Presentación de algebra para la Uptaeb

1. Expresiones
Algebraicas
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria,
ciencia tecnología e innovación
Barquisimeto – Estado Lara
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco.
PNF Educación Física.
Integrante: Brayan José Dorante
Rodríguez
CI. 29561938
Sección: 0102

2. Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y
números unidos por medio de las operaciones: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera finita
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se
dice otra cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras
también se pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos,
representan variables que pueden tomar valores dentro de un subconjunto
de números reales.
Así mismo un Valor numérico de una expresión
algebraica o fórmula es el número que se obtiene al
quitar las letras o sustituir por números y realizar
las operaciones indicadas

3. Suma de expresiones
algebraicas
Para sumar dos o más expresiones
algebraicas con uno o más términos,
se deben reunir todos los términos
semejantes que existan, en uno sólo.
Se puede aplicar la propiedad
distributiva de la multiplicación con
respecto de la suma.
Realicemos esta operación para un caso
mas particular, si queremos sumar los
términos 2a y −5b, se expresaría así:
(2a)+(−5b)=2a−5b(2a)+(−5b)=2a−5b
Esto es, la suma de 2a y −5b es 2a−5b,
significa que el signo suma + no afecta el
signo menos de −5b, naturalmente la suma
entre 2a y 5b es:
2a+5b

4. Si en una suma algebraica encontramos términos
semejantes, lo único que se suma son los coeficientes,
dando como resultado una expresión algebraica con el
mismo termino semejante y el nuevo coeficiente que
resulta de la suma de los términos semejantes iniciales.
Esto es, si sumamos 2xy y 5xy,
resulta:
2xy+5xy= (2+5) xy = 7xy
No siempre se pueden
sumar dos términos no
semejantes, por lo
general, se deja la
explicita la expresión
Si queremos sumar los
términos 4xy, 7yxz y −3abc se expresa
así:
(4x5y2)+(7yx2z3)+(−3abc)=4x5y2+7yx2z3–3abc

5. Resta de Expresiones
algebraicas
De la misma manera que con la suma algebraica, con la
resta o diferencia algebraica, debemos tener en cuenta que
restar dos términos semejantes resulta un único termino
semejante, para dos términos no semejantes, el resultado
se deja tal cual es.
3xy-7xy=

6. Si bien, la suma algebraica no afecta a los sinos operacionales de
los términos entre paréntesis, la resta si afecta a cada termino, esto
es, cambia los signos operacionales de cada termino luego de
eliminar los paréntesis, veamos un ejemplo generalizado.
Para la expresion a–(b–c+d)=
a–b+c–d
Este resultado es independiente de la
variable a, podríamos escribirlo de la
misma manera y el resultado seria el
mismo así:
–(b−c+d)=−b+c−d–(b−c+d)=−b+c−d.
Ejemplos con monomios
Comencemos con la resta entre monomios:
(4a)–(−2a)–(−3b)–(−5b)–(2c)–(c)
Eliminando los paréntesis, resulta:
4a+2a+3b+5b–2c–c
Reduciendo términos semejantes:
6a+8b–3c
Ejemplos con polinomios
Y ahora veamos la resta con polinomios:
(8m+6n)–(2m–5n)–(−p).
Eliminando paréntesis se cambian los signos
de 2m−5n a −2m+5n y −p a p:
8m+6n−2m+5n+p
Reduciendo términos semejantes:
6m+11n+p

7. Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación de dos expresiones
algebraicas es otra expresión algebraica, en
otras palabras, es una operación matemática
que consiste en obtener un resultado
llamado producto a partir de dos factores
algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
Por tratarse de un curso elemental
de álgebra, necesitaremos las
propiedades de teoría de
exponentes.
Por tratarse de multiplicación entre
polinomios, usaremos las 3
principales leyes de la
potenciación para la multiplicación
𝑎 𝑛. 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛+𝑚
Multiplicación de potencias de bases
iguales
Potencia de un producto
(𝑎𝑏) 𝑛= 𝑎 𝑛. 𝑏 𝑛
Potencia de potencia
(𝑎 𝑛) 𝑚= 𝑎 𝑛𝑚

8. Multiplicación entre monomios
La multiplicación entre monomios es muy sencilla:
Primero multiplicamos los coeficientes de cada
monomio
Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las
variables según las leyes de los exponentes que
estudiamos anteriormente.
Aplicamos las ley distributiva
Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los
signos.
Multiplicación entre polinomios
Para saber como resolver la multiplicación entre
polinomios, tan solo debemos tener en cuenta la
propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de
la potenciación.
La forma mas básica o reducida de la multiplicación
entre dos polinomio es de la forma
(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd,
esto es, la multiplicación entre dos binomios, su
prueba es muy sencilla, es solo aplicando la
propiedad distributiva.
Multiplicar 3𝑥2
y 4𝑥4
.
Solución:
(3𝑥2
)(4𝑥4
)=(3⋅4)(𝑥2
⋅𝑥4
)=(12)(𝑥2+5
)=12𝑥7
Multiplicar: (x–3)(x+4)
Solución:
(x–3)(x+4)=x⋅x+x⋅4+(−3)⋅x+(−3)⋅4
= 𝑥2
+4x+(−3x)+(−12)
= 𝑥2
+4x−3x−12
= 𝑥2
+x−12
Multiplicación de monomio por un polinomio
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio,
aplicaremos la ley distributiva, esto es, se multiplica el monomio
a cada termino del polinomio, luego, realizar el proceso de
multiplicación entre monomios que ya explicamos
anteriormente.
Multiplicar 4x y x+2.
Solución:
4x(x+2)= 4𝑥2
+2x
Multiplicar 2x y x+1.
Solución:
2x(x+1)=2𝑥2
+2x

9. Productos notables de
expresiones algebraicas
Esta sección es una extensión de la sección de multiplicación
algebraica y demostraremos algunos de las fórmulas de los productos
notables usando la ley distributiva para la multiplicación. Se llaman así
porque encontramos algunos rasgos notable
Ley distributiva para la
multiplicación
Esta ley podría ser el primer
producto notable, se le conoce
como el axioma de la
distribución y nos ayudará a
demostrar el resto de las
propiedades subsiguientes.
a(b+c)=ab+ac
Binomio al cuadrado
Un binomio es un
polinomio de 2 términos no
semejantes como a+b, al
elevarlo al cuadrado
produce un polinomio de 3
términos:
(𝑎 + 𝑏)2
=𝑎2
+2ab+𝑏2
Diferencia de cuadrados
Es la segunda identidad mas
conocida después del binomio
al cuadrado llamado diferencia
de cuadrados, también se le
conoce como producto de un
binomio por su conjugado y
su formula es la siguiente:
(a+b)(a−b)= 𝑎2
- 𝑏2

10. Identidades de Legendre
Las siguientes identidades son
consecuencia del binomio al cuadrado y
son útiles si encontramos casos similares
donde tengamos que aplicar estas
identidades, veamos:
1: (𝑎 + 𝑏)2
+(𝑎 − 𝑏)2
= 2(𝑎2
+𝑏2
)
2: (𝑎 + 𝑏)2
−(𝑎 − 𝑏)2
= 4ab
3: :(𝑎 + 𝑏)4
−(𝑎 − 𝑏)4
= 8ab(𝑎2
+𝑏2
)
Suma y diferencia de cubos
Estas identidades también son
frecuentes en muchos cálculos
matemáticos, la suma o diferencia de
dos términos elevados al cubo
pueden expresarse como un producto
de dos factores:
𝑎3
+ 𝑏3
= (a+b)(𝑎2
−2ab+𝑏2
)
𝑎3
− 𝑏3
= (a-b)(𝑎2
+2ab+𝑏2
)
Multiplicación de binomios
con termino en común
Para dos binomios con
término en común: el
producto de dos binomios con
termino común es igual al
cuadrado del termino común,
mas el termino común por la
suma de los términos no
comunes, mas el producto de
los términos no comunes,
matemáticamente se expresa
así:
(x+a)(x+b) = 𝑥2
+ x(a+b)+ab
Trinomio al cuadrado
El trinomio al cuadrado es la suma de los 3 termino elevados al
cuadrado mas el doble de la suma de la multiplicación en pares
de los 3 términos, esto es:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= 𝑎2
+𝑏2
+ 𝑐2
+ 2(ab+bc+ac)
Trinomio al cubo
Simbólicamente se expresa así junto con sus
equivalentes:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
=𝑎3
+𝑏3
+ 𝑐3
+3𝑎3
𝑏+3𝑎3
𝑐+3𝑏3
𝑎

11. Divisiones algebraicas
La división algebraica es una operación entre
dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión
llamado cociente por medio de un algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios,
debemos tener en cuenta un punto
importante: el mayor exponente
de algún término del dividendo debe ser mayor
o igual al mayor exponente de algún término
del divisor.
D=dq+RD=dq+R
D es el dividendo.
d es el divisor.
q es el cociente.
R es el residuo.
Esta expresión se le conoce
como identidad de la
división y literalmente nos
dice que:
El dividendo es igual al
divisor por el cociente, mas
el residuo. De aquí se puede
extraer dos tipos de división.
División exacta.
Esta división se define cuando el residuo R es cero, entonces:
D=dq+0→Dd=q
División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo R es diferente de cero. De la
identidad, dividiendo entre el divisor d, tenemos:
D/d=dq+R/d→D/d=q+R/d

12. División entre monomios
Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son
las siguientes:
Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los
signos.
Luego dividimos las partes literales (variables) de los
monomios según la ley de exponentes.
Una forma generalizada de la división de monomios de una
sola variable es:
a𝑥 𝑚
/b 𝑥 𝑛
=(a/b)𝑥 𝑚−𝑛
Ejemplo
18𝑥4
/6𝑥2
=
(18/6)(𝑥4/𝑥2)=
3𝑥4−2
=
3 𝑥2
División de un polinomio entre un monomio
Esta es una división muy sencilla, su residuo es siempre cero,
simplemente tenemos que usar la propiedad distributiva para
realizar esta división. Simplemente dividimos a cada termino del
polinomio por el monomio.
Ejemplo
1/m(a+b+c)=1/m⋅a+1/m⋅b+1/m⋅c
obteniendo el resultado
(a+b+c/m)=(a/m)+(b/m)+(c/m)
División entre dos polinomios
Hay tres métodos, la primera es el método clásico de la división derivada de la división larga de la
aritmética, la segunda es el método de Horner y la tercera es el método de Ruffini, las dos primeras son
generales, para cualquier polinomio, la segunda es un caso particular.
Por tanto, no existe una formula mágica para hallar rápidamente el cociente y el residuo en la división de
polinomios, solo se pueden resolver por medio de algoritmos y es un proceso de pasos a seguir.

13. División por el método de
la división larga
El método clásico o
división larga se basa al
esquema clásico de la
división
División por el método de
Horner
Este método sigue un algoritmo
un poco distinto y su esquema
también, pero el resultado es el
mismo si usamos la división del
método clásico. Los polinomios,
esto es, el dividendo y el divisor
deben estar ordenados de manera
descendente, completar con ceros
si falta algún termino.
División por el
método de Ruffini
El método de ruffini,
también llamada
división sintética de
polinomios donde es
un caso particular del
método de Horner, en
este caso el dividendo
es de primer grado, es
decir, el mayor
exponente del divisor
de uno de los términos
es igual a 1 y es de la
forma d=ax+bd=ax+b.

14. Factorización
Factorización
El proceso para escribir expresiones
algebraicas únicamente como
un producto de otras expresiones
algebraicas, se denomina factorización.
Un número natural mayor que 1 es primo,
si sus únicos factores enteros positivos son
el 1 y el mismo.
Al expresar dos o más expresiones algebraica
únicamente como un producto de expresiones
algebraicas, se puede proceder de la siguiente manera:
1. Obtener los factores numéricos y literal que
aparezcan en todos los términos de la expresión dada, si
existen, lo que genera el conocido término llamado
factor común.
2. Al sacar este factor común, si existe, la expresión
original será equivalente al producto entre este factor
común y otra expresión algebraica. Esta expresión no
tendrá ningún factor común y por lo tanto debe
descomponerse en otros factores, si es posible.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Se dice que un polinomio es primo o irreducible con respecto a
un conjunto dado de números si:
1. Tiene coeficientes en ese conjunto.
2. No se puede escribir como producto de dos polinomios con
coeficientes de ese conjunto.
Ejemplo 5
Factorice completamente la expresión
Solución:
Entonces:

15. Referencias bibliográficas
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/suma-algebraica/
http://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundamentales/E
xpresiones/Cap2/