1. Esquema inicial
1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal2. Distribución Normal2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

2. 3. Distribución Exponencial (1/5)
X  “nº de aviones que aterrizan en 1 hora” P()
1 hora1 hora
T  “tiempo que transcurre hasta que aterriza el primer avión (en horas)”
Probabilidades y Estadística I

3. 3. Distribución Exponencial (2/5)
Tiempo entre dos eventos de Poisson
consecutivos
Distribución exponencial
Número de veces que ocurre un evento de
T
q
Poisson en un periodo dado Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I1 hora

4. 3. Distribución Exponencial (3/5)
GÉNESIS X  “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u” P()
T  “tiempo que transcurre hasta la primera ocurrencia (en la unidad u)”
La probabilidad  0P T t equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo  00,t haya
ocurrido 0 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a 0' ( )X P t, p 0( )
como  ' 0P X  .
    0
0 ' 0 t
P T t P X e 
   
   ( ) 1 1 t
F t P T t P T t e 
      
Probabilidades y Estadística I

5. 3. Distribución Exponencial (4/5)
FICHA TÉCNICA ( )X Exp 
) F ió d d id d ( ) 0x
f 
 a) Función de densidad ( ) 0x
f x e x
 
 
b) Función de distribución ( ) 1 0x
F x e x
  ( )
c) Esperanza d) Varianza 
1
E X

   2
1
Var X


Probabilidades y Estadística I

6. 3. Distribución Exponencial (5/5)
EJEMPLO
Si las llamadas que llegan a una centralita siguen una distribución de Poisson
de media 3 llamadas / 5 minutos, calcular la probabilidad de que transcurran
5 i t i i ll d5 minutos sin ninguna llamada.
T “ i ( i ) h l i ll d ” E (3/5)T  “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la primera llamada” Exp(3/5)
  3/5 5 3
5 1 (5)TP T F e e  
    
Probabilidades y Estadística I

7. Esquema inicial
1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal2. Distribución Normal2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

8. 4. Distribución Erlang (1/4)
Origen de tiempo
T
T  “tiempo que transcurre hasta que aterrizan dos aviones (en horas)”
Probabilidades y Estadística I

9. 4. Distribución Erlang (2/4)
GÉNESIS X  “nº de ocurrencias por unidad de tiempo u” P()
T  “tiempo que transcurre hasta la ocurrencia k-ésima (en la unidad u)”
La probabilidad  0P T t equivale a que a la probabilidad de que en el intervalo  00,t haya
ocurrido k-1 sucesos de Poisson, la cual se puede calcular mediante una nueva v.a 0' ( )X P t, p 0( )
como  ' 1P X k  .
   
     
1 2 1
0 0 0
k
t t t t   

 
    
     0 0 0 0
0 ' 1 1 ....
1! 2! ( 1)!
t t t t
P T t P X k e
k
   
         
  
     
1 2 1k
 
   
     
1 2 1
( ) 1 1 1 ....
1! 2! ( 1)!
k
t t t t
F t P T t P T t e
k
   


 
           
  
Probabilidades y Estadística I

10. 4. Distribución Erlang (3/4)
FICHA TÉCNICA ( , )X Erlang k 
) F ió d d id d
1
( ) 0
k k x
x e
f

  
a) Función de densidad ( ) 0
( 1)!
f x x
k
 

b) Función de distribución
 1
0
( ) 1 0
!
i
k
x
i
t
F x e x
i
 

  0 !i i
c) Esperanza d) Varianza 
k
E X

   2
k
Var X


Probabilidades y Estadística I

11. 4. Distribución Erlang (4/4)
EJEMPLO
En el ejemplo de la centralita, ¿cuál es la probabilidad de que el
tiempo que transcurre hasta recibir 2 llamadas enla centralita sea
i 5 i ?superior a 5 minutos?
T  “tiempo (en minutos) que transcurre hasta la segunda llamada” Erlang(2,3/5)
  3/5 5 3 33/5 5
5 1 (5) 2 0.099
1!
TP T F e e e   
      
Probabilidades y Estadística I

12. Esquema inicial
1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal2. Distribución Normal2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

13. 5. Distribución Gamma (1/4)
GÉNESIS
( , )X Erlang k 
Generalización
( , )X k 
0,k k  R
1
( 1)!
( ) 0
k k x
x e
f x x
k

  

 
Generalización 1
(
) 0
)
(
k k x
x e
f x
k
x

  

 
Probabilidades y Estadística I

14. 5. Distribución Gamma (2/4)
FICHA TÉCNICA ( , )X k 
) F ió d d id d
1
( ) 0
k k x
x e
f x x

  
a) Función de densidad ( ) 0
( )
f x x
k
 

xk

b) Función de distribución 1
0
( ) 0
( )
k
k t
F x t e dt x
k
  
 
 
c) Esperanza d) Varianza 
k
E X

   2
k
Var X


Probabilidades y Estadística I

15. 5. Distribución Gamma (4/4)
FUNCIÓN GAMMA
1
0
( ) k x
k x e dx

 
   Siendo k un entero positivo
0
(1) 1 a) ( )
( ) ( 1) ( 1)k k k    
)
b)
c)  ( ) 1 !k k   Siendo k un entero positivo
( )k


d) 1
0
( )k x
k
k
x e dx

  

Probabilidades y Estadística I

16. Esquema inicial
1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1 Di t ib ió U if1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme1. Distribución Uniforme
2. Distribución Normal2. Distribución Normal2. Distribución Normal
3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial3. Distribución Exponencial
4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang4. Distribución Erlang
5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma5. Distribución Gamma
6. Distribución Beta6. Distribución Beta
Probabilidades y Estadística I

17. 5. Distribución Beta (1/4)
GÉNESIS
Probabilidades y Estadística I

18. 5. Distribución Beta (2/4)
FICHA TÉCNICA ( , )X Beta p q
) F ió d d id da) Función de densidad
b) Función de distribución Definición teórica
c) Esperanza d) Varianza
Probabilidades y Estadística I

19. 5. Distribución Beta (3/4)
GRÁFICAS
Probabilidades y Estadística I

20. 5. Distribución Beta (4/4)
FUNCIÓN BETA
Probabilidades y Estadística I