Este documento presenta los problemas resueltos de un curso de cálculo. Incluye ejercicios sobre ecuaciones de rectas tangentes, diferenciales, aproximaciones usando diferenciales, integrales de funciones algebraicas y logarítmicas. El estudiante resuelve cada problema de manera detallada aplicando los conceptos y fórmulas de cálculo diferencial e integral aprendidos.

1. CCAALLCCUULLOO IIII
Juan de Dios González Rios
Matricula: 132061
Profesor: Carlos López Ruvalcaba
Grupo: L

2. Problemas de la Pagina 7 del libro (Impares)
En los ejercicios 1 a 6, determinar la ecuación de la recta tangente a la grafica de f en
un punto dado. Utilizar esta aproximación lineal para completar la tabla.
x 1.9 1.99 2 2.01 2.1
f(x)
T(x)
1.- f(x) = x2
, (2,4)
x 1.9 1.99 2 2.01 2.1
f(x) 3.61 3.9601 4 4.0401 4.41
T(x) 3.6 3.96 4 4.04 4.4
Lo primero que haremos será sacar la ecuación de la recta Tangente
f’(x)= 2x f’(2)=4 m=f’(2) Aquí lo único que hice fue derivar la función y
evaluarla en 2
Ecuación de la recta tangente
y = mx – mx1 + y1 Esta formula se obtiene al despejar y2 de m= 2 1
2 1
y y
x x
y= f’(2)x – f’(2)(2) + 4
y= 4x – 8 + 4
y= 4x -4
T(x)= 4x-4
Después de que obtenemos esta función lo único que queda es evaluar ambas
funciones en cada uno de los puntos dados
3.- f(x) = x5,
(2,32)
x 1.9 1.99 2 2.01 2.1
f(x) 24.76099 31.201796 32 32.80804 40.84101
T(x) 24 31.2 32 32.8 40
Ecuación Recta Tangente
f’(x) = 5x4
f’(2)=5(2)2
= 80
Ecuación de la Recta Tangente
y= mx – mx1 + y1
y=f’(2)x – f’(2)(2) + 32
y= 80x -160 + 32
T(x) = 80x - 128

3. 5.- f(x) = sen x, (2, sen 2)
x 1.9 1.99 2 2.01 2.1
f(x) .9463 .9134 .9092 .9050 .8632
T(x) .9509 .9164 .9092 .9051 .8676
Ecuación Recta Tangente
f’(x) = cos x f’(2)=cos 2 = -.4161
Ecuación de la Recta Tangente
y= mx – mx1 + y1
y= f’(2)x – f’(2)(2) + sen 2
y= (cos(2))x – (cos(2))(2) + sen 2
T(x)= cos 2 (x – 2) + sen 2
En los ejercicios 7 a 10, utilizar la información para evaluar y comparar ∆y y dy.
7.- y = 31
2
x x = 2 ∆y = dy= 0.1
∆y= f(x + dx) – f(x)
dy = f’(x)dx
∆y= 3 31 1
(2 0.1) (2)
2 2
∆y= 0.6305
dy= 23
2
x dx
dy= 23
(2) (0.1)
2
dy= .6
9.- y = 4
1x x = -1 ∆y = dy= 0.01
∆y= f(x + dx) – f(x)
dy = f’(x)dx
∆y=
4 4
( 1 0.01 1) (( 1) 1)
∆y= -0.0394
dy= 3
4x dx
dy= 3
4( 1) (0.01)
dy= -0.04

4. En los ejercicios 11 a 20, determinar la diferencial dy de la función indicada.
11.- y = 2
3 4x
Para obtener el diferencial dy lo único que han que hacer es seguir la siguiente regla
'( )dy f x dx
6dy xdx
13.- y =
1
2 1
x
x Para resolver este problema es necesario utilizar la regla
del cociente
'( )dy f x dx
2
(2 1)(1) ( 1)(2)
(2 1)
x x
dy dx
X
2
2 1 2 2
(2 1)
X X
dy dx
X
2
3
(2 1)
dy dx
X
15.- y= 2
1x x En este problema se tiene que aplicar la regla de la
cadena y la del producto
'( )dy f x dx
2
2
( ) 1
1
x
dy x x dx
x
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 1 )( 1 ) 1 2
1 ( 1 ) 1 1
x x x x x x
dy dx
x x x x
17.- y = 2
2 cotx x Aquí lo que se tiene que hacer es hacer uso de la regla de
la cadena y de las derivadas de funciones trigonométricas
'( )dy f x dx
2
2 2(cot )( csc )dy x x dx

5. 2
2 2cot cscdy x x dx
19.- y =
1 6 1
cos
3 2
x
'( )dy f x dx
1 6 1
3
3 2
x
dy sen dx
6 1
( )
2
x
dy sen dx
En los ejercicios 21 a 24, emplear diferenciales y la grafica de f para aproximar a)
f(1.9) y b) f(2.04).
21.-
Al tomar los puntos (1,0) y (2,1) aproximamos a la pendiente (m) de la recta tangente,
es decir aproximamos a f’(2).
2
2
y y
m
x x
1 0 1
1 '(2)
2 1 1
dym f
'(2)dy f dx
1( 0.1) 0.1dy
1(0.4) 0.4dy
f(1.9)=1.9-2=-0.1
f(2.04)=2.04-2=0.04

6. 2
2
y y
m
x x
23.-
Al tomar los puntos (0,2) y (2,1) aproximamos a la pendiente (m) de la recta tangente,
es decir aproximamos a f’(2).
1 2 1
'(2)
2 0 2
dym f
'(2)dy f dx
1
( 0.1) 0.05
2
dy
1
(0.4) 0.2
2
dy
f(1.9)=1.9-2=-0.1
f(2.04)=2.04-2=0.04

7. En los ejercicios 25 y 26, utilizar diferenciales y la grafica de g’ para aproximar a)
g(2.93) y b) g(3.1) dado que g(3) = 8.
25.-
'( )dy g x dx
'(3)( 0.07)dy g
1
( )( 0.07)
2
dy
0.035dy
'(2.93) 8 0.035 8.035g
1
( )(0.1)
2
dy
0.05dy
'(3.1) 8 0.05 9.75g
g(3) = 8
g(2.93)= 2.93-3=-0.07
g(3.1)=3.1-3=0.1
g’(x)=
1
2

8. 1
4
dr
27.- Área Se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es igual a 12
pulgadas, con un posible error de de pulgada. Usar diferenciales para aproximar el
posible error propagado en el cálculo del área del cuadrado.
Para encontrar este error se necesita calcular el diferencial del Área (dA), para ello se
necesita la formula del Área del cuadrado.
2
( )A L L
Entonces el diferencial (dA) es:
(A) A'(12)dLd Error de medición
La derivada de la función del Área es la siguiente:
'( ) 2A L L
Por lo tanto el diferencial es:
1
'12( )
64
dA A
1 3
(2)12( ) 0.375
64 8
dA
Entonces el error posible en el Area es el siguiente:
2 3
12
8
EpA
144 0.375EpA
29.- Área Se mide el radio del extremo de un tronco y se encuentra que es igual a
14 pulgadas, con un posible error de de pulgada. Utilizar diferenciales para
aproximar el posible error propagado en el cálculo del área del extremo del tronco.
Para encontrar el error se necesita calcular el diferencial de Área (dA), sin embargo
este diferencial requiere derivar el formula del ara del tronco y multiplicarlo por el
posible error en el radio del tronco (dr).
Formula del Area del tronco
2
A r
El diferencial dA es:
'( )drdA A r
(A) 2 rdrd
Se sabe que r=14 pulgadas y que
1
4
dr por lo que dA es igual a:
1
2 (14)( )
4
dA
12 pulgadas
1
( )
64
Error dL
14r

9. 7dA
Entonces el Error posible en el Area es:
2
7EpA r
2
(14) 7EpA
31.- Área La medición del lado de un cuadrado produce un valor igual a 15 cm,
con un posible error de 0.05 cm.
a) Aproximar el error porcentual en el cálculo del área del cuadrado.
Para encontrar este error es necesario calcular el diferencial del Área (dA), para ello se
requiere la fórmula del Área del cuadrado
2
( )A L L
Por lo tanto el diferencial (dA) es:
( ) '(15)d A A dL
La derivada del Área del cuadrado es:
'( ) 2A L L
Por lo cual el diferencial es:
( ) '(15)(0.05)d A A
3
( ) '(15)(0.05) 1.5
2
d A A
El error posible en el área es:
2
(A) 15 1.5EpA A d
225 1.5EpA
Entonces el error porcentual se calcula comparando el diferencial con el Área total del
cuadrado. Si el Área del Cuadrado es de 2
15 que se considera como el 100%, el error
que es de
3
2
tiene el siguiente porcentaje:
15 cm
( ) 0.05Error dL cm
3
22 100% %
225 3

10. Integrales de monomios algebraicos (pares)
Para estos problemas se utilizara la regla
1
1
n
n x
x dx c
n
2)
4
3
4
x
x dx c
4)
2
5
5
2
x
xdx c
6)
3
2 7
7
3
x
x dx c
8)
5
4 55
5
5
x
x dx c x c
10)
2 3 3
23 3 3
2 2 2 3 2
x x x
dx x dx c c
12)
2
2
ax
axdx a xdx c
14)
3 4 4
34 4 4
4
ax a a x ax
dx x dx c c
c c c c
16) 2 1 1
x dx x c c
x
18) 2 2 1 4
4 4 4x dx x dx x c c
x
20)
3 2 2
3
2
4 4 4 2 2
2
3 3 3 2 3 3
x x x
dx x dx c c
x
22)
5 2 5 2 5
3 3
2 2
4 4
2 2 2
5 2 5 5
x x x
x dx x dx c c c
24)
3
3 2 321
1 22
1 1 1
2 2 2 3 2 3 3
t t t
t dt t dt c c c
26)
3
3 22
1 2 3 2 36
3 3 3 3 2 2
3 2 3
x x
xdx xdx x dx c c x c x c
28)
5 5
2 53 33 3
2 2 331 1 1 3 3
2 2 2 2 5 3 10 10
x x x x
dx x dx x dx c c c
30) 2 1
2
1dx
x dx x c c
x x
32) 2 1
2 2
2 2
2 2 2
dx dx
x dx x c c
x x x

11. 34)
3
4 3
4 4 3
3
3 3 3
3
bdt dt t b
b b t dt b c bt c c
t t t
36)
23
1 3
4 2
9 3
du u c
u
38)
1 2
1
1 22
3
2 2(3 ) 6 6 12 12
1 2
ady dy y
a a y dy a c ay c a y c
y y
40)
1 2 1 2
1 21 1 1 2 2
3 3 3 1 2 3 33
du du u u u
u du c c c
u u
Integrales que conducen al logaritmo natural
En estos problemas se utilizara la formula ln
dv
v c
v
1)
2
2 2ln
dx dx
x c
x x
2) ln
dx
x c
x
3)
2 2 2
ln
3 3 3
dx dx
x c
x x
4)
3 3
3 ln
5 5 5
dx dx
x c
x x
5) ln
adx dx
a a x c
x x
6)
2 6 2 12
(6) ln 4ln
3 3 3
dx dx
x x x c
x x
7)
2
2 2
ln
b dx dx
b b x c
x x
8)
4
4 4ln
dr dr
r c
r r
Caso Especial
En dado caso de que el numerador dvno sea el diferencial del denominador v, ya sea
porque a dv le falta un factor constante o porque no es el correcto, se deberá
completar multiplicando el numerador y el denominador por la misma constante y
darle la forma de ln
dv
v c
v
1)
ln 1
1 (1 )
1 ;dv 1
1
1
dx dx
x c
x x
v x
2)
2
2 2
2
1
ln 4 3
4 3 4 3 8
4
1 8
8
3; 8
xdx xdx
x c
x x
v x dv xdx

12. 3
2 1 2 22
3
5
( 2 )
5 5 2
2 2 2 10
2 3 2 1 2 2 3
x x dx
x
x x x
xdx dx xdx dx x c x x x c
x
3)
1
ln 3
3 3 3
1 3
3
3
3 ;
dx dx
a x c
a x a x
v a x dv dx
4)
2 2 2
2 ln 9 1
9 1 9 1 9 1 9
9 1; 9
9
9
dx dx dx
x c
x x x
v x dv
5)
2
2 2 2
2
4 4 2
4 ln 2 3
2 3 2 3 2
6
6 3 3
2 3 ; 6
dx dx dx
x c
x x x
v x dv xdx
6)
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
22
1
ln 3
3 3 6
3
1 6
6
6;
xdx xdx
a x b c
a x b a x b a
v a x b dv xdx
a
a
a
7)
2
2 2
2
( 1) 1 ( 1) 1
ln 3 6
3 6 3 6 6
3 6 ; (6 6)dt (
6
6
6 t 1)dt
t dt t dt
t c
t t t
v t t dv t
8)
2 2
3
3 3
3 2
2 2 2
ln 1
1 1 3
3
3
31;
au du a u du a
bu c
bu bu b
v bu du u du
b
b
b
Integral de una suma de términos algebraicos
La integral de una suma de términos algebraicos es igual a la integral de cada uno de
sus términos.
1) 3 2 3 2 4 3 2
(4 3 2 5) 4 3 2 5 5x x x dx x dx x dx xdx dx x x x x c
2)
3
4 3 2 4 3 2 5 43 3 8
(8 12x x ) 8 12 3
5 5 5 5
x
x dx x dx x dx x dx x x c
3)
8 5
7 4 7 41 1 1 1
( x x 3) 3 3
7 3 7 3 56 15
x x
dx x dx x dx dx x c
4)
5
4 4 2
(3 2 ) 3 2 3
5
x
x x dx dx xdx x dx x x c
5)
2 3
2 2
2 2
1 3 1 3 3
( 8x ) 8 4 ln
3 3 9
x dx dx x
dx x dx xdx x x c
x x x x x
6)
7)
3 2
1 2 1 21 2 1 2
( t ) 2 4
2 2 3 4
t t
t dt t dt tdt t dt t c
t

13. 8)
3 2 3 21 1
5 5 333 32 2 2 2
2 6 8
(u 2u 4u ) 2 4
5 5 3
du u du u du u du u u u c
9) 1 2 2 23 5
( 3v 5v) 3 5 ln
2
dv
v dv v dv vdv v v c
v v
10)
2 3
2
2 2
2 1 1 2
( ) 2
2 2 6
y y
dy y dy dy c
y y y