( 𝑎 − 𝑎2)
𝑎 𝑎 − 𝑎2 + (1 − 𝑎)( 𝑎 − 𝑎2) 𝑎 − 𝑎2 + 1 − 2𝑎 + 𝑎2
=
𝑎 𝑎 − 𝑎2
𝑎 − 𝑎2 1 − 𝑎
𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒏 = 𝑨 𝟐 = 𝑨

6. Matriz Involutiva
Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛
A es involutiva si A.A=1
Es decir 𝑨 𝟐
= 𝑰
El cuadrado de una matriz es igual a la
matriz identidad

7. Ejemplo 1:
𝐴 ∈ 𝑀2 A =
1 −1
0 −1
Para determinar si A es matriz involutiva,
multiplicamos 2 veces
A2=
1 −1
0 −1
1 −1
0 −1
A2=
1 0
0 1
=I

8. Ejemplo 2:
B∈ 𝑀3 B =
−1 −1 2
0 1 0
0 0 1
B2 =
−1 −1 2
0 1 0
0 0 1
−1 −1 2
0 1 0
0 0 1
B2 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

9. Matriz Nilpotente
Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛
decimos que 𝐴 es matriz NILPOTENTE de
orden k ,
siendo k el menor entero positivo tal que
𝑨 𝒌
= 𝟎

10. Ejemplo 1:
B ∈ M2 𝐵 =
6 −9
4 −6
B es matriz nilpotente de orden 2, 𝐵2 = 0
multiplicando dos veces la matriz B tenemos:
𝐵. 𝐵 =
6 −9
4 −6
6 −9
4 −6
=
36 − 36 −54 + 54
24 − 24 −36 + 36
𝐵2 =
0 0
0 0

11. Ejemplo 2:
𝐶 ∈ 𝑀3 𝐶 =
5 −3 2
15 −9 6
10 −6 4
C es matriz nilpotente de orden 2, 𝐶2
= 0
multiplicando dos veces la matriz C tenemos:
𝐶. 𝐶 =
5 −3 2
15 −9 6
10 −6 4
5 −3 2
15 −9 6
10 −6 4
=
25 − 45 + 20 −15 + 27 − 12 10 − 18 + 8
75 − 135 + 60 −45 + 81 − 36 30 − 54 + 24
50 − 90 + 40 −30 + 54 − 24 20 − 36 + 16
𝐶2
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0

12. Sean las matrices A,B ∈ Mnxn
AyB son conmutables ssi: AB = BA
*

13. Binomio de Newton
El teorema del binomio es una fórmula que
proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima
de n (siendo n, entero positivo) de un binomio.
(𝒂 + 𝒃) 𝒏=𝒂 𝒏+n𝒂 𝒏−𝟏b+
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐
𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐+
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐
𝒏(𝒏−𝟐)
𝟑
𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟑+....+𝒃 𝒏
Binomio de Newton

14. También tenemos la siguiente fórmula:
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑛
𝑟
𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!
(𝒂 ± 𝒃) 𝒏 =
𝒏
𝟎
𝒂 𝒏 ±
𝒏
𝟏
𝒂 𝒏−𝟏 𝒃 ±
𝒏
𝟐
𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 ± ⋯ ±
𝒏
𝒏
𝒃 𝒏

15. Ejemplo:
𝑥5
+ (5)𝑦5−1
(2𝑦)+
5(5−1)
2
𝑥5−2
(2𝑦)2
+
5(5−1)
2
∗
(5−2)
3
𝑥5−3
(2𝑦)3
Utilizando :
(𝒂 + 𝒃) 𝒏=𝒂 𝒏+n𝒂 𝒏−𝟏b+
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐
𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐+
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐
𝒏(𝒏−𝟐)
𝟑
𝒂 𝒏−𝟑 𝒃 𝟑+....+𝒃 𝒏
= 𝑥5 +10𝑥4 𝑦 + 40𝑥3 𝑦2 + 80𝑥2 𝑦3 + 80𝑥𝑦4 + 32𝑦5
+
5(5−1)
2
∗
(5−2)
3
∗
(5−3)
4
𝑥5−4
(2𝑦)4
+
5(5−1)
2
∗
5−2
3
∗
5−3
4
∗
5−4
5
(2𝑦)5
(𝒙 + 𝟐𝒚) 𝟓

16. Ejemplo
Utilizando :
5
0
𝑥5 +
5
1
𝑥4(2𝑦) +
5
2
𝑥3(2𝑦)2+
5
3
𝑥2(2𝑦)3+
5
4
𝑥(2𝑦)4+
5
5
(2𝑦)5
(𝒙 + 𝟐𝒚) 𝟓=
= 𝑥5
+10𝑥4
𝑦 + 40𝑥3
𝑦2
+ 80𝑥2
𝑦3
+ 80𝑥𝑦4
+ 32𝑦5
(𝒂 ± 𝒃) 𝒏 =
𝒏
𝟎
𝒂 𝒏 ±
𝒏
𝟏
𝒂 𝒏−𝟏 𝒃 ±
𝒏
𝟐
𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 ± ⋯ ±
𝒏
𝒏
𝒃 𝒏

17. *OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA
*Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
Notación: 𝑭𝒊 ← 𝜶𝑭𝒊, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝛂 ∈ ℝ − 𝟎
*Intercambiar de posición dos filas.
Notación: 𝑭𝒊 ↔ 𝑭𝒋, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐢. 𝐣 ∈ ℕ /𝐢 ≠ 𝐣
*Sumar a una fila y un múltiplo de otra.
Notación: 𝑭𝒊 ← 𝑭𝒊 − 𝜶𝑭𝒋, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝛂 ∈ ℝ − 𝟎 𝐲 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐢. 𝐣 ∈
ℕ /𝐢 ≠ 𝐣