1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
∫ +
+
=−≠
+
C
p
x
dxxp
p
p
1
1
1
∫ += Ctgxdx
x2
cos
1
dx
x
x C= +∫ ln
−
= +∫
1
2
sen
cot
x
dx gx C
e dx e Cx x
= +∫
dx
x
x C
cosh
tgh2 = +∫
a a dx
a
a
Cx
x
> =∫0,
ln
+
dx
x
x C
1 2
−
= +∫ arcsen
a
dx
x a
x Ca> =∫0,
ln
log +
−
−
= +∫
dx
x
x C
1 2
arccos
sen cosxdx x C= − +∫
dx
x
x C
1 2
+
= +∫ arctg
cos senxdx x C= +∫
dx
x
x C2
1+
= +∫ argsenh
senh coshxdx x= +∫ C
dx
x
x C2
1−
= +∫ arg cosh
cosh senhxdx x C= +∫
dx
x
x C
1 2
−
= +∫ arg tgh
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si , entoncesu u x= ( ) ( )( )′∫u x f u x dx( ) es inmediata siempre que lo sea
. Por ejemplo,( )f x dx∫
′
=∫
u
u
dx u Cln| |+ , o bien,
′
+
= +∫
u
u
dx u C
1 2 arctg
C
x
dx
x
x
+=∫ 2
)(lnln 2
Cedx
e
e x
x
x
+=
−∫ arcsen
1 2
2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
1. - Cambio de variable:
Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
Queremos realizar la integral
∫ dxxf )( donde f no tiene una
primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme
la integral en una integral inmediata o composición de funciones.
Entonces,
para el cambio, )(tgx = dttgdx )(′=
∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf )())(()(
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.
2. - Integración por partes
Se basa en la derivada de un producto.
Sean y v)(xuu = )(xv= entonces
. Integrando en ambos lados de la igualdad
obtenemos
vu ′+vuuv ′=′)(
∫∫ ′+ dxvu′= vdxuuv .
Por tanto,
∫ ∫ ′−=′ vdxuuvdxvu
Ejemplos:
xe dx
u x du dx
dv e dx v e
xe e dx xe e C e x Cx
x x
x x x x x
∫ ∫=
= → =
= → =
= − = − + = − +( )1
3. ln
ln
ln ln (ln )xdx
u x du
dx
x
dv dx v x
x x dx x x x C x x C∫ ∫=
= → =
= → =
= − = − + = − +1
3. - Integración de funciones trigonométricas:
Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:
sen cos
cos( ) cos sen
2 2
2 2
1
2
x x
x x
+ =
= −
Resultan:
sen ( cos( ))
cos ( cos( ))
2
2
1
2
1 2
1
2
1 2
x x
x x
= −
= +
x
sen( ) sen cos2 2x x= x
sen cos
x
x
2
2
2
1
= − cos cos
x
x
2
2
2
1
= + tg
cos
cos
x x
x2
1
1
=
−
+
sen( ) sen cos cos sen
cos( ) cos cos sen sen
sen cos sen( ) sen( )
cos cos cos( ) cos( )
sen sen cos( ) cos( )
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x
+
y
= +
+ = −
= + + −
= + + −
= − + + −
2
2
2
Ejemplos:
i) sen ( cos( )) cos( ) sen( )2 1
2
1 2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2xdx x dx dx x dx x x C∫ ∫= − = − = −
+∫ ∫
ii) sen( )cos( ) (sen( ) sen( )) ( cos( )) ( cos( ))4 2
1
2
6 2
1
2
1
6
6
1
2
2x x dx x x dx x x C= + = − + −
+∫∫
iii) cos sen sen (sen ) senx xdx x x dx x C3 3 41
4
= ′ = +∫∫
iv)
sen cos sen cos sen ( cos ) cos (cos )
( cos cos )cos (cos ) cos cos cos
5 2 4 2 2 2 2
2 4 2 3 5 7
1
1 2
1
3
2
5
1
7
x xdx x x xdx x x x dx
x x x x dx x x x C
∫ ∫ ∫
∫
= = − − ′ =
− + ′ = − + +
v)
sen cos ( cos( ))( cos( )) ( cos ( ))
cos( ) sen( ) sen( )
2 2 21
4
1 2 1 2
1
4
1 2
1
4
1
8
1 4
1
4
1
8
1
32
4
1
4
1
32
4
x xdx x x dx x dx
dx x dx x x x x x
∫ ∫∫
∫ ∫
= − + = −
= − + = − − = − + C
=
4. vi)
dx
x x
x x
x x
dx
dx
x
dx
x
x x
sen cos
sen cos
sen cos cos sen
tg cot2 2
2 2
2 2 2 2=
+
= + = −∫ ∫∫∫ C+
dx
5. - Integración de funciones hiperbólicas:
Son integrales del tipo y se resuelven de alguna de
las siguientes formas:
R x x(senh ,cosh )∫
1) Teniendo en cuenta la definición: senh ;coshx
e e
x
e ex x x
=
−
=
+− −
2 2
x
x
x
2) Teniendo en cuenta las relaciones:
cosh senh
senh( ) senh cosh
cosh( ) senh cosh
2 2
2 2
1
2 2
2
x x
x x
x x
− =
=
= +
de donde se deduce:senh (cosh( ) );cosh (cosh( ) )2 21
2
2 1
1
2
2 1x x x x= − = +
Ejemplo:
cosh (cosh( ) ) ,
cosh ( ) ( )
2
2 2 2
1
2
2 1
1
4
1
4
2
xdx x dx
xdx e e dx e e dxx x x x
∫ ∫
∫ ∫ ∫
= +
= + = + +− −2
6. - Integración de funciones irracionales:
1) Integrales del tipo R x
ax b
cx d
ax b
cx d
dx
p
q
p
q
k
k
, ,...,
+
+
+
+
∫
1
1
donde a b yc d R, , , ∈
p
q
p
q
k
k
1
1
,..., son funciones irreducibles.
Consideramos el cambio: t
ax b
cx d
n
=
+
+
donde n m c m q qk= . . .( ,..., )1
Ejemplos:
5. i)
x
x x
dx
x
x x
dx
6
23
1
6
1
2
2
3+
=
+
∫ ∫ como m.c.m.(6,2,3)=6 cambio t x6
=
ii)
2
1
2
1
1
2x
x
dx
x
x
dx
+
=
+
∫ ∫ cambio t
x
x
2 2
=
1+
2) Integrales del tipo:
R x a x dx( , )2 2
−∫ R x a x dx( , )2 2
+∫ R x x a dx( , )2 2
−∫
cambio: x a= sen t cambio: x a t= senh cambio: x a t= cosh
dx a tdt= cos dx a tdt= cosh
queda una trigonométrica. queda una hiperbólica. queda una hiperbólica.
dx a tdt= senh
Ejemplos:
( )
sen
cos
cos
sen
sen
sen
cot cot(arcsen( )) arcsen( )
a I
x
x
dx
x t
dx tdt
t
t
dt
t
t
dt
t t C
x x
C
=
−
=
=
=
= =
−
=
− − + = − − +
∫∫ ∫
4 2
2
1
2 2
2
2
2
2
2
2
( )
cosh
senh
cosh (cosh( ) )
( senh( ) ) senh( arccos ) arccos
b I
x
x
dx
x t
dx tdt
tdt t dt
t t C hx hx C
=
−
=
=
=
= = +
+ + = + +
∫∫ ∫
2
2
2
1
1
2
2 1
1
2
1
2
2
1
4
2
1
2
=
