Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando Microsoft Excel

1. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES CON
MICROSOFT EXCEL
ING. IVÁN COLLANTES VÁSCONEZ
DOCENTE EN ESPE-EL
Abril de 2013.

2. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, MÉTODOS DE RESOLUCIÓN,
REDUCCIÓN, IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN Y MATRIZ INVERSA
Muchas aplicaciones de las matemáticas en las diferentes ingenierías implican más de una ecuación con
varias incógnitas. Un conjunto de estas ecuaciones constituye un sistema. El conjunto de soluciones o
conjunto solución de un sistema de ecuaciones consiste en hallar todas las soluciones comunes a las
ecuaciones del sistema.
a1 x + b1 y = c1
Puede representarse como 
a 2 x + b2 y = c 2
Que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuyo conjunto de soluciones es el punto de
intersección entre las dos rectas, así:
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3. Como el sistema es de tipo lineal, el conjunto solución es unitario y es el punto de intersección entre las
rectas, sea que existan dos o más líneas.
En el caso del ejemplo, el número de incógnitas es 2, por lo que el conjunto de soluciones será el punto de
coordenadas (x, y), es decir que el conjunto solución del sistema tiene un solo elemento, un punto, así:
C.S. = { (x, y ) }
De no existir un punto de intersección entre todas las rectas que conforman el sistema se dice que dicho
sistema es inconsistente. Y si las rectas se sobreponen entre sí, entonces se trata de un sistema
dependiente.
El número de ecuaciones no necesariamente debe ser igual al número de incógnitas, pero todas las rectas
deben tener un punto de intersección, caso contrario se tratará de un sistema inconsistente.
Así por ejemplo:
1) Determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente:
4 x − y = 1

2 x + y = 5
5 x − 2 y = −3

Si existe un punto de intersección entre las 3 rectas entonces el sistema será consistente, pero si no
hay un solo punto de intersección, entonces el sistema es inconsistente.
Podemos resolver el sistema tomando pares de ecuaciones y obteniendo los puntos de intersección
entre las tres rectas:
4x − y = 1
(sumando las primeras dos ecuaciones)
2x + y = 5
6x =6
∴ x =1
y=3 el primer punto de intersección es (1, 3)
Otro par de ecuaciones nos da el segundo punto de intersección, de ser igual al primero será un
sistema consistente, caso contrario será inconsistente:
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4. 2 x + y = 5 → (2 ) → 4 x + 2 y = 10 (para eliminar la variable “y”)
5 x − 2 y = −3 → 5 x − 2 y = −3
9x =7
∴ x=
7
9
31
y=
9
 7 31 
P= .  Este punto es diferente del anterior, por lo tanto el
9 9 
sistema es inconsistente.
Geométricamente puede entenderse que las 3 rectas no tienen un solo punto común sino que forman un
triángulo, como se indica en la siguiente gráfica:
2) Indique si el siguiente sistema es consistente o inconsistente:
2 x − 5 y = 4

3x − 2 y = −5
3x − 4 y = −1

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3

5. 2 x − 5 y = 4 → (2) → 4 x − 10 y = 8
3x − 2 y = −5 → (− 5) → − 15 x + 10 y = 25
− 11x = 33
∴ x = −3
y = −2 (
Primer punto de intersección: − 3, −2 )
2 x − 5 y = 4 → (4) → 8 x − 20 y = 16
3 x − 4 y = −1 → (− 5) → − 15 x + 20 y = 5
− 7x = 21
∴ x = −3
y = −2 Segundo punto de intersección: (− 3, −2)
No hace falta un tercer punto de intersección pues el sistema es consistente y el conjunto solución
es el punto común: (
− 3, −2 )
Geométricamente se verifica:
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6. 3) Obtenga el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:
5 x + 2 y = 6

10 x + 4 y = −7
a
En la ecuación de la recta ax + by = c la pendiente está dada por m = −
b
Si dos o más rectas tienen la misma pendiente significa que son paralelas y no tienen punto de
intersección, por lo tanto su conjunto solución es vacío y el sistema también es inconsistente.
En este ejemplo las pendientes son iguales, por lo tanto las rectas son paralelas y el sistema es
inconsistente:
5
5 x + 2 y = 15 → m1 = −
2
10 5
10 x + 4 y = −7 → m2 = − =−
4 2
∴ C.S.= Ø
2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE
MATRIZ INVERSA UTILIZANDO EXCEL
Una forma sencilla de resolver un sistema de ecuaciones con igual número de incógnitas es
matricialmente.
a1 x + b1 y + c1 z = d1

En el sistema a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2
a x + b y + c z = d
 3 3 3 3
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5

7. −1
 x  a1 b1 c1  d1 
 y  = a b c  d 
se cumple    2 2 2  2
 z  a b c 
   3 3 3 d 3 
 
 
En donde la matriz resultante o de soluciones es de orden n × 1 (n filas y una sola columna) siendo n el
número de ecuaciones o el número de incógnitas.
Actualmente resulta muy simple obtener la inversa de una matriz de orden n × n ya sea en una calculadora
o en un programa de computadora, por lo que resolver un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas, o
más, resulta sumamente fácil si se aplica la siguiente fórmula:
[R] = [k ]
−1
[t ]
[k ]
−1
En donde es la matriz inversa de los coeficientes ordenados de cada una de las variables,
[t ] es la matriz de orden n × 1 de los términos independientes,
[R] es la matriz resultante o conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones.
Debe tenerse en cuenta las propiedades de las matrices, es decir si se va a multiplicar una matriz por otra
debe tenerse cuidado de cual va primero, pues no se cumple la propiedad conmutativa.
En la hoja electrónica Excel es sencillo calcular la inversa de una matriz de cualquier orden y también
multiplicar dos matrices o más.
Si se siguen estas indicaciones pueden resolverse sistemas lineales de cualquier orden:
1) Formar las matrices necesarias colocando en cada celda el valor correspondiente a los coeficientes
y términos independientes.
2) Marcar todas las celdas donde se desea obtener la matriz resultante (recuerde que es de orden
n × 1 ).
3) Ingresar el comando para Excel en la primera de las celdas previamente marcadas donde se desea
que aparezca la matriz resultante:
=MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)
4) Combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER
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8. Recuerde que dependiendo de la versión de Excel debe usarse coma (,) o punto y coma (;) en la
programación de la matriz.
La selección de la matriz se la realiza arrastrando el ratón o seleccionando con los cursores hasta obtener
en la codificación el dato A1:C3 y E1:E3
Es totalmente imprescindible que para obtener la respuesta se combinen las teclas SHIFT CTRL ENTER
ya que si solo se pulsa ENTER ( ↵ ) la respuesta es errónea.
Intente resolver el siguiente sistema utilizando Excel:
4 x − 2 y − 3 z = 8

5 x + 3 y − 4 z = 4
6 x − 4 y − 5 z = 12

Las matrices a ingresar en Excel son:
4 −2 − 3
5 3 − 4 que es la matriz [k ] (todavía no es la inversa)
 
6
 −4 − 5

8 
4 
 
12
 
−1
4 −2 − 3 8   x 
Aplicando la fórmula tenemos: 5 3 − 4 4  =  y 
     
6
 −4 − 5
 12  z 
   
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9. Esto es lo que vamos a calcular en Excel en la zona seleccionada (celdas G5, G6, G7):
Ingresamos el comando =MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)
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10. Y finalmente combinamos las teclas SHIFT CTRL ENTER:
 x = 3
Que es la solución del sistema dado en forma de matriz:  y = −1 
 
 z = 2
 
Demás está decir que si sólo se quiere calcular una matriz inversa basta con digitar:
=MINVERSA(seleccionar la matriz)
e inmediatamente combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER en las celdas previamente marcadas.
Ahora resuelva en Excel el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 x + y − z = −1

4 x − 3 y + 2 z = 16
2 x − 2 y − 3 z = 5

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