Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker y LaGrange

1. Arturo Jaimez
C.I: 18.483.090

2. Esquema
definiciones de los métodos,
 diferencias
 aplicaciones.


3. Método de LaGrange.
Joseph
Louis
LaGrange,
bautizado
como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también
llamado
Giuseppe
Luigi
Lagrangia
o
LaGrange
(25
de
enero de 1736 en Turín - 10 de
abril de 1813 en París)
 Fue un matemático, físico y astrónomo italiano
que después vivió en Rusia y Francia.
LaGrange trabajó para Federico II de
Prusia, en Berlín, durante veinte años.
LaGrange demostró el teorema del valor
medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y
tuvo una importante contribución en astronomía.


4. Definición
En los problemas de optimización, los
multiplicadores de LaGrange, son un método
para trabajar con funciones de varias
variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas
restricciones.

5. 
Este método reduce el problema
restringido en n variables en uno sin
restricciones de n + 1 variables cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas. Este
método introduce una nueva variable
escalar desconocida, el multiplicador de
LaGrange, para cada restricción y forma
una combinación lineal involucrando los
multiplicadores como coeficientes.

6. 
Su demostración involucra derivadas
parciales, o bien usando diferenciales
totales, o sus parientes cercanos, la
regla de la cadena. El fin es, usando
alguna función implícita, encontrar las
condiciones para que la derivada con
respecto a las variables independientes
de una función sea igual a cero.

7. 
Este método introduce una nueva variable
escalar desconocida, el multiplicador de
LaGrange, para cada restricción y forma una
combinación
lineal
involucrando
los
multiplicadores
como
coeficientes.
Su
demostración involucra derivadas parciales, o
bien usando diferenciales totales, o sus
parientes cercanos, la regla de la cadena. El
fin
es,
usando
alguna
función
implícita, encontrar las condiciones para que
la derivada con respecto a las variables
independientes de una función sea igual a
cero.

8. Cuando son útiles.
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es
el de encontrar máximos o mínimos (en general,
"extremos") de una función, pero a menudo es difícil
encontrar una forma cerrada para la función que se
está extremized. Estas dificultades surgen a menudo
cuando se desea maximizar o minimizar una función
sujeta
a
condiciones
exteriores
fijos
o
restricciones. El método de los multiplicadores de
LaGrange es una herramienta poderosa para
resolver esta clase de problemas sin la necesidad de
resolver explícitamente las condiciones y los utilizan
para eliminar las variables adicionales.

9. 
Para decirlo más sencillamente, no es por lo general
suficiente para preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el
aluminio necesario para hacer esta lata?" (La respuesta
a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño
puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo
minimizar el aluminio mientras se asegura la lata
celebrará 10 onzas de sopa ? " O del mismo
modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi
fábrica dado que sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para
tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto tarda en
llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se
mantiene en el camino ? " En general, los
multiplicadores de LaGrange son útiles cuando algunas
de las variables en la descripción más sencilla de un
problema son despedidos por las restricciones.

10. Las dos áreas mas
importantes donde se aplica
este método.
Economía:

La optimización reprimida desempeña un papel
central en la economía. Por ejemplo, el problema
selecto para un consumidor se representa como
uno de maximizar una función de utilidad sujeta a
una coacción de presupuesto . El multiplicador
LaGrange tiene una interpretación económica como
el precio de la oposición asociado con la coacción,
en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos .
Otros ejemplos incluyen la maximización de la
ganancia
para una firma, junto con varias
aplicaciones macro-económicas.

11. 
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los
multiplicadores
de
LaGrange
se
interpretan como constates variables, y
los multiplicadores de LaGrange se
formulan
de
nuevo
como
la
minimización del hamiltoniano , en el
principio mínimo de Pontryagin.

12. Objetivos





Ø Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas
de nivel para distintos valores de la variable z.
Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos
(x,y) sobre la curva correspondiente a la función
restricción donde la función principal tiene extremos.
Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos
empleando el método de multiplicadores de
LaGrange.
Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de
la observación en el simulador, de las curvas de
nivel de la función principal y la curva
correspondiente a la función condicionante.
Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas
de optimización en un ambiente computacional.

13. Método de Kuhn Tucker.
Albert
William
Tucker
(28
de
noviembre de 1905 – 25 de
enero
de
1995)
fue
un matemático estadounidense nacido
en Canadá que realizó importantes
contribuciones a la Topología, Teoría de
juegos y a la Programación no lineal.

14. Definición.
En
programación
matemática, las condiciones de KarushKuhn-Tucker (también conocidas como
las condiciones KKT o Kuhn-Tucker)
son
condiciones
necesarias
y
suficientes para que la solución de un
problema de programación matemática
sea óptima. Es una generalización del
método de los Multiplicadores de
LaGrange
para
restricciones
de
desigualdad

15. Importancia.

La importancia de este teorema radica
en que nos dice que podemos asociar
una función de utilidad a unas
preferencias, esto nos abre la puerta de
la potente herramienta del análisis
matemático
al
estudio
del
comportamiento del consumidor.

16. CAMPO DE APLICACIÓN.

Básicamente el procedimiento consiste en
resolver el problema no lineal como uno sin
restricciones, luego si la solución óptima de dicho
problema no cumple la totalidad o parte de las
restricciones del problema se activan dichas
restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y
se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta
llegar a un conjunto de restricciones activas cuya
solución también satisface las restricciones
omitidas.

17. 
Notar que si se han activado la totalidad
de restricciones sin encontrar una
solución factible, entonces el problema
es infectable. Esta característica
particular de los modelos no lineales
permite abordar problemas donde
existen economías o de economías de
escala o en general donde los
supuestos
asociados
a
la
proporcionalidad no se cumplen.

18. Ejemplo

21. 
Observamos que las tablas para
minimización y para maximización son
idénticas salvo que los valores de los
multiplicadores están cambiados de
signo.
Por
tanto,
la
estrategia
conveniente para optimizar una función
sujeta a restricciones de desigualdad
por el método de las condiciones de
KKT será:

22. 1.
2.
3.
4.
5.
Plantear el problema como si se tratara solo
de minimización y resolver el sistema de
ecuaciones correspondientes.
Eliminar aquellos puntos encontrados que no
satisfacen las restricciones gi ≤ 0.
Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez
multiplicadores positivos y negativos.
Para minimización: escoger dentro de
aquellos puntos que Tienen multiplicadores no
negativos aquél que tienen la menor
evaluación de la función objetivo.
Para maximización: escoger dentro de
aquellos puntos que tienen multiplicadores no
positivos aquél que tienen la mayor
evaluación de la función objetivo.