Tema 6 ud3

TEMA 6
Variables aleatorias discretas
Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Proceso de Bernoulli
3. Distribución Binomial
4. Distribución Geométrica
5. Distribución Binomial Negativa.
6. Distribución de Poisson6. Distribución de Poisson

1. Introducción (1/4)
Ej. Tema 4

Experimento aleatorio:
Ai = “se avería" p(Ai) = 0,01
p
ver si la componente i
se avería antes de 100 h Ai = "no se avería" p(Ai) = 0,99
Si realizamos n = 50 pruebas (observamos 50 componentes), la probabilidad de obtener
r = 1 éxito (falla sólo una componente) es:r 1 éxito (falla sólo una componente) es:
B = A1  A2  ……….. A49  A50
1 49
( ) 0,01 0,99P B  B A1  A2  ……….. A49  A50
50 
( ) 0,01 0,99P B 
50 
Formas de obtener 1 éxito: =
50
1
 
 
 
1 49
1
50
( ) 0,01 0,99
1
P B
 
   
 

Si realizamos n = 50 pruebas (observamos 50 componentes), la probabilidad de obtener
r = 2 éxitos (falla sólo una componente) es:r 2 éxitos (falla sólo una componente) es:
B = A1  A2  A3…… A49  A50
2 48
( ) 0,01 0,99P B  
50  2 4850
( ) 0 01 0 99P B
 
 Formas de obtener 2 éxitos: =
50
2
 
 
 
2 48
2( ) 0,01 0,99
2
P B
 
   
 

X  “nº de componentes que se averían de las 50” Rg X = {0, 1, 2,…50}
1 4950
( 1) 0,01 0,99
1
P X
 
    
 
2 4850
( 2) 0,01 0,99
2
P X
 
    
 1  2 
Si realizamos n pruebas (observamos n componentes), la probabilidad de obtener
r = k éxitos (fallan sólo una componente) es:
k kn 
X  “nº de componentes que se averían de las n” Rg X = {0, 1, 2,…n}
( ) (1 )k n kn
P X k p p
k
 
     
 

Esquema inicial
1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción
3. Distribución3. Distribución BinomialBinomial
4. Distribución Geométrica4. Distribución Geométrica
5. Distribución5. Distribución BinomialBinomial Negativa.Negativa.
6. Distribución de6. Distribución de PoissonPoisson6. Distribución de6. Distribución de PoissonPoisson

DEFINICIÓN
El experimento aleatorio más sencillo (binario). Sólo tiene dos resultados:
A A
1 i A1 si ocurre
0 si ocurre
A
X
A

 

   1 0 1P X p P X q p     
Variable aleatoria asociada Función de probabilidad

Esquema inicial
2. Proceso de2. Proceso de BernoulliBernoulli
3. Distribución Binomial

3. Distribución Binomial (1/6)
¿Cuántas caras se obtienen en 50 lanzamientos?¿Cuántas caras se obtienen en 50 lanzamientos?

GÉNESIS
 Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar n pruebas de Bernoulli independientes.
 Variable aleatoria
X  “nº de veces que aparece A en las n pruebas” Rango de X ={0,1,2….,n}.

GÉNESIS
 Espacio probabilístico asociadoEspacio probabilístico asociado
1 1 2 1 1 1[ ] [( ) ( ) ]
[ ] [ ]
x x x n x x x nP X x P A A A A A A A A A A
P A A A A A P A A A A A A
     
   
         
            
 
1 2 1 1 1 1 2
1 1
[ ] [ ]
..
k x n x x x x n
x n x x n x x n x
x n xx n x
P A A A A A P A A A A A A
n
pp p qq q p p qp q q p q p q p q
x
   
  
  
   
 
         
 
          
    
 

FICHA TÉCNICA ( , )X n p
0,1,2, ,
( )
x n xn
p q x n 
 
 

) F ió d b bilid d ( )
0 en el resto
p x x
   


a) Función de probabilidad
b) Función de distribución
0 0
( ) 1 ( 0,..., 1)
k
i n i
x
n
F x p q k x k k n
i



 
       
 
0
1
i i
x n
  
 

c) Esperanza  E X n p  d) Varianza  Var X n p q  

GRÁFICAS
p(x) p(x)
X Xn=10 p=0.1 n=10 p=0.5
p(x) p(x)
n=50 p=0 1 X Xn=50 p=0 5
n=50 p=0.1 X Xn=50 p=0.5

EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el
número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada
20 personas que recibe la llamada se suma al club En un día cualquiera de trabajo se realizan20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan
25 llamadas de forma independiente.
a)¿Cuál es la probabilidad de que se una ese día dos personas al club?
b)Determinar el número de persona que se espera que se sumen al club un día cualquiera.

Esquema inicial
4. Distribución Geométrica

4. Distribución Geométrica (1/5)
¿Cuántas veces hay que lanzar la moneda hasta obtener 1 cara?

GÉNESIS
Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca A
 Variable aleatoria Variable aleatoria
X  “nº de pruebas hasta que aparezca A” Rango de X ={1,2,3….}.
 Espacio probabilístico asociado
1
1 2 1[ ] [ ] x
xP X x P A A A A q p
    

FICHA TÉCNICA ( )X Ge p
1
1,2,
( )
x
pq x
p x

 
 

) p ( )
0 en el resto
p x 

0 1
( )
1 1 ( 1,2,....)j
si x
F x
q si j x j j

 
    1 1 ( 1,2,....)q si j x j j  
c) Esperanza d) Varianza 
1
E X
p
   2
q
Var X
p


GRÁFICAS
p(x) p(x)p(x) p(x)
X X
p=0.1 p=0.5

EJEMPLO
c) ¿Cuántas llamadas hay que realizar hasta captar el primer socio?

Esquema inicial
5. Distribución Binomial Negativa.

5. Distribución Binomial Negativa (1/5)
¿Cuántas cruces saldrán hasta obtener 6 caras?
¿Cuántas veces hay que lanzar la moneda hasta obtener 6 caras?

GÉNESIS
Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A
X  “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A” RgX = {0, 1, 2,….}.
X’  “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A” Rg X’ = {n, n+1, n+2,…}

GÉNESIS
    , 1
1 2 1 2 1... .. .............
1 1
x n n x
x x x x n n x
reordenaciones
P X x P A A A A A A PR p q
    
 
            
 
   

1 1
1
n x n xn x n x
p q p q
x n
      
   
   
 
    , 1
1 2 1 1 1 1' ... .. .............
1
x n n n x n
n n n x x x
reordenaciones
n x n
P X x P A A A A A A A PR p q
x
p q
  
   

 
             
 
 
 

1
p q
n
 
 

FICHA TÉCNICA ( , )X N n p
1
0,1,2,
( )
n xn x
p q x
p x x
   
   

a) Función de probabilidad ( )
0 en el resto
p x x  


0 0
( ) 1
1 ( 0 1 )
k
n i
x
F x n i
p q k x k k


   
    0
1 ( 0,1,...)
i
p q k x k k
i
    
 

c) Esperanza d) Varianza 
nq
E X
p
   2
nq
Var X
p


EJEMPLO
d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa?
e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios?

Esquema inicial
6. Distribución de Poisson6. Distribución de Poisson

(1/5)Esquema inicial
C á t i t i 1 h ?¿Cuántos aviones aterrizan en 1 hora?
¿Cuántos errores en la superficie de un DVD?

6. Distribución de Poisson (2/5)
GÉNESIS
Comportamiento asintótico de una Binomial: n, p0
X  “nº de veces que aparece A en la unidad u” RgX = {0, 1, 2,….}.

GÉNESIS
 
1
! ( 1)....( 1)
1
n
x n x x
x n xn n n n n x n
P X x lim p q lim lim

  


 
                      1
!( )! !
1
xxn n n
p 0 p 0 p 0
nx x
P X x lim p q lim lim
x x n x n n x n
n

  
  
  
         
       
 
 
 
1
! !n
p 0
lim e
x n x
  


 
  
 

FICHA TÉCNICA ( )X P 
0 1 2
x
e x 
a) Función de probabilidad
0,1,2,
( ) !
0 en el resto
e x
p x x

 



0 0
( )
1 ( 0 1 )
ik
x
F x
k k k 


 

b) u c ó de d s buc ó
0
( )
1 ( 0,1,...)
!i
e k x k k
i



   


c) Esperanza d) Varianza E X   Var X 

EJEMPLO

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