Inferencia Estadística

INFERENCIA
ESTADÍSTICA
MINE José Alejandro López Rentería
4 de mayo de 2013

Objetivos
• Calcular los parámetros de la distribución
de medias o proporciones muestrales de
tamaño n, extraídas de una población de
media y varianza conocidas.
• Estimar la media o la proporción de una
población a partir de la media o
proporción muestral.
4 de mayo de 2013 | MINE José Alejandro López Rentería

Objetivos
• Utilizar distintos tamaños muestrales para
controlar la confianza y el error admitido.
• Contrastar los resultados obtenidos a
partir de muestras.
• Visualizar gráficamente, mediante las
respectivas curvas normales, las
estimaciones realizadas.

Proceso de inferencia

Estadísticos muestrales
• Si tomamos varias muestras de una
población, los estadísticos que
calcularíamos para cada muestra no
necesariamente serían iguales, y lo mas
probable es que variaran de una muestra
a otra.

Estadísticos muestrales
• La tarea que nos ocupa ahora es conocer
las distribuciones de la probabilidad de
ciertas funciones de la muestra, es decir,
variables aleatorias asociadas al muestreo
o estadísticos muestrales.

Distribuciones de muestreo
Sea una población donde se observa la
variable aleatoria 𝑋. Esta variable 𝑋,
tendrá una distribución de probabilidad,
que puede ser conocida o desconocida, y
ciertas características o parámetros
poblacionales.

Distribuciones de muestreo
El problema será encontrar una función
que proporcione el mejor estimador de
𝜃. El estimador, 𝑇, del parámetro 𝜃 debe
tener una distribución concentrada
alrededor de 𝜃 y la varianza debe ser lo
menor posible.

Estadísticos más usados
•Media muestral
•Cuasivarianza

Media muestral
• La media muestral se distribuye como una
normal de parámetros:

Distribución de medias muestrales
µ

Varianza muestral
• La varianza muestral o cuasivarianza se
distribuye como una Ji-Cuadrada con
parámetros

Varianza muestral

Parámetros poblacionales
Las inferencias sobre el valor de un
parámetro poblacional 𝜃 se pueden obtener
básicamente de dos maneras: a partir de
estimación o bien a partir de la
contrastación de hipótesis.

Parámetros poblacionales
• En la estimación, basta seleccionar un
estadístico muestral cuyo valor se utilizará
como estimador del valor del parámetro
poblacional.
• En la contrastación de hipótesis, se hace una
hipótesis sobre el valor del parámetro 𝜃 y se
utiliza la información proporcionada por la
muestra para decidir si la hipótesis se acepta
o no.

Bondad de la inferencia
Cuando se utiliza la inferencia para estimar un
parámetro poblacional debemos decir cómo de
buena es esa inferencia, o sea debemos de dar
una medida de su bondad. Para ello será
necesario conocer la diferencia existente entre
la estimación del parámetro poblacional,
calculada a partir de una muestra específica de
tamaño n, y el valor verdadero del parámetro
poblacional.

Estimación puntual
La estimación puntual consiste en obtener un
único número, calculado a partir de las
observaciones muestrales, y que es utilizado
como estimación del valor del parámetro 𝜃. Se
le llama estimación puntual porque a ese
número, que se utiliza como estimación del
parámetro 𝜃, se le puede asignar un punto
sobre la recta real.

Estimación por intervalos
En la estimación por intervalos se obtienen
dos puntos (un extremo inferior y un
extremo superior) que definen un intervalo
sobre la recta real, el cual contendrá con
cierta seguridad el valor del parámetro 𝜃.

Propiedades de la estimación puntual
• Las propiedades deseables de un buen
estimador (insesgadez, consistencia,
eficiencia, etc.). El problema es de cómo
obtener estimadores y además que sean
buenos. Para ello existen varios métodos
de obtención de estimadores. La bondad
de un método de estimación se deduce de
las propiedades que verifiquen los
estimadores obtenidos por dicho método.

Métodos de estimación puntual
Existen diferentes métodos de estimación
puntual, entre los que se encuentran:
• Método de los momentos
• Método de la máxima verosimilitud
• Método de los mínimos cuadrados

Método de los momentos
Fue introducido por K. Pearson y es el
método general más antiguo y sencillo para
la obtención de estimadores de parámetros
poblacionales. En algunas ocasiones se
suele utilizar para obtener una primera
aproximación de los estimadores.

Método de los momentos
Consiste en igualar tantos momentos
muestrales como parámetros haya que
estimar, a los correspondientes momentos
poblacionales, que son funciones de los
parámetros desconocidos, y resolviendo el
sistema de ecuaciones resultante
tendríamos los estimadores de los
parámetros.

Cómo se calcula un momento

Método de la máxima verosimilitud
• Es desde el punto de vista teórico, el
método general de estimación más
conocido. Este método ya fue utilizado por
Gauss, en casos particulares, pero como
método de estimación fue introducido por
Fisher 1922, siendo muy importantes las
contribuciones realizadas por otros
autores en su desarrollo posterior.

Método de la máxima verosimilitud
El método de la máxima verosimilitud
consiste en elegir como estimador del
parámetro desconocido 𝜃 aquel valor 𝜃que
hace máxima la función de verosimilitud.
A este estimador se le llama estimador
máximo-verosímil 𝜃 o estimador de máxima
verosimilitud (EMV) del parámetro 𝜃.

¿Qué es la función de verosimilitud?
• Para una muestra aleatoria simple
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥 𝑛 , al ser independientes
las observaciones, la función de
verosimilitud quedará como:

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