Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL

2. • S es L.D si alguno de sus vectores es combinación lineal
de los otros.
• S es L.I cuando ninguno de sus vectores son
combinaciones lineales de los otros
L.D
L.I
SEA 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … 𝑢 𝑛
𝑆 = 2, −1, 1 , 1, 0, 1 , 3, −1,2
𝑆 = 1, 0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

3. Proceso para demostrar L.I ó
L.D
 1.Realizar la Combinación lineal Nula.
 2. Obtener el Sistema de ecuaciones
Homogéneo.
 3. Resolver el sistema de ecuaciones
homogéneo por Gauss o Gauss-Jordán.
∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄 → 𝑺 𝒆𝒔 𝑳. 𝑰.
∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄 → 𝑺 𝒆𝒔 𝑳. 𝑫.
𝟎𝒗 = 𝜶 𝟏 𝒖 𝟏 + 𝜶 𝟐 𝒖 𝟐 + 𝜶 𝟑 𝒖 𝟑 + ⋯ + 𝜶 𝒏 𝒖 𝒏
𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … 𝑢 𝑛

4. Ejemplos:
1.Verificar si S es L.D
𝑺 = 𝟏, −𝟑 ; −𝟐, 𝟔
𝜶 𝟏, −𝟑 + 𝜷 −𝟐, 𝟔 = 𝟎, 𝟎
𝑺. 𝑬
𝜶 − 𝟐𝜷 = 𝟎
−𝟑𝜶 + 𝟔𝜷 = 𝟎
𝟏 −𝟐
−𝟑 𝟔
𝟎
𝟎
~
f2 ← f2 + 3f1
𝟏 −𝟐
𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
∴ ∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
𝒔𝒊 𝑨 = 𝟎 → ∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄

5. 2.Verificar si S es L.I
𝑺 = 𝟐, 𝟎 ; 𝟏, 𝟏
𝜶 𝟐, 𝟎 + 𝜷 𝟏, 𝟏 = 𝟎, 𝟎
𝑺. 𝑬
𝟐𝜶 + 𝜷 = 𝟎
𝟎𝜶 + 𝜷 = 𝟎
𝟐 𝟏
𝟎 𝟏
𝟎
𝟎
~
f1 ← f1 − f2
𝟐 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
𝟎
~
f1 ← f1
1
2
𝟐 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
𝟎 ∴ ∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
𝒔𝒊 𝑨 ≠ 𝟎 → ∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄

6. CONJUNTO GENERADOR
Sean (V, K, +,*) unespacio vectorial, S  V,
S={s1; s2; s3…..sn}, u ∈ V
Si u=αs1+ βs2+ γs3, entoncesS es conjunto generador de W
S genera W
<S>=W

7. Pasos para hallar el conjunto generador S
1. Hallar las restricciones
2. Reemplazar las restricciones
3. Contar el número de variables involucradas
4. Descomponer en suma de vectores
5. Extraer los escalares mediante factor común
6. Escribir el conjunto generador

8. Ejercicio 1
 Calcular el conjunto generador de:
𝑾 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝒛
𝑾 = 𝒙, 𝟐𝒙 − 𝒛, 𝒛 𝒙 ∧ 𝒛 ∈ ℝ
𝑾 = 𝒙, 𝟐𝒙, 𝟎 + 𝟎, −𝒛, 𝒛 𝒙 ∧ 𝒛 ∈ ℝ
𝑾 = 𝒙 𝟏, 𝟐, 𝟎 + 𝒛 𝟎, −𝟏, 𝟏 𝒙 ∧ 𝒛 ∈ ℝ

9. 𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟎 , 𝟎, −𝟏, 𝟏
<S> = W
S genera a W

10. Ejemplo 2
Dado 𝑾 =
𝒂 𝒃
𝒄 𝒅
𝒂 , 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ
1. Hallar las restricciones
En éste caso, las restricciones son: a, b,
c, d
2, Reemplazar las restricciones
𝑾 =
𝒂 𝒃
𝒄 𝒅
𝒂 , 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ
3. Contar el número de variables
involucradas
Existen cuatro variables involucradas,

11. 4. Descomponer en suma de vectores
El numero de vectores depende de las variables
involucradas
𝑾 =
𝒂 𝟎
𝟎 𝟎
+
𝟎 𝒃
𝟎 𝟎
+
𝟎 𝟎
𝒄 𝟎
+
𝟎 𝟎
𝟎 𝒅
𝒂 , 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ
5. Extraer los vectores mediante factor común ( El factor
común son las variables involucradas)
𝑾
= 𝒂
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
+ 𝒃
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
+ 𝒄
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
+ 𝒅
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
𝒂 , 𝒃, 𝒄, 𝒅

12. 6. Escribir el Conjunto Generador
S=
𝟏 𝟎
𝟎 𝟎
,
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
,
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎
,
𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
S genera a W
< 𝑺 > = 𝑾

13. Ejemplo 3
Dada W= { 𝐚 + 𝐛𝐱 + 𝐜𝒙 𝟐
/ a= 2b – 3c}
1. Hallar las restricciones: a= 2b – 3c
2. Reemplazamos la restricción :
W= { 2b − 3c + bx + cx2 ∕ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ℝ}
3. Contar el número de variables involucradas
4. Descomponer en suma de vectores
𝑊 = 2𝑏 + 𝑏𝑥 + 0 + −3𝑐 + 0 + 𝑐𝑥2
∕ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ℝ
5. Extraer los vectores:
𝑊 = 𝑏 2 + 𝑥 + 0 + 𝑐 −3 + 0 + x2 ∕ 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ ℝ
6. Escribir el conjunto generador :
𝑆 = 𝑥 + 2 ; 𝑥2 − 3
S genera a W
< 𝑺 > = 𝑾