1. 3. Distribuciones de variables aleatorias (8/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
Probabilidades y Estadística I

2. 3. Distribuciones de variables aleatorias (9/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: origen de f(x)
Histograma para 20 clases Histograma para 50 clases
400 200
160
300
120
200
80
100 40
0 0
-5 -3 -1 1 3 5 7 -5 -3 -1 1 3 5 7
Probabilidades y Estadística I

3. 3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13)
Variable aleatoria continua
a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO
X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1]
3
2,5
42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1 2
f(x) = 1,5
0 en otro caso 1
0,5
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
0.3
P(0.2 < X < 0.3) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx
0.2
Probabilidades y Estadística I

4. 3. Distribuciones de variables aleatorias (11/13)
Variable aleatoria continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua)
PROPIEDADES
Probabilidades y Estadística I

5. 3. Distribuciones de variables aleatorias (12/13)
Variable aleatoria continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x) PROPIEDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x)
Probabilidades y Estadística I

6. 3. Distribuciones de variables aleatorias (13/13)
Variable aleatoria continua
b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
1
0.2
P(X < 0.2) = ∫ 42 x (1 - x) 5 dx 0,8
−∞
0,6
=
0,4
P(X ≤ 0.2) = F(2) 0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
0 x <0
F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 1
1 x ≥1
Probabilidades y Estadística I

7. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Tchebychev
Probabilidades y Estadística I

8. 4. Medidas características de una v.a. (1/4)
Esperanza matemática (definición)
(caso discreto) E[X ]
= ∑ xp( x)
= µ
x
(caso discreto) E[X ]
= ∫=
xf ( x)dx µ
RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
k
X = ∑ fi x 'i
i =1
PROPIEDAD E [ aX + b ] aE [ X ] + b
=
Probabilidades y Estadística I

9. 4. Medidas características de una v.a. (2/4)
Varianza (definición)
(caso discreto) Var [ X ] = ( x − µ ) 2 p ( x) =
∑ σ2
x
(caso discreto) Var [ X ] = ) 2 f ( x)dx =
∫ (x − µ σ2
PROPIEDAD Var [ aX + b ] =Var [ X ]
a2
Probabilidades y Estadística I

10. 4. Medidas características de una v.a. (3/4)
Mediana F(x) = ½
Moda Max f (x)
Percentiles F(x) = i/100
Cuartiles F(x) = i/4
GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Probabilidades y Estadística I

11. 4. Medidas características de una v.a. (4/4)
Momento centrado en el origen
Caso especial
αr = E  X r 
  = E[X ] µ
α1 =
Momento centrado en la media
Caso especial
= E ( X − µ ) 
µr
r
  µ2 = E ( X − µ ) 2  = Var [ X ] = σ 2
 
µ2 α 2 − α12
=
Probabilidades y Estadística I

12. Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
4. Medidas características de una variable aleatoria
5. Desigualdad de Tchebychev
Probabilidades y Estadística I

13. 5. Relaciones entre media y varianza
Desigualdad de Tchebychev
P ( X − µ > kσ ) ≤ 2 ⇔ P ( X − µ ≤ kσ ) > 1 − 2
1 1
k k
1
P ( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ ) > 1 − 2
k
Normalización de una v.a
X −µ
σ
Probabilidades y Estadística I