Este documento presenta información sobre la distribución de Poisson y la prueba t de Student. Explica que la distribución de Poisson describe el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo de tiempo, y que la prueba t se usa para comparar las medias de dos muestras pequeñas. También incluye un ejemplo para ilustrar cómo aplicar estos conceptos estadísticos.

1. MTRA. ARACELI SANCHEZ CASTRO ACT_I
UNIVERSIDAD HISPANA
DOCTORADO EN EDUCACIÓN
NOMBRE DEL PARTICIPANTE:
MTRA. ARACELI SANCHEZ CASTRO
NOMBRE DE LA ASESOR:
DR. AGUSTÍN MEJÍA PRÓA
MATERIA:
ESTADÍSTICA PARA LA INVESTIGACIÓN
ACTIVIDAD I:
DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y T DE STUDENT
Septiembre 2020

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INTRODUCCIÓN
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa el número de resultados que suceden durante un intervalo
de tiempo dado, o una región específica, recibe el nombre de distribución de Poisson, con parámetro λ.
Con el seudónimo de estudiante (Student), William Sealy Gosset desarrolló la prueba t y la distribución t.1 Esta prueba se usa con
frecuencia en las publicaciones médicas indexadas nacionales e internacionales y se han observado errores consistentes (The New
England Journal of Medicine, Lancet y British Medical Journal). 2 El objetivo de esta comunicación es plantear correctamente la prueba
y distribución t. La distribución t es un conjunto de curvas estructurada por un grupo de datos de unas muestras en particular. La
contribución de esta prueba, específicamente, es para comparar dos muestras de tamaño ≤ 30. La primera presunción es formular la
hipótesis nula y la hipótesis alterna, que establece que no hay diferencias en la media de las dos muestras independientes y que de
existir esta diferencia, sólo se debe al azar.3 Si la t calculada que se origina de las dos muestras es desmesurada (valor de p que se
encuentra en las tablas respectivas), entonces se rechazaría la hipótesis nula (error tipo I).

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Distribución de Poisson
Llamada así en honor a Simeón-Denis Poisson, quien la describió por primera vez a finales del siglo XIX Dentro de su trabajo: Recherches
sur la probabilité des jugements en matièrescriminelles et matièrecivile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias
criminales y civiles). La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de
ocurrencia media λ, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante un intervalo de tiempo dado o una región
Específica.
Sea una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el
tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad

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Por tanto es una función de probabilidad.
La función de distribución acumulativa de Poisson F(k), la cual permite determinar la probabilidad de que una variable aleatoria de
Poisson X sea menor o igual a un valor específico , tiene la siguiente forma:

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Propiedades de la distribución de Poisson
La distribución de Poisson desempeña un papel importante, por derecho propio, como un modelo probabilístico apropiado para
un gran número de fenómenos aleatorios.
Las características más sobresalientes de esta distribución son:
• La distribución de Poisson tiene la particularidad de que la esperanza E (X) y la varianza Var (X) son iguales (la verificación y/o
demostración de estas fórmulas se presentan más adelante en esta sección), esto es:
Los factores de forma de la distribución de Poisson son:
Coeficiente de asimetría:
Curtosis relativa:
Con lo anterior se puede observar que la distribución de poisson es leptocúrtica con un sesgo positivo.
• La función generadora de momentos de la variable aleatoria de Poisson , con valor esperado , es
El espacio maestral en un modelo de Poisson se genera por un número muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de
un experimento cuyo modelo de probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por esta razón, a la
distribución de Poisson se le suele llamar de eventos raros. Las repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de
los puntos de un intervalo de tiempo o espacio. La probabilidad de que se tenga dos o más éxitos en el mismo punto del intervalo es
cero. El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante, que no cambia de intervalo a intervalo.
• La distribución de Poisson se puede expresar de forma gráfica, ya que en realidad consiste en un diagrama de barras, con forma
asimétrica positiva como sucede con la distribución binomial. Sin embargo, al ir aumentando los valores de , va adquiriendo la típica
forma de la Campana de Gauss (esto se puede evidenciar analizando el coeficiente de asimetría -su objetivo es determinar, sin
necesidad de dibujar, la deformación horizontal de la distribución con respecto a un valor central, generalmente la media [6]- men-
cionado anteriormente), pudiendo deducirse, que conforme aumenta , las variables de Poisson van a poder aproximarse a la

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distribución normal, por el Teorema Central del Límite. La aproximación se considera buena para valores de iguales o superiores a
nueve.
Esperanza E (X) y Varianza V (X)
Ya sabemos que los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son respectivamente
Observemos ahora la demostración de estas afirmaciones.
Teorema 1.3 La esperanza de la distribución de Poisson tiene valor E (X)= 𝜆.

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Observemos ahora, un ejemplo práctico en donde se aplica la distribución de Poisson.
Ejemplo 1. Los buses llegan a cierta terminal de transporte, y se sabe que siguen un proceso de Poisson, con tasa de 8 buses por hora,
de modo que el número de llegadas por un período de horas es una variable de Poisson con parámetro λ=8 t [7].
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 buses lleguen durante un periodo de una hora?
¿Cuantos buses se pueden esperar a que lleguen durante 90 minutos?
Solución
La llegada de los buses a la terminal de transporte se distribuye según Poisson. Sea X una variable que representa el número de buses
que llegan a la terminal de transporte durante un periodo de tiempo t.
λ=8 buses * tiempo =8*1 =8
Se pide calcular la probabilidad de que lleguen exactamente 5 buses durante una hora.
Por tanto, existe una probabilidad del 9.1% de que lleguen exactamente 5 buses a la terminal durante una hora.
- Se pide calcular la cantidad de buses que podrían llegar en un tiempo de hora y media.
Ahora bien, por propiedad de la distribución de Poisson, Var(X) =12. Con lo cual tendríamos que la desviación estándar,D:E , para este
caso es .
Se espera entonces, que en una hora y media lleguen, en promedio, 12 buses a la terminal de transporte, con una
desviación estándar de 3 buses. Esto quiere decir que, en realidad, se espera que lleguen entre 9 y 15 buses.

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T - STUDENT
Naturaleza de la t-STUDENT
La t de Student, inicialmente se diseñó para examinar las diferencias entre dos muestras independientes y pequeñas que tengan
distribución normal y homogeneidad en sus varianzas (en el artículo original, el autor no define qué es una muestra grande y/o
pequeña). Gosset hace hincapié en la normalidad de las dos muestras como crucial en el desarrollo de la prueba.
Metodología de la t-STUDENT
Probar que cada una de las muestras tiene una distribución normal; ‡ 2. Obtener para cada una de las muestras: a) el tamaño de
las muestras (n1 y n2), b) sus respectivas medias (m1 y m2), c) sus varianzas (v1 y v2); 3. Probar que las varianzas sean homogéneas;
‡‡4. En caso de homogeneidad en esas varianzas: a) establecer la diferencia entre las medias: m1-m2, b) calcular la varianza común
de las dos muestras.
vc = ((n1-1)v1 + (n2-1)v2)/(n1 + n2 - 2)
Es decir, la varianza común (vc) es igual a un promedio pesado de las varianzas de las dos muestras en donde los pesos para ese
promedio son iguales al tamaño, menos uno (n-1) para cada una de las muestras, c) con esa varianza común, se calcula el error estándar
de la diferencia de las medias ESM= √ ((vc) (n1 + n2)/(n1n2)); 5. Finalmente, la t-Student es igual al cociente de la diferencia de medias
entre el ESM anterior; 6. De acuerdo con nuestra hipótesis nula y alterna se debe demostrar que existe diferencia entre las medias de
las muestras, se consulta una tabla de t-Student con grado de libertad igual a n1 + n2-2 y se calcula el valor de P. 5
Ejemplo De un universo de 44,000 niños, a los que se les registró el peso, talla e índice de masa corporal, se tomó una muestra de 56
adolescentes (21 niñas y 35 niños), del subgrupo de niñas y niños de 14 años de edad, para comparar las medias tomando
exclusivamente el índice de masa corporal (IMC).
IMC en niñas y niños de 14 años de edad
Paso 1: prueba de normalidad de cada una de las muestras.

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N Ẋ S V
Niñas 21 21.775 4.225 17.852
Niños 35 20.850 3.798 14.428
Niñas: p = 0.071, hay normalidad.
Niños: p = 0.0008 no hay normalidad.
Paso 2: en este caso se hace la prueba t-test aun sabiendo que una de las muestras (los niños) no tiene normalidad.
Paso 3: prueba para la homogeneidad de varianzas; se pueden considerar que son homogéneas debido a que la p = 0.570.
Paso 4: (i) diferencia de medias = 0.025, (ii) vc a las muestras.
vc = ((n1-1 )v1 + (n2-1)v2)/(n1 + n2 - 2)

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Error estándar de las diferencias de las medias
Paso 5: el valor de la t-test será:
t = (diferencia de las medias)/(ESM)
t = 0.925/ 1.094
t = 0.846
Pasó 6: hipótesis:
Ho: el IMC es igual en niños y niñas.
H1: El IMC es diferente entre los niños y las niñas.
Los grados de libertad, para consultar la tabla det-Student son 21 + 35-2 = 54, consultando el valor de p es 0.401.
Por lo tanto, no existe diferencia entre el IMC entre los niños y niñas de 14 años.

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CONCLUSIONES
Generalmente conocemos el valor de (la cantidad esperada de eventos por unidad de tiempo), y entonces nos preguntamos
cuántos eventos obtendremos en una determinada cantidad de tiempo, o cuánto tiempo tendremos que esperar hasta observar una
determinada cantidad de eventos. De esta forma obtenemos 2 distribuciones:
Poisson: consiste en preguntar por la cantidad de eventos en el período (la longitud de un intervalo del continuo que va a estudiarse).
Es decir, dado, calcular la distribución de (la cantidad de eventos que hay en ese intervalo).
Es necesario mencionar que la distribución t-test es similar a la distribución de Gauss cuando las muestras > 30.
El poder estadístico tiene mayor magnitud cuando las condiciones que se necesitan lo cumplen ambas muestras, independientemente
del tamaño.
La prueba original demostró que existe una curva que describe el comportamiento de la diferencia de medias y permite calcular el
área bajo la curva que representa la probabilidad de la diferencia entre ellas.

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BIBLIOGRAFÍA
Canavos G. C. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. Traducción de Edmundo G. Urbina M. McGraw- Hill. México, 1988.
Blanco L. Probabilidad. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, 2004.
Walpole R. E., Myers R. H., Myers S. L. Probabilidad y Estadística Para Ingenieros. Traducción de Ricardo Cruz. Prentice-Hall, Inc.
México, 1999.
Goméz E., Sarabia J. M., Prieto F. La Distribución Poisson- Beta: Aplicaciones Y Propiedades En La Teoría Del Riesgo Colectivo. Tomado
desde: <http://www.actuarios.org/espa/anales/2009/ Pag%20141-160.pdf>, [Acceso el 5 de agosto de 2013].
By Student. The probable error of a mean. Biometrika. 1908; 6: 1-25.
Dawson-Saunders B, Trapp Robert G. Bioestadística Médica. México, Editorial Manual Moderno, 1993.
Wayne W. Daniel. Bioestadística base para el análisis de las ciencias de la salud. 4ª ed. México, Limusa Wiley. 2002.