1. TEMA 3
Concepto de probabilidad
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Introducción
2. Interpretaciones de la probabilidad
3. Definición axiomática de la probabilidad
4. Cuantificación de la probabilidad
5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Introducción
2. Interpretaciones de la probabilidad
3. Definición axiomática de la probabilidad
4. Cuantificación de la probabilidad
5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de
probabilidades
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Introducción (1/2)
POSIBLE PROBABLE
EXPERIMENTO
ALEATORIO
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Introducción (2/2)
Muestra
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
a) Basándonos en el proceso de generación (p.e. un dado):
1, 2, 3, 4, 5, 6
b) Basándonos en la información empírica:
1, 2, 3
c) Infiriendo resultados compatibles con la muestra:
15, -4, π
Probabilidades y Estadística I

6. Esquema inicial
1. Introducción
2. Interpretaciones de la probabilidad
3. Definición axiomática de la probabilidad
4. Cuantificación de la probabilidad
5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de
probabilidades
Probabilidades y Estadística I

7. 2. Interpretación de la probabilidad (1/3)
INTERPRETACIÓN CLÁSICA
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
Basándonos en el proceso de generación (p.e. un dado):
1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilidades y Estadística I

8. 2. Interpretación de la probabilidad (2/3)
INTERPRETACIÓN FRECUENTISTA
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
Basándonos en la información empírica
1, 2, 3
Probabilidades y Estadística I

9. 2. Interpretación de la probabilidad (3/3)
INTERPRETACIÓN BAYESIANA
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
Basándonos en creencias a priori
1, 2, Π
Probabilidades y Estadística I

10. Esquema inicial
1. Introducción
2. Interpretaciones de la probabilidad
3. Definición axiomática de la probabilidad
4. Cuantificación de la probabilidad
5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I

11. 3. Definición axiomática (1/8)
CONCEPTOS BÁSICOS
Experimento aleatorio, E
Espacio muestral, Ω
Ω ={ , , , , , , , , , }
Probabilidades y Estadística I

12. 3. Definición axiomática (2/8)
CONCEPTOS BÁSICOS
Sucesos, S ⊆ Ω Ω ={ , , , , , , , , , }
A={ , , , } B={ , , , , , }
Extraer bola clara Extraer bola oscura
Suceso
C={ } elemental
Extraer bola amarilla
Probabilidades y Estadística I

13. 3. Definición axiomática (3/8)
ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)
Probabilidades y Estadística I

14. 3. Definición axiomática (4/8)
ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)
Probabilidades y Estadística I

15. 3. Definición axiomática (5/8)
ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)
Ω
Probabilidades y Estadística I

16. 3. Definición axiomática (6/8)
AXIOMÁTICA
Axioma 1
Axioma 2
Axioma 3
Probabilidades y Estadística I

17. 3. Definición axiomática (7/8)
PROPIEDADES ADICIONALES
Propiedad 1
n n
Propiedad 2 Ai ∩ Aj = aditividad
∅
Propiedad 3 Regla de cálculo potente
Propiedad 4 P(A)∈[0,1]
Probabilidades y Estadística I

18. 3. Definición axiomática (8/8)
PROPIEDADES ADICIONALES
Propiedad 5 monotonía
Propiedad 6
Probabilidades y Estadística I

19. Esquema inicial
1. Introducción
2. Interpretaciones de la probabilidad
3. Definición axiomática de la probabilidad
4. Cuantificación de la probabilidad
5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I

20. 4. Cuantificación (1/3)
REGLA DE LAPLACE
Interpretación clásica
Ω ={s1 , s2 ,..., sn }
 n  n
∑ P ({si })= n × P ({si }) ⇒ P ({si }) = n ∀i
1
1= P( S )= P   {si } =
 i =1  i =1
Probabilidades y Estadística I

21. 4. Cuantificación (2/3)
REGLA DE LAPLACE
=A {s1′, s2 ...., sk′ } ⊆ Ω {s1 , s2 ,..., sn }
′=
 k  k k #A
P( A) ={si′}  ={si′} ) = {si′} ) =
P ∑ P( k × P( =
 i =1  i =1 n #Ω
Ω
(casuística)
A
Probabilidades y Estadística I

22. 4. Cuantificación (3/3)
RUEDA DE LA FORTUNA Interpretación bayesiana
A
α
Si cae en A 6.000 € Si ocurre S 6.000 €
Si no cae en A 0€ Si no ocurre S 0€
Opción 1 Opción 2
Probabilidades y Estadística I

23. Esquema inicial
1. Introducción
2. Interpretaciones de la probabilidad
3. Definición axiomática de la probabilidad
4. Cuantificación de la probabilidad
5. Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I

24. 5. Combinatoria (1/5)
Sea un espacio muestral de cardinal n, Ω ={s1 ,..., sn }
Deseamos extraer una muestra de tamaño k, en diferentes supuestos:
1) Se tiene en cuenta el orden de extracción y se produce reemplazamiento
2) Se tiene en cuenta el orden de extracción y no se produce reemplazamiento
3) No se tiene en cuenta el orden de extracción y no se produce reemplazamiento
4) No se tiene en cuenta el orden de extracción y se produce reemplazamiento
Probabilidades y Estadística I

25. 5. Combinatoria (2/5)
Caso 1 (con orden y con reemplazamento)
1ª 2ª kª
s1 s1 s1
s2 s2 s2
k
….
VRn
….
….
sn sn sn
k
n x n x …………. x n = nk
Caso 2 (con orden y sin reemplazamento)
n!
n × (n − 1) × (n − 2) × ... × (n − k + 1) =
(n − k )!
Vnk
Probabilidades y Estadística I

26. 5. Combinatoria (3/5)
Caso 2 (con orden y sin reemplazamento)
n!
n × (n − 1) × (n − 2) × ... × (n − k + 1) =
(n − k )!
Vnk
Cuando k=n tendremos el concepto de permutación de n elementos
Vnn = n ! Pn
Las permutaciones entre elementos de la misma naturaleza son excluidas mediante
el factorial en el cociente (permutaciones con repetición)
n!
k1 !k2 !....kt ! PRn1 ,k2 ,..,kt
k
Probabilidades y Estadística I

27. 5. Combinatoria (4/5)
Caso 3 (sin orden y sin reemplazamento)
Vnk n! n k
Cn
= =  
k ! k !(n − k )!  k 
Número de subconjuntos con k elementos
Caso 4 (sin orden y con reemplazamento)
 n + k − 1
  k
 k  CR n
Probabilidades y Estadística I

28. 5. Combinatoria (5/5)
Paradoja de los cumpleaños
k p
5 0.027
10 0.117
15 0.253
20 0.411
23 0.507
30 0.706
40 0.891
50 0.970
60 0.994
Probabilidades y Estadística I