Tema2

TEMA 2

Medidas características de una
distribución de frecuencias

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Introducción

2. Medidas de Centralización

3. Medidas de Dispersión

4. Medidas de Forma

5. Medidas de Relación

6. Representaciones gráficas. Diagrama de caja

7. Transformaciones de datos

1. Introducción (1/2)

OBJETIVO

Resumir las características más importantes de los datos en un
conjunto reducido de números.

Centralización Uniformidad C ∈
R

Dispersión Particularidad D ∈R


Forma Simetrías/concentración F ∈R


Relación Relación entre variables R ∈R



1. Introducción (2/2)

Datos
ENUNCIADOS GENERALES explícitos

Sea x1, x2, ...., xn un conjunto de n datos Datos
implícitos
ó
Sea X una variable estadística y sean x1’,x2’,...,xk’ sus modalidades
(valores diferentes o marcas de clase).

- Distribución de frecuencias absolutas: {ni }i =1,...k

- Distribución de frecuencias relativas: { f i }i =1,..., k

- Distribución de frecuencias absolutas acumuladas: {N i }i =1,...k

- Distribución de frecuencias absolutas relativas: {Fi }i =1,...k

2. Medidas de centralización (1/15)

Una forma de representar de forma sintética (agregada) la información contenida
en una serie numérica

¿Cuál es el centro de los datos?

Criterio Medida Uso

Repeticiones Moda Medidas nominales

Orden Mediana Medidas ordinales

Valor numérico Media Medidas de intervalo



Datos
Moda (idea intuitiva) explícitos

2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 Mo= 9

2, 5, 7, 9, 10, 11, 12 Mo no existe

2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Mo= 4 y 7 (bimodal)



Datos
Moda (idea intuitiva) implícitos

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 1 2 3 4
Mo



Moda (definición formal)

Sea X una variable estadística y {x’1,x’2,...,x’k} el conjunto finito de
modalidades. Sea {n1,n2,...,nk} su distribución de frecuencias absolutas y
{f1,f2,.…,fk} su distribución de frecuencias relativas.

Se dice que x’p es la moda de la serie cuando

np= max {n1,n2,...nk}

fp= max {f1,f2,.…,fk}



(características) Plurimodalidad
Moda

18
15
12
9
6
3
0
0 1 2 3 4

Unimodal



Datos
Mediana (idea intuitiva) explícitos

Es el valor que deja a cada lado el 50% de los datos en la serie ordenada

7 datos 3, 4, 5, 6, 8, 8, 10 M=6

8 datos 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 10 M = 5.5

8 datos 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 10 M=5



Datos
Mediana (idea intuitiva) implícitos

1

0.8

0.6
0.5
0.4

0.2

M
4 5 6 7 8 9



Datos
Mediana (definición formal) explícitos

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos y sea x(1) ≤ x(2) ....≤ x(k) la serie ordenada
de menor a mayor.

 n +1
 x ( j) si =j
 2
M=
 x( j) + x( j+1) si j < n +1 < j + 1

 2 2
Datos
implícitos

Sea X una variable estadística y F(x) su función acumulativa de frecuencias
relativas. Se define la mediana como la solución de la siguiente ecuación
funcional
F(x) = ½


Mediana (características)

Es poco sensible a asimetrías

M M



Mediana (características)

Es insensible a valores atípicos

M M



Media aritmética (idea intuitiva)

Centro de gravedad de los datos



Datos
Media aritmética (definición) explícitos

x1 + x 2 + .... + x n
n

k

k ∑ n x' i i
Datos

X = ∑ f i x' i = i =1 implícitos
i =1 n



Media aritmética (características)

Cuanto más asimétrica sea más se desplaza la media hacia la cola




Es muy sensible a valores atípicos




Es un operador lineal (equivale a la regla de tres)

a X + bY = a X + bY


3. Medidas de dispersión (1/11)

MOTIVACIÓN



Una forma de representar cuánto discrepan los valores de una serie de datos

¿cuánto se alejan de lo uniforme los valores de una serie ?

Criterio Medida Uso

Discrepancia Rango Medidas nominales

Orden Cuartiles/
Medidas ordinales
Percentiles
Distancia media Varianza/
Medidas de intervalo
a la media Desviación típica



Rango (idea intuitiva)

Rango 1 Rango 2



Rango (definición formal)

modalidades. Sea {n1,n2,...,nk} su distribución de frecuencias absolutas y
{f1,f2,.…,fk} su distribución de frecuencias relativas.

Rg X = Max X − Min X = x’k − x’1



Cuartiles (idea intuitiva)

Son los valores que dividen la muestra en 4 grupos, cada uno con el 25% de los datos
(aproximadamente)

25% 25% 25% 25% 25% 25% 25% 25%

min Q1 Q2 Q3 max min Q1 Q2 Q3 max

Rango intercuartílico Probabilidades y Estadística I


Datos
Cuartiles (definición formal) explícitos

de menor a mayor.
 i
 x ( j ) si j = (n + 1)
 4
Qi = 
 x ( j ) + x ( j +1) si j < i (n + 1) < j + 1

 2 4
Datos
implícitos

relativas. Se define Qi como la solución de la siguiente ecuación funcional

F(x) = i/4


Percentiles (definición intuitiva)

Son los valores que dividen la muestra en 100 grupos, cada uno con el 1% de los datos
(aproximadamente)

min P25 P50 P75 max
Q1 Q2 Q3


Datos
Percentiles (definición formal) explícitos

de menor a mayor.
 i
x( j=
 ) si j (n + 1)
 100
Pi = 
 x ( j ) + x ( j +1) si j < i (n + 1) < j + 1

 2 100
Datos
implícitos

relativas. Se define Qi como la solución de la siguiente ecuación funcional

F(x) = i/100


Datos
Varianza (definición formal) explícitos

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos

( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + .... + ( xn − x ) 2
σ =
2

n
Datos
implícitos

modalidades. Sea {f1,f2,.…,fk} su distribución de frecuencias relativas.

k
Var X = ∑ f i ( x' i − x )
2

i =1



Desviación típica (definición formal)

k
σ =+ ∑ f i (x' i − x )
2

i =1 Detectar
datos
atípicos

( x − 2σ , x + 2σ ) contiene el 75% de los datos

( x − 3σ , x + 3σ ) contiene el 89% de los datos



Varianza (propiedades)

Es un operador cuadrático (Teorema de Pitágoras)

Var (aX+b)= a2Var(X)

COMPARACIÓN DE DISPERSIONES (Coeficiente de variación)

σ
CV =
x


4. Medidas de forma (1/6)

Una forma de valorar cuantitativamente la forma del perfil de una distribución de
frecuencias

¿qué valores de una distribución pueden considerarse atípicos?

Gráfico Criterio Medida

Simetría Coeficiente
de Fisher

Apuntamiento Curtosis



Momento centrado en el origen (definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos, se denomina momento centrado en el
origen de orden r, y se representa por ar, a la siguiente expresión algebraica:

x1 + x 2r + .... + x nr
r
ar =
n

Momento centrado en la media (definición formal)

Sea x1, x2, ...., xn una serie de datos, se denomina momento centrado en el
origen de orden r, y se representa por ar, a la siguiente expresión algebraica:

(x1 − x ) r + (x 2 − x ) r + .... + (x n − x ) r
mr =
n


Momentos (propiedades)

a1 = x

m1= 0
m2 = Var (X)

2
n
 n 
∑=i 1 x i
xi  ∑
2

Var (X) = m2 = a2 – a12 Var(X) i 1 − 
==

n  n 
 
 



Coef. de Fisher (definición formal)

n

m3 ∑ (x i − x)3
γ= = i =1
σ nσ 3
1 3

γ1 < 0 γ1 =0 γ1 > 0



Curtosis (definición formal)

n

m4 ∑ (x i − x) 4
γ2
= −3
= i =1
−3
σ4 nσ 4

γ2 < 0 γ2 =0 γ2 > 0



Datos atípicos

No atípico Atípico


5. Medidas de relación (1/5)

Una forma de valorar cuantitativamente la relación lineal entre dos variables

Eliminar información redundante. Establecer causalidades



Momento centrado en el origen (definición formal)

Sea (x1,y1), (x2,y2),...., (xn,yn) una serie de datos bidimensionales que definen la
variable estadística bidimensional (X, Y).

x1 y1 + x2 y2 + .... + xn yn
r h r h r h
arh =
n

Momento centrado en la media (definición formal)

Sea (x1,y1), (x2,y2),...., (xn,yn) una serie de datos bidimensionales que definen la
variable estadística bidimensional (X, Y).

(x1 − X )r (y1 − Y )h + (x2 − X )r (y2 − Y )h + .... + (xn − X )r (yn − Y )h
mr ,h =
n


Momentos bid. (interrelaciones)

COVARIANZA



Covarianza

Cov (X, Y) = m11

DEPENDE DE LA MAGNITUD



Coeficiente de correlación (covarianza normalizada)

cov( X ,Y )
ρ x ,y = −1 ≤ ρ x ,y ≤ 1
σ xσ y

Y Y Y Y

X X X X
ρ x ,y = −1 −1 < ρ x ,y < 0 ρ x ,y = 0
Y
Y

X X
0 < ρ x ,y < 1 ρ x ,y = 1

6. Representaciones gráficas (1/5)

Diagrama de caja (idea intuitiva)

Representación gráfica de los cuartiles, de la simetría de la distribución
y datos atípicos



Diagrama de caja (construcción)

Paso 1

Q1 Q2 Q3




Paso 2 3×RI 3×RI

1.5×RI RI 1.5×RI

Barrera Barrera Q1 Q2 Q3 Barrera Barrera
externa interna interna externa




Paso 2 3×RI 3×RI

1.5×RI RI 1.5×RI





Paso 3 3×RI 3×RI

1.5×RI RI 1.5×RI



Ejercicio test anteriores


Ejercicio test anteriores

a) La distribución es asimétrica a la izquierda y mesocúrtica.
b) La distribución es asimétrica a la izquierda y leptocúrtica.

c) La distribución es asimétrica a la derecha y platicúrtica.


7. Trasformación de datos (1/4)

Una forma de conseguir distribuciones simétricas y unimodales

¿Qué se hace con los datos atípicos?



Asimetría positiva Y = Log (X)



Asimetría positiva Y= X



Asimetría negativa Y= X2


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